《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》講義

匯報(bào)人：AA2024-01-19《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》講義延時(shí)符Contents目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法常用統(tǒng)計(jì)分布及其性質(zhì)線性回歸分析與方差分析初步延時(shí)符01概率論基本概念123所有可能結(jié)果的集合，常用大寫(xiě)字母S表示。樣本空間樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。常用大寫(xiě)字母A、B等表示。事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，其概率為該樣本點(diǎn)發(fā)生的概率?；臼录颖究臻g與事件概率定義及性質(zhì)概率定義描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（所有可能事件的概率之和為1）、可列可加性（互不相容事件的概率之和等于各事件概率之和）。在某一事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。如果兩個(gè)事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱(chēng)事件A和B是相互獨(dú)立的。條件概率與獨(dú)立性獨(dú)立性條件概率全概率公式如果事件B1、B2、...、Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以求出某一事件Bi已發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]。全概率公式與貝葉斯公式延時(shí)符02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類(lèi)根據(jù)取值的不同，隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量取值充滿某個(gè)區(qū)間。隨機(jī)變量概念及分類(lèi)離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。分布律定義包括0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。這些分布具有不同的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景，例如二項(xiàng)分布適用于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，泊松分布適用于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。概率密度函數(shù)定義包括均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。這些分布具有不同的概率密度函數(shù)和特性，例如正態(tài)分布具有鐘形曲線，適用于描述許多自然現(xiàn)象的概率分布情況。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布描述了由隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)某種函數(shù)變換后得到的新隨機(jī)變量的分布情況。函數(shù)分布定義求隨機(jī)變量函數(shù)的分布通常涉及到對(duì)原隨機(jī)變量的取值范圍和概率密度函數(shù)進(jìn)行變換，并根據(jù)變換后的結(jié)果確定新隨機(jī)變量的分布類(lèi)型和參數(shù)。在變換過(guò)程中，需要注意保持函數(shù)的單調(diào)性和可積性，以確保新隨機(jī)變量的分布是合理的。同時(shí)，不同函數(shù)變換下得到的隨機(jī)變量分布可能具有不同的特性和性質(zhì)。求法及性質(zhì)延時(shí)符03多維隨機(jī)變量及其分布VS對(duì)于離散型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律描述了每一個(gè)可能取值的概率，常用二維表格表示。聯(lián)合密度函數(shù)對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)描述了隨機(jī)變量取值的概率分布情況，是一個(gè)二元函數(shù)。聯(lián)合分布律二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律是指固定一個(gè)變量的取值，另一個(gè)變量的概率分布情況。連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)是指對(duì)聯(lián)合密度函數(shù)進(jìn)行積分，得到一個(gè)變量的概率分布情況。邊緣分布律邊緣密度函數(shù)邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律在離散型二維隨機(jī)變量中，條件分布律描述了在已知一個(gè)變量取值的條件下，另一個(gè)變量的概率分布情況。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件密度函數(shù)在連續(xù)型二維隨機(jī)變量中，條件密度函數(shù)描述了在已知一個(gè)變量取值的條件下，另一個(gè)變量的概率分布情況。條件分布律/密度函數(shù)定義如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）等于各自邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）的乘積，則稱(chēng)這兩個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒(méi)有相互影響，一個(gè)變量的取值不會(huì)影響到另一個(gè)變量的取值。相互獨(dú)立隨機(jī)變量延時(shí)符04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)分布函數(shù)來(lái)描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)量由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等。總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量概念矩估計(jì)法用樣本矩作為總體矩的估計(jì)值，通過(guò)求解方程組得到參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)法在已知總體分布的情況下，選擇使得樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)方法（矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法）由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造的一個(gè)區(qū)間，用于估計(jì)總體參數(shù)的取值范圍，同時(shí)給出該估計(jì)的可靠程度（置信水平）。置信區(qū)間基于樣本數(shù)據(jù)的分布特征，選擇合適的統(tǒng)計(jì)量并確定其分布，進(jìn)而計(jì)算置信區(qū)間的上下限。構(gòu)造方法區(qū)間估計(jì)方法（置信區(qū)間）參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)總體分布中的未知參數(shù)提出假設(shè)，通過(guò)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并根據(jù)顯著性水平進(jìn)行決策。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)在總體分布未知或僅知道部分信息的情況下，通過(guò)比較樣本數(shù)據(jù)的分布特征進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。常用的方法有符號(hào)檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等。假設(shè)檢驗(yàn)方法（參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)）延時(shí)符05常用統(tǒng)計(jì)分布及其性質(zhì)二項(xiàng)分布01描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)為組合數(shù)，表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)，p為成功概率。泊松分布02描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ為單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的平均次數(shù)，k為實(shí)際發(fā)生的次數(shù)。指數(shù)分布03描述連續(xù)型隨機(jī)變量中，兩個(gè)相鄰事件發(fā)生的時(shí)間間隔的概率分布。其概率密度函數(shù)為λ*e^(-λx)，其中λ為單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，x為時(shí)間間隔。二項(xiàng)分布、泊松分布和指數(shù)分布正態(tài)分布描述影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每一個(gè)因素所起的作用不太大，且各種因素的影響可以疊加的隨機(jī)現(xiàn)象。其概率密度函數(shù)為(1/(√(2π)σ))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))，其中μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。t分布用于根據(jù)小樣本來(lái)估計(jì)呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。其概率密度函數(shù)與自由度df有關(guān)，形狀類(lèi)似于正態(tài)分布但尾部更重?？ǚ椒植济枋鰇個(gè)獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和的概率分布。其概率密度函數(shù)與自由度df有關(guān)，形狀向右偏斜。正態(tài)分布、t分布和卡方分布F分布和均勻分布F分布用于比較兩個(gè)總體方差是否有顯著差異。其概率密度函數(shù)與兩個(gè)自由度df1和df2有關(guān)，形狀向右偏斜。均勻分布描述在某個(gè)區(qū)間內(nèi)所有取值等可能出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象。其概率密度函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)為常數(shù)1/(b-a)，在區(qū)間外為0。均勻分布與其他分布在某些特定條件下，均勻分布可以轉(zhuǎn)化為其他類(lèi)型的統(tǒng)計(jì)分布。例如，通過(guò)對(duì)均勻分布的隨機(jī)變量進(jìn)行特定的變換，可以得到指數(shù)分布、正態(tài)分布等。二項(xiàng)分布與泊松分布當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布。正態(tài)分布與t分布當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，t分布近似于正態(tài)分布；當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，可用正態(tài)分布代替t分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)或置信區(qū)間估計(jì)。卡方分布與F分布F分布的分子和分母分別服從自由度為df1和df2的卡方分布；當(dāng)df1和df2都很大時(shí)，F(xiàn)分布近似于卡方分布。各統(tǒng)計(jì)分布之間關(guān)系延時(shí)符06線性回歸分析與方差分析初步一元線性回歸模型描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，形式為Y=β0+β1X+ε，其中Y為因變量，X為自變量，β0和β1為待估參數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。最小二乘法用于估計(jì)一元線性回歸模型中的參數(shù)β0和β1，使得殘差平方和最小。具體步驟包括計(jì)算樣本均值、構(gòu)造正規(guī)方程組并求解得到參數(shù)估計(jì)值?；貧w方程的顯著性檢驗(yàn)通過(guò)構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷自變量X對(duì)因變量Y是否有顯著影響。一元線性回歸分析模型建立及參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型描述多個(gè)自變量與一個(gè)因變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，形式為Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε，其中Y為因變量，X1,X2,...,Xp為自變量，β0,β1,...,βp為待估參數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。最小二乘法同樣適用于多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)，通過(guò)最小化殘差平方和得到參數(shù)估計(jì)值。多重共線性問(wèn)題當(dāng)自變量之間存在高度相關(guān)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確。解決方法包括逐步回歸、主成分回歸等。010203多元線性回歸分析模型建立及參數(shù)估計(jì)通過(guò)比較不同組別間的差異與組內(nèi)差異的大小，判斷因素對(duì)結(jié)果是否有顯著影響。具體步驟包括建立假設(shè)、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)等。方差分析原理研究單一因素對(duì)結(jié)果的影響，如比較不同品種作物的產(chǎn)量差異。單因素方差分析研究多個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響及因素間的交互作用，如研究不同施肥量和灌溉量對(duì)作物產(chǎn)量的影響。多因素方差分析方差分析原理及應(yīng)用場(chǎng)景介紹包