文科數(shù)學寒假作業(yè)答案1-8

命題參考答案

1.【答案】C

【解析】若方程f+2x-m=0有實根，則A=22-4x(-m)?o解得加2一1

所以命題：”若加>0,則方程爐+2%-m=0有實根”為真命題，則其逆否命題也為真

命題；

命題：“若m>0,則方程f+2尤-m=0有實根”的否命題為“若加《0，則方程

%2+2%-m=0沒實根”，顯然為假命題，故原命題的逆命題也為假命題

故真命題有2個；

故選：C

2.【答案】B

111-r

【解析】一<1等價于一一1<0等價于——<0等價于人(工一1)>。等價于I<0或

xxx

%>1,

J>1等價于J〉flj等價于X<0,

因為｛x|x<0｝。｛x|x<0或x>l｝,

所以是〉1"的必要不充分條件.

故選：B

3.【答案】C

【解析】當0<。2<“3時，設公比為4，

由ai<c“q<aq2得

若。1>0,貝?。?<4<爐，即夕>1,

此時，顯然數(shù)列｛”“｝是遞增數(shù)列，

若“1<0,則1>?>42,即0<q〈l,

此時，數(shù)列｛而｝也是遞增數(shù)列，

反之，當數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列時，顯然G—.

故"0<42<。3"是'等比數(shù)列｛a?｝遞增”的充要條件.

故選：C

4.【答案】B

【解析】“heR,爐+奴—4a=0”為假命題等價于“方程f+6—4a=0無實

根”，

即△=a?+16a<0，

解得：—16<a<0.

故選：B.

5.【答案】B

【解析】A項，命題“若x>2020,則x>0”的逆命題為“若x〉0,則x>2020”，顯

然命題為假；

B項，命題“若辦=0,則x=0或y=0”的逆命題為“若x=()或y=0,則孫=0”,顯

然命題為真，則原命題的否命題也為真；

C項，解%2+%一2=0,得無=1或%=一2,所以命題“若/+彳-2=0,則尤=1''為

假；

D項，f21nx1或所以命題“若fNi，則》21”是假命題，則其逆否命

題也為假命題.

故選：B.

6.【答案】A

【解析】因為/（—x）=2T+2'='f（x）,所以函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，所以P是真命題,

力是假命題，

又/<1，解得一iWaKl,滿足所以4是真命題，F(xiàn)是假命題，

所以，八4是真命題，p/x（F）是假命題，（」p）Aq是假命題，是假命

題，故選：A.

7.【答案】0,1

推斷出P的范圍是夕的范圍的子集，列不等式求解.

【解析】由（4x—3）2-1MO得，-1?4%3?1,

解得：-<x<l,即"：-<x<l,

22

由X?—（2〃z+1）*+6（帆+1）40,得：（x—m）（x一加一1）K0,

即，％WxWm+l,所以4：mWxWm+1,

因為9是P的必要不充分條件，所以<+,

1rr

加<一1I

即｛2,解得：0〈加（一，即實數(shù)機的取值范圍是0,-.

22

771+1>1

故答案為：0,；.

9

8.【答案】（一不4_00）

2

2X-4-1

【解析】存在工￡[-1,1],Q?3'+2V+1>0成立，即一。<-----在xw[—L1]上有

3V

解，

設的=箏=目+（捫

易得y=./U）在[-1，1]為減函數(shù)，

2139

所以即§++即1?/（%）二5，

99

即一。<一，所以一一,

22

_9

故答案為：（一/,+8）.

9.【答案】1,1

【解析】命題“若2m—l<x<3m+2,則l<x<3"的否命題為：

“若x42〃2-1或xN3m+2,則X23或工<1"，

若該命題為真命題，

則（-co,2m—1]u[3/n+2,+oo）o（—oo,l]kj[3,+oo）,

J2m-1<1

3m+223'

解得：tnw1,1.

故答案為：.

10.【答案】（0,gu[2,+oo）

22

【解析】對于命題P，方程」一+—J=1表示焦點在X軸上的橢圓，

"2+12-m

：.m+l>2-m>Q,解得一<相<2,

2

故命題P對應的集合為二

.2

對于命題4，由加2一44〃7+3〃<0可得（加一a）（m-3a）<0,

a>（）,：.a<m<3a,

故命題F對應的集合為{〃?|〃z〈。或wN3a},

F是，的必要不充分條件，

I

/.<m—<m<2>n^m\m<a或,

.??〃之2或3。（」，解得。〈,或

26

a>（）,，實數(shù)”的取值范圍為（0,，。[2,+8）.

故答案為：（0,：°[2,+8）.

11.【答案】充分不必要

【解析】當機=,時，直線（m+2）x+3my+l=0與直線（6―2）x+（機+2）y-3=0可

2'

5231053

化為y=一二%一—與〉=一》+一，因為一二x二=—l,所以這兩條直線相互垂直

335535

反之，當這兩條直線相互垂直時，加不一定為方，比如當〃?=-2時，這兩條直線的方

13

程分別為丫=一,x=-二，相互垂直

64

綜上，是"直線（〃2+2）》+3g，+1=0與直線（加-2）》+（〃2+2）丁-3=0相互垂

2

直”的充分不必要條件

故答案為：充分不必要

12.【答案】②③④

【解析】①的否命題為“若。工0,則"HO"，故①不正確；②特稱命題的否定為全稱

命題，故②正確：③根據(jù)互為逆否的充分必要性相同可知，「，是4的充分條件，則F

是〃的充分條件，即，是F的必要條件，故③正確；④命題是真命題，則。是

假命題，命題“〃或9”也是真命題，所以9是真命題，故④正確，所以正確的序號為：

②③④.

故答案為：②③④.

13.【答案】（1）we（0,l）u（2,3）；（2）0<利<4是4的必要不充分條件；答案見解

析.

>0

【解析】（1）若〃為真，則“機_]乂〃7_2）〉0，即0<機<1或機>2.

若。為真，則加（加—3）<0,即Ovmv3.

???當PA夕為真時,（0,1）o（2,3）.

（2）易知（0,3）0（0,4）,

故0vmv4是4的必要不充分條件.

14.【答案】（1）AuB={x|-4<x<l},AnB={x|-3<x<-2}；（2）

（-oo,-2]u[4,-i-oo）

【解析】（1）A=|x|x2+2x-3<o|=|^|-3<x<1}.

因為q=3,所以6={x|—3—1<x<—3+1}={X|—4<x<—2},

所以ADN={X|-4VXV1},

Ac3={'-3<x<-2}；

（2）因為8={X—a—1<犬v—a+1},

所以跖8={%）xW—〃-1或x2—〃+1}

因為9是〃成立的必要不充分條件，所以A。跖3,

所以有—a—1N1或—CL+1<—3,

解得：a<-2^a>4.

所以實數(shù)。的取值范圍（口,-2]34，位）

15.【答案】（1）a<|；（2）[-00,g卜（2石,+00）

【解析】（1）因為"[2,3]時，x2-x=x（x-1）>0,

所以3XG[2,3],不等式加―火-1<0成立，

轉(zhuǎn)化為上w[2,3],不等式“<一一成立，

X-X

所以a<二.

2

(2)令〃x)=2T-x,則y,(x)=-ln2-2-x-l<0,

r7"

所以“X)在［-1,2］上遞減，則“X)e--,3,

因為使不等式2f-再+君-畛<0成立.

所以一年+”>2f-百VX|e[-1,2]成立

所以-4+公2>3,切e[1,2]成立，

即a>3+>2.=上+/3x,e[1,21成立，

x2X2

333

令/?（》）=，+巧，而一+々22—“2=26,當且僅當一=電，即9=退時取等

工2工2V工0

號，所以1nto=2B,

所以a>26，

因為命題?和命題17—真一假，

I

a<一

當命題P為真，命題4為假時，2,

a<2^3

所以。<L

2

1

〃之一

當命題P為假，命題4為真時，2,

a>273

所以4>2逐，

綜上：實數(shù)”的取值范圍是1-8（卜（2點+時.

線性規(guī)劃參考答案

1.【答案】A

【解析】作出已知不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示:

I2

將目標函數(shù)z=x—2y變形為yn/x-],

由圖可知當直線經(jīng)過點40,2）時，截距一三最大，

2

所以，z=x-2y的最小值為-4.

故選：A

2.【答案】C

【解析】作出可行域，如圖A6C內(nèi)部（含邊界），&L3、8（—1,1）、C（2,l）,

22

則z=如+y（加〉0）取最大值為5,

y=-mx+z,即直線丁=一儂過點C或A時截距最大,

過C時，5=2m+l,解得根=2,經(jīng)檢驗滿足題意，

過A時，—/?/+—=5,m=5,經(jīng)檢驗不合題意.

22

綜上m=2.

故選：C.

3.【答案】D

【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，為ABC,

33)

可求得A（0,6）,B（0,2）,C252J)

113

則平面區(qū)域的面積為2X|AMXXC=］X4X5=3.

故選：D.

4.【答案】D

x+y20,

【解析】畫出不等式組〈x-y+4N0,（〃2〉0）表示的平面區(qū)域，如圖所示,

x<m

得到平面區(qū)域是以（-2,2）,（肛一加）,。律，M+4）為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），

則該區(qū)域的面積為機一（一2）］+4-（一M）］=9,解得機=1（舍負）.

2

【解析】設高二學生人數(shù)為x,高三學生人數(shù)為y,

y<x<7

則《:「，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分,

3y>l+x

根據(jù)不等式的解為整數(shù)，則陰影部分只有4（6,5）滿足，：.％=6,丁=5,

該志愿者服務隊總?cè)藬?shù)為7+6+5=18人.

故選：D.

6.【答案】B

【解析】平面區(qū)域為。滿足不等式（X-1）2+（y-2）2<4,

畫出其圖像如圖所示，

再畫出直線2x+y=8和直線2x+y=-1,

根據(jù)圖像可得存在（x,y）e。，在直線2x+y=8的上方，

所以命題2：V（x,y）eD,2x+y<8,是假命題，

不存在（x,y）e。，在直線2x+y=-l的下方

所以命題①3（x,y）eD,2x+y<-\,是假命題.

所以①Pvq為假命題；②「pvg為真命題：③〃為假命題：④為真命

題.

x>0

【解析】約束條件，對應的平面區(qū)域如下圖所示:

4x+3y<l2

小工2y+2y+l.

由十一——=--x2,

x+1x+1

其中含表示的幾何意義，表示平面上一定點2(-1,-1)與可行域內(nèi)任一點P(x,y)連

線斜率，

由圖易得當p為點A(0,4)時，;三取得最大值5,

從而生學的最大值10.

x+1

故答案為：10.

8.【答案】6

【解析】根據(jù)題意,畫出不等式組表示的可行域如下圖所示：

對于目標函數(shù)z=|2x+y|

當2x+y>()時,z=2x+y,即y=-2x+z.由函數(shù)圖像可知，將y=-2x平移，當經(jīng)過點

4(1,1)時取得最大值，此時Zmax=2+1=3

當2x+y<0時,z=-(2x+y)，即y=-2x-z.由函數(shù)圖像可知，將y=-2x平移,當經(jīng)過

點B(-2,-2)時取得最大值，此時z皿=|2x(-2)+(-2)|=6

綜上可知,z=|2x+y|的最大值為6

故答案為：6

9.【答案】13

【解析】作出可行域如圖所示

易知(X—3)2+(y+2)2表示可行域內(nèi)的點(x,y)與P(3,—2)兩點間距離的平方，通過數(shù)

形結(jié)合可知，當(x,y)為直線x+y=2與y=l的交點A時，取得最小值，

x+y=2..

由<:可得A(U)

.y=l

所以(x—3)2+(y+2)2的最小值為(1—3)2+(1+2)2=13

故答案為：13

10.【答案】叵

2

【解析】畫出可行域如下圖陰影部分所示，由圖可知，

點。（2,0）到直線x+y-1=0的距離是|PQ|的最小值,

即最小值為空浮1=也.

V22

故答案為：—

【解析】設2=乂+九則y=-x+z,

'2x+y>4

作出約束條件<6x—y<12表示的平面區(qū)域，如圖:

2%—3yz—12

z的最大值，即直線y=-x+z的縱截距的最大值，

由圖可知，當直線經(jīng)過點c時，縱截距最大.

（6x7—12=0fx=3

Lc，解得｛,,

2x—3y+12-0[y=6

所以z的最大值為3+6=9,此時為，丁均為正整數(shù)，符合要求.

所以該社團今年計劃招入的學生人數(shù)最多為9.

故答案為：9

12.【答案】[一0

【解析】

y<x

由題設可知：A民。均在平面區(qū)域《“內(nèi),

%<4

因為，=2表示過定點（0,-2）的動直線，如圖，根據(jù)A,3,C三點的分布可得:

48在平面區(qū)域1犬44的內(nèi)部或邊界上，

y>kx-2

y^x-2>A:x1-2

而C不在平面區(qū)域的內(nèi)部或邊界上,故<02%x3-2,

y>kx-2-3<kx2-2

解得—<%?0.

2

故答案為：［一

13.【答案】（1）見解析（2）a+4b=2（3）m<--

4

8x—y—4W0

【解析】（i）畫出約束條件，x+y+iwo表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示;

y-4x<0

（2）由圖形知，當直線好+勿=2（。>08>0）過直線8萬一、-4=0與丫=4》的交點8（1,4）

0寸，

目標函數(shù)z=依+by（a>0,6>0）取得最大2,

即a+4b=2；

（3）由題意,

4r4b

當且僅當a

119

所以上+；的最小值是三；

ab2

不等式機-++對任意xeR恒成立,

ahI4J

等價于mx1-x+^n+Yj^|對任意xeR恒成立；

即mx2—x+(，"一：)<0,

m<0

解得實數(shù)m的取值范圍是m<-.

4

14.【答案】(1)1180元；(2)選擇方案一更劃算，理由見解析.

【解析】(1)設該作坊生產(chǎn)“飛火流星”足球x個，“團隊之星”足球y個，作坊獲得的利

潤為z元，

100x+50y<25002x+y<50

300x+400y<120003x+4y<120

則即《

x>0x>0

y>0y>0

目標函數(shù)z=40x+30y,(x,ywN).

由圖可知，當直線/經(jīng)過點(16,18)時，z取得最大值1180,

即該作坊可獲得的最大利潤為1180元；

(2)若作坊選擇方案一，則其收益為1180x(1-10%)=1062元：

若作坊選擇方案二，則作坊生產(chǎn)的足球越多越好，設其生產(chǎn)的足球個數(shù)為人

貝ijf=x+y(x,yeN),

2x+y<50

3x+4y<120

由(1)知，、八.作圖分析可知，當x=16,y=18時，f取得最大值,

x>0

y>0

此時作坊的收益為(16+18)x30=1020元，故選擇方案一更劃算.

15.【答案】(1)答案見解析；⑵①2;②6-4血.

【解析】(1)由動點P(x,y)到兩坐標軸的距離之和等于它到定點4(1,1)的距離

.?.|x|+M=J(x_l)2+(y_i)2,兩邊平方并化簡，有的+x+y-l=0

1-r2

當母NO時，可得Ay+x+y—1=0，即y=—=(x<-lngo<x<l)

1+x1+x

當孫V0時,一孫+<+y-1=0,BP(l-x)(y-l)=O,故x=l(y<0)或y=1。<0)

動點P的軌跡為:

(2)①設x+2y=f,依r的幾何意義：直線x+2y-/=0與p的軌跡有交點的情況下,

在x或y軸上的截距最大即可

.?.當x+2y-/=0過(0/)時x+2y有最大值為2

②設x2+y2=z,依z的幾何意義：圓x2+y2=〃與p的軌跡有交點的情況下，半徑「

最小的情況

2

??.當/+/=/與y=—1+_^—在0WXW1分支相切時，f+y2有最小值，切點為

1+X

(^2—1,^2—1),r-2—>/2

故Z的最小值為6-4夜

柱、錐、臺的體積參考答案

1.【答案】B

【解析】因為PC=AB=7^,PA=BC=W),AC=PB=2,

構(gòu)造長方體如圖所示：

PG

F

D

則PC,AB,PA,BC,AC,依為長方體的面對角線，

a2+b2=5

iSLAD=a,BD=b,CD=cf則卜2+/=3,

/+C2=4

Cl=5/3

解得=所以三棱錐P-A3C的體積為：

c=1

長方體的體積減去三棱錐C—DAB,F-PAC,G-PBC,E-PAB的體積,

B|JV=73x72x1-4x1x^x1x72xl=^,

323

故選：B.

2.【答案】A

【解析】由題意可設長方體的過一個頂點的三條棱長分別為a,2a,3a,

則有M+（2a）2+伽）2=（2啊2,

即14a2=4x14,解得a=2,

長方體的過一個頂點的三條棱長分別為2,4,6,

/.這個長方體的體積是『=2x4x6=48,

故選：A.

3.【答案】C

【解析】由題可知要使水面高度達到7,

則至少需要增加水面升高部分的體積為乃X22X（7-5.5）=6〃，

4,4

一個小鐵球的體積為1X]XF=§萬.

4

假設至少需要"個小鐵球，則§萬6萬

又???〃—

.?.最少需要5個小鐵球，

故選：C.

4.【答案】C

【解析】設圓柱的底面半徑為r，則高為2r，設球半徑為R，

2

二.S|=2乃/+2〃r?2r=，S2=4^/?,

5,_6兀$2r2

—廿4兀N一"~R=3'

nr2-2r_3r3_4

則這個圓柱跟這個球的體積之比為4.=定=，?

-7lR

3

故選：C.

5.【答案】D

12

【解析】底面半徑為廠=「7=2,

2x3

V=底3*22、1=4立方丈=4*1()6立方寸=空等斛，

327

故40000*324+1000=480兩.

27

故選：D

6.【答案】D

【解析】在中，AG=4cl=1,。為A4中點

SAB?=]|jxlxlj=w

...直三棱柱ABC-A|B￡中，A/1平面A14G

A4,=6是三棱錐A-A|CQ的高，也是直三棱柱ABC-AB]。的高,

14411w

1/Sc-AA-x—x*\/3]

.GAG。_3A&rGD。?_34_J_

??—―1-

匕。c-A4GSAB??Mlx^6

2

二棱柱ABC-ABG被平面ACQ分成的兩部分的體積比為15

故選：D

7.【答案】2叵

27

【解析】設球。半徑為K,正三棱柱ABC—4B￡的底面邊長為“，則R=3X3=

32

——6F,BPa=2Rf

又正三棱柱ABC—AB￡的高為2R,

4萬W

所以球o的體積與正三棱柱ABC-44。的體積的比值為4--------

——V3a2x2CRD

4

3兀R3

32岳

—X12/?2X27?27

4

故答案為：2墾

27

8.【答案】—

2

【解析】設球的半徑為「，則由題意可得球的表面積為4乃產(chǎn)=§x6%，???/二1，

???圓柱的底面半徑為1，高為2，???最多可以注入的水的體積為

7TX\2X2——X^xl3=幺1

33

故答案為：年24.

9.【答案】31

3

【解析】因為三棱錐P—ABC的四個表面是都是直角三角形，且PA1平面ABC,

AB\平面ABC,ABI平面ABC,BCu平面ABC,

所以附LAB，PAIAC，PA±BC

若AC,AB,則3c==2&,pc=y]p^+AC2=275-

PB=^PA1+AB2則PBC不為直角三角形，故

因為曰AB=A,所以面E46，ABu面B45,所以3C,依,

所以BC=Y1AC2-AB2=25/3

所以sA8c=gx2x20=2石

所以MpABC=」PA-S.?C=-X2X2A^=—

r-/IDC3/loC3"3

故答案為：勺2

3

A

10.【答案】16乃

【解析】因為A3C與球心O在同一平面內(nèi),

所以。是△ABC的外心，設球半徑為R,

1,

則SAKc=萬x2RxR=R-,

當S到ABC所在面的距離為球的半徑R時，三棱錐S-ABC體積最大，

111Q

故V涉3.=§SxR=§X收XR=§代=§

所以R3=8，

解得R=2,

故球表面積為44R?=4萬x4=16萬，

故答案為：16萬

11.【答案】21952

【解析】根據(jù)題意，當球的表面與四棱柱體的各個側(cè)面相切時，

即正四棱柱的底面邊長為球的直徑時，球的半徑取得最大值，

正四棱柱的體積乂=22x4=16(n?).

四棱錐O—ABCD的底面為邊長為2m的正方形，高〃=2m,所以其體積

V4=1x22x2=1(m3).

球M的半徑，?最大為1m，此時其體積匕=g兀兀xi3=j(m3),

故該雕刻師需去除的石料的體積V=h—匕一匕=16-。一普。三一(n?).

又夕=2.4g/cm3=2400kg/n?,

2744

所以該雕刻師需去除的石料的質(zhì)量約為240()x—1—=21952(依).

故答案為：21952(依).

12.【答案】置叵兀

3

【解析】解析：如圖，設三棱錐P-A3C外接球的球心為O,半徑為R,

連接PQ，00,,PO,AO,

由已知得5c為圓0］的直徑，BC=2五,則AO|=&.

因為cos/PAQ=2也，所以在△尸中，由余弦定理得，

17

22

P。；=PA+AO-2PA-A0}cosNPAOQ,所以PQ=2血.

又A。：+P0~=10<PA2=14,所以NPO|A為鈍角，

PAP01_=

由正弦定理得‘sin/pqA=sin/PAa'即sinNPQA回'

7

得sin/PO|A=母，所以NPO1A=120°.

根據(jù)圓的性質(zhì)可得。0|1A?！浚瑒t/PO0=30°

在心VAOq中，00；=*-2,在△POO］中,

PO-=00;+尸。；一2。?！甘琣cos/尸。1。，

即R2=R2_2+8-2正-2X2V2cos30°，得爐=：，

447近7后兀

故丫=_兀/?3=一兀X—X—f==------.

332加3

7V14

故答案為:--------兀

3

13.【答案】⑴|⑵體積：1152班加.表面積：144。+⑸n/

【解析】（I）設球的半徑為「，則圓柱底面半徑為「，高為2r

圓柱的體積Vj=7tr2-2r=2兀r，

球的體積匕=~^3

3

匕_2萬/_3

?,圓柱與球的體積比為：訝=43="

27TF

3

（2）由題意可知：圓錐底面半徑為〃=12CTTI,高為2〃=24C7?Z

二?圓錐的母線長：I=J尸+（2〃y=yfsr=12>/5cm

17

?'?圓錐體積：V=-7ur2-2r=-n-xl23=1152TT（?W3.

33

圓錐表面積：S=兀$+7trl=144兀+1446兀=1440+V5.

14.【答案】（1）證明見解析；（2）逑

3

【解析】（I）如圖所示：取中點N,連接MN、AN,

P

Nk

D

B

例是PC的中點，N為包）的中點，則MV4c。且=

AB//CD,且A84C。，

2

:.MN//ABaMN=AB,

..四邊形也如45是平行四邊形，

BM//AN,

又BMz平面「捫，ANu平面外￡）,因此，BM〃平面也）；

（2）M是PC的中點，

^P-ADM=^M-PAD=2^C-PAD=gVP-ACD，

取AD中點石，連接DE、CE,取8的中點/，連接AF.

PA=PD，E為4）的中點，

；.PE1AD，

在梯形ABCD中，ZABC=ZBCD=90,2AB=2BC=CD=4,/為CD的中點,

:.CF=-CD=AB,

2

又AB//CF,則四邊形ABCF為矩形，

：.AF=BC=2,且AF_LCD,,AD=〃產(chǎn)+D產(chǎn)=2及，

.?.A4DF為等腰直角三角形，且NAO尸=45,

PA=PD，PD1PA>

2

在ACDE中，由余弦定理得

CE2=DE2+CD2-2CD-DEcos45=2+42-2x4x>/2x^=10,

PC=20，PE2+CE2=PC2，

:.PE1CE,

ADCE=E,

.?.PEI平面ABC。，PE=4i,；.Vp_ACD=；S&ACD.PE=；xgx4x2x4i=尊，

二三棱錐P-ADM的體積為乎.

15.【答案】（1）證明見解析；（2）旦

3

【解析】（1）如圖，過點。作圓柱的母線。石，連接AE、BE,

因為母線QE與底面ME垂直，BEu平面ABE,：.BE1.DE，

因為AB是底面圓的直徑，所以

又AEDE=E,所以3E1平面ADE,

因為。E〃B。且DE=BC,則四邊形BCDE為平行四邊形,

所以，CD//BE,所以CD_L平面ADE，

又ADu平面ADE，所以AD_LCD；

(2)圓柱側(cè)面積為兀?AbBC=4兀，所以4B=BC=2.

因為異面直線AB和CO所成的角為30，KBE//CD,所以NA8E=30°,

所以A￡=l,BE=6所以，S^BE=-AE-BE=^-,

由于四邊形3CDE為平行四邊形，則Si=SBDE，

所以，VA_BCD=VA-BDE=VD-ABE=；S&ABE，DE=；x*x2=^.

三視圖參考答案

1.【答案】A

【解析】由三視圖可知，該三棱錐底面是腰為1的等腰直角三角形，高為2,

所以該三棱錐的體積V=2xLxlxlx2=L.

323

故選：A

2.【答案】B

【解析】根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和行的直角三角

形(如圖所示),

根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3,所以體積為

V=1X(1X2XV2)X3=V2.

故選：B.

V

72

3.［答案］C

【解析】由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示,

取A3的中點。，則0CLA3,

易知A3=OC=2,PC=1,

又PC_L底面ABC,

所以PCJ_BC,

從而最長棱為Q4和PB，

所以最長的棱長為：722+12+12

故選：C.

4.【答案】D

【解析】棱長都是2的直三棱柱的俯視圖是一個正三角形,

故該直三棱柱的主視圖為矩形(中間可能有一豎線)，

矩形的高a=2,

底邊a，2],

故該直三棱柱的主視圖的面積Se[2G,4],

ABCD中只有D中的3形e[2有，4],

故選：D.

5.【答案】C

【解析】由題意，06=1或0iG=l，

所以正方形awe的邊長為1或2,

所以正方形。43。的面積為1或4.

故選：C

由三視圖知：幾何體為上圖四棱錐8-AO24,且AO4A為邊長為1的正方形，

AB=5將其補全為長方體ABC￡>-44G9,則幾何體的外接球即為該長方體的

外接球，所以外接球半徑H為長方體的體對角線的一半,

AR=占+:+行=好，由外接球的表面積為4萬/?2=5乃，

22

故選：A

7.【答案】4+4近

【解析】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，記為四棱錐P-A8CD,如圖所示，其中

PA_L底面ABCC,四邊形ABC。是正方形，且PA=2,AB=2,PB=20,

PAJ_底面ABC。，BCu平面ABC。，則處J_BC,又3c_LAB,ABoPA^A,A

3C,平面RW，必匚平面2鉆，，3。，。3，同理CDLPZ),

所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個直角三角形的面積和，

故答案為：4+472.

【解析】作出直觀圖如圖所示,通過計算可知AF,OC最長，且

DC=AF=YIBF2+AB2=373

故答案為：3g.

【解析】由三視圖知，該幾何體是一個正四棱柱與半球的組合體，

且正四棱柱的高為及，底面對角線長為4,球的半徑為2,

所以該正四棱柱的底面正方形的邊長為2近，

所以該幾何體的表面積5=gx4^x22+n-x22+2V2xV2X4=12^+16.

故答案為：12%+16

10.【答案】4

【解析】由三視圖可知該幾何體由兩個相同的正四棱錐組成.

???正視圖，側(cè)視圖都是面積為立，一個內(nèi)角為60。的菱形，

2

設該菱形的邊長為“，則面積為2xLx/x走=立，則。=1

222

二菱形的邊長為1，

所以正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)面底邊長為1，斜高為1，

所以側(cè)棱長為5,j=當，

.??幾何體的表面積為8x』xlxl=4,

2

故答案為：4

【解析】俯視圖中有4個正方形，

組合幾何體的最底層有4個正方體，

由正視圖和左視圖可得俯視圖第二層只有一個正方體，

在俯視圖從上邊數(shù)第二行，從左邊數(shù)第一列的正方體上面，

正方體的邊長為1，

正方體的面積為1，

上面有4個正方形，左面和右面共有2x3=6個正方形，

前面和后面共有2x4=8個正方形，

???共有18個正方形，

該立方體露在外面部分的表面積是18。層.

故答案為：18.

12.【答案】1：1

【解析】由題意知，點p在正視圖中的射影在AA上，

所以正視圖是以AO為底邊，A4為高的三角形，

同理，點p在側(cè)視圖中的射影在G2上，

所以側(cè)視圖是以CD為底邊，AA1為高的三角形，

因為ABC。—44G。為正方體，所以A8=AD=A41,

1,1,

所以三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積比為一AB?:―A3?=1:1.

22

故答案為：1:1

13.【答案】見解析

【解析】（1）根據(jù)正視圖與俯視圖可以得出下列結(jié)論：①a=3,b=l,c=l；

②d,e,f中的最大值為2.所以可以確定的是a=3,b=l,c=l.

（2）當d,e,f中有一個是2時，有3種不同的形狀；

當d,e,f有兩個是2時，有3種不同的形狀；

當d,e,f都是2時，有一種形狀.

所以該幾何體可能有7種不同的形狀.

14.【答案】3V3

【解析】取CF中點P,過P作尸Q〃CB交8E于。，連接PC,QD,

則AQ〃CP，且A￡>=CP.

.,.四邊形ACP/）為平行四邊形，；.4C〃PD

平面POQ〃平面ABC.該幾何體可分割成三棱柱PDQ-CAB和四棱錐D-PQEF,

x2

??V=VPDQ-CAB+Vn-PQEf—^2f,in60°x2+^x^+^x~Xy/J—3-/J.

（2）設正方體棱長為“，截面右下方的體積是

H=%臺MNBWg=.#++#卜=(“3,

17a

截面左上方的體積是匕=丫-匕=獷,

分正方體成兩部分的幾何體體積之比是■：%=7:17.(也可寫成17:7).

空間點、線、面之間的位置關(guān)系參考答案

1.【答案】B

【解析】對于A,若/，相，m^a,則/與a可能平行、相交或在平面內(nèi)，故A錯

誤；

對于B,若/_La,〃/機，則加_La,故B正確；

對于C,若l/im,mua,則/與?？赡芷叫谢蛟谄矫鎯?nèi)，故C錯誤；

對于D,若〃/a,a〃尸，則/與夕可能平行或在平面內(nèi)，故D錯誤.

故選：B.

2.【答案】B

【解析】過A作平面a的垂線，交平面a于。，則直線和直線A0確定的平面垂直

a,

假設存在另一過A8的平面/la,則設yca=/,則可過A作AO'，/，這與過平面

外一點只能有一條直線與平面垂直矛盾，故這樣的平面夕只有1個.

故選：B.

3.【答案】D

【解析】如圖，不妨設4)=2.

取PD的中點為。，連接QM,QN,QC,

則QNHCDHMB區(qū)QN=；CD=MB,

故四邊形MBNQ為平行四邊形，BN//MQ,

?.ZQMC即為所求異面直線所成的角.

在△QMC中，MC=CQ=亞,QM=娓,

則cosZQMC=5+2-5=巫

2xV5x5/610

故選：D.

4.【答案】D

【解析】當a//a,a//〃時，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得a//。,a//c,可得

b//c；

當a//a，。與夕斜交時，人與c異面：

當a與/相交時，人與c相交.

故選：D.

5.【答案】C

【解析】對于①，若平面a垂直平面夕，則平面a內(nèi)的直線有可能與平面用平行，故

①錯誤；

對于②，平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故②錯誤；

對于③，垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面，故③正確；

對于④，因為一條斜線在平面內(nèi)只有一條射影，所以過平面。的一條斜線有且只有一個

平面與平面a垂直，故④正確.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】在同一個平面中，最多有3條射線，使得任意兩條射線構(gòu)成的角均為鈍角，但

是平面外不存在直線與這3條射線構(gòu)成的角均為鈍角，若平面內(nèi)有2條射線構(gòu)成的角為

鈍角，則在空間中，在兩條射線所構(gòu)成平面的一側(cè)只能有一條射線同時與這兩條射線所

成的角為鈍角，平面兩側(cè)一共存在2條射線，此時共有4條射線.

故選：B.

7.【答案】BD

【解析】點E、”分別在AB、4。上，而AB、AO是平面4汕內(nèi)的直線

..Ee平面越°,“G平面相。，可得直線u平面

點尸、G分別在BC、CO上，而BC、CO是平面8c。內(nèi)的直線，

.?.尸6平面88，Gw平面BCD,可得直線FGu平面BCD,

因此，直線EH與FG的公共點在平面4町與平面BCD的交線上，

平面ABDc平面5CD=%),

，點MG直線

故答案為：BD.

8.【答案】①③④

【解析】對于①，連接AC、BD，取AE的中點H,連接GH、CH,

在正方體AEGE-兒WDP中，四邊形AEGE為正方形，則〃尸G且AE=EG,

H、3分別為AE、fG的中點，則A〃〃8G且A”=8G,

所以，四邊形ABGH為平行四邊形，可得AB//GH,

同理可證四邊形CDG”為平行四邊形，所以