概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版第六章課后習(xí)題答案

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版第六章課后習(xí)題答案6.1選擇題BCABD6.2判斷題錯(cuò)誤。概率函數(shù)是用來描述隨機(jī)變量可能取值的概率分布。正確。條件概率是指在已知一些事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，某一事件發(fā)生的概率。錯(cuò)誤。如果兩個(gè)事件是互斥的，那么它們的交集為空集，因此它們的概率和為0。錯(cuò)誤。兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立與它們相互排斥無關(guān)。正確。全概率公式用于計(jì)算條件概率，將它表示為若干個(gè)互斥事件的概率之和。6.3填空題在有限次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A的發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布。在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A的發(fā)生次數(shù)超過k次的概率可以用該事件的分布函數(shù)來計(jì)算。6.4計(jì)算題1.一硬幣擲十次，出現(xiàn)正面的次數(shù)為X，問X等于7的概率是多少？由于每次擲硬幣的結(jié)果獨(dú)立且服從二項(xiàng)分布，該問題可以根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算。二項(xiàng)分布的概率公式為：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，n表示試驗(yàn)的總次數(shù)，k表示事件A發(fā)生的次數(shù)，p表示事件A發(fā)生的概率。根據(jù)題目要求，n=10，k=7，且硬幣正面出現(xiàn)的概率與反面出現(xiàn)的概率相等，所以p=0.5。代入公式計(jì)算：P(X=7)=C(10,7)*(0.5)^7*(0.5)^(10-7)

=C(10,7)*(0.5)^7*(0.5)^3計(jì)算C(10,7)：C(10,7)=10!/(7!*(10-7)!)

=10!/(7!*3!)

=(10*9*8)/(3*2*1)

=120代入計(jì)算：P(X=7)=120*(0.5)^7*(0.5)^3

=120*0.5^10

≈0.117所以，X等于7的概率約為0.117。2.一批產(chǎn)品的次品率為0.02，現(xiàn)從中抽取100個(gè)產(chǎn)品，求其中次品數(shù)不超過3的概率是多少？由于次品的出現(xiàn)可以看作是二項(xiàng)分布中事件A（次品）發(fā)生的次數(shù)，可以用二項(xiàng)分布的分布函數(shù)來計(jì)算。分布函數(shù)表示事件A的發(fā)生次數(shù)不超過k的概率，使用累積分布函數(shù)來計(jì)算。二項(xiàng)分布的累積分布函數(shù)為：F(k)=P(X≤k)=∑(i=0~k)C(n,i)*p^i*(1-p)^(n-i)其中，n表示試驗(yàn)的總次數(shù)，k表示事件A發(fā)生的次數(shù)，p表示事件A發(fā)生的概率。根據(jù)題目，n=100，次品率為0.02，所以p=0.02。代入公式計(jì)算：P(X≤3)=F(3)

=∑(i=0~3)C(100,i)*(0.02)^i*(1-0.02)^(100-i)計(jì)算C(100,i)：C(100,0)=1

C(100,1)=100

C(100,2)=(100*99)/2

C(100,3)=(100*99*98)/(3*2)代入計(jì)算：P(X≤3)=C(100,0)*(0.02)^0*(1-0.02)^(100-0)

+C(100,1)*(0.02)^1*(1-0.02)^(100-1)

+C(100,2)*(0.02)^2*(1-0.02)^(100-2)

+C(100,3)*(0.02)^3*(1-0.02)^(100-3)計(jì)算近似值：P(X≤3)≈0.048所以，次品數(shù)不超過3的概率約為0.048。6.5解答題1.證明二項(xiàng)分布的期望是np，方差是np(1-p)。證明：二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式為：E(X)=∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)，將其帶入上式：E(X)=∑(k=0~n)k*n!/(k!*(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)利用性質(zhì)(n-k)!=n!/(n-k+1)!，再次化簡：E(X)=∑(k=0~n)k*n!/(k!*(n-k+1)!)*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)(k-1)!/((k-1)!*(n-k+1)!)*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)1/(n-k+1)!*p^k*(1-p)^(n-k)根據(jù)連續(xù)積分中的二項(xiàng)式定理，有：(1+x)^m=∑(k=0~∞)C(m,k)*x^k將x=p，m=n-k+1帶入，可以得到：(1+p)^(n-k+1)=∑(j=0~∞)C(n-k+1,j)*p^j兩邊同時(shí)除以(1+p)：(1+p)^(n-k+1)/(1+p)=∑(j=0~∞)C(n-k+1,j)*p^j/(1+p)使用數(shù)學(xué)歸納法證明，可以得到：(1+p)^(n-k+1)/(1+p)=∑(j=0~n-k+1)C(n-k+1,j)*p^j/(1+p)將上式帶入原式：E(X)=n*∑(k=0~n)1/(n-k+1)!*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)C(n-k+1,k)*p^k*(1-p)^(n-k+1)/(1+p)

=n*(1/(1+p))*∑(k=0~n)C(n-k+1,k)*p^k*(1-p)^(n-k+1)將k’=n-k+1替換k，可得：E(X)=n*(1/(1+p))*∑(k'=1~n+1)C(k',n-k')*p^(n-k'+1)*(1-p)^(k'-1)注意到∑(k’=1~n+1)C(k’,n-k’)*p^(n-k’+1)*(1-p)^(k’-1)就是對于k’從1到n+1的二項(xiàng)分布的分布函數(shù)，因?yàn)椤?k’=1~n+1)C(k’,n-k’)*p^(n-k’+1)*(1-p)^(k’-1)=(1-p+0)^{n+1}=1^n=1。所以：E(X)=n*(1/(1+p))*1

=n/(1+p)

=np/(np+p^2)

=np所以，二項(xiàng)分布的期望是np。二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式為：Var(X)=∑(k=0~n)(k-E(X))^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)根據(jù)Euler’sidentity(1+x)^m=∑(k=0~∞)C(m,k)*x^k，將其帶入方差公式：Var(X)=∑(k=0~n)(k-E(X))^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

=∑(k=0~n)(k-np)^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)利用性質(zhì)(k-np)^2=k^2-2knp+(np)^2：Var(X)=∑(k=0~n)(k^2-2knp+(np)^2)*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

=∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

+(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)考慮第一項(xiàng)∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，使用二項(xiàng)分布的性質(zhì)∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=np：∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=Var(X)+(np)^2考慮第二項(xiàng)-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，同樣使用二項(xiàng)分布的性質(zhì)∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=np：-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=-2np^2考慮第三項(xiàng)(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=1：(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=(np)^2代入計(jì)算式：Var(X)=Var(X)+(np)^2-2np^2+(np)^2

=Var(X)所以，二項(xiàng)分布的方差是np(1-p)。2.說說常用離散概率分布的特點(diǎn)，包括幾何分布、二項(xiàng)分布和泊松分布。常用的離散概率分布包括幾何分布、二項(xiàng)分布和泊松分布。它們都具有一些特點(diǎn)。幾何分布：幾何分布描述了在一系列獨(dú)立試驗(yàn)中，首次成功所需的試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。幾何分布的特點(diǎn)包括：概率函數(shù)：f(k)=(1-p)^(k-1)*p期望：E(X)=1/p方差：Var(X)=(1-p)/(p^2)幾何分布的概率密度函數(shù)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而遞減，表示了事件發(fā)生的概率隨著試驗(yàn)次數(shù)增加而減小的趨勢。二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布描述了在有限次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。二項(xiàng)分布的特點(diǎn)包括：概率函數(shù)：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)期望：E(X)=np方差：Var(X)=np(1-p)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)可以表示事件