隨機(jī)過程復(fù)習(xí)試題及答案

證明：當(dāng)0<t1<t2< <*t時,P(X(t)<xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=112 2 nnP(X(t)-X(t)<x-xX(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)=n n 1 1 2 2 n nP(X(t)-X(t)<x-x)，又因?yàn)镻(X(t)<x|X(t)=x)=P(X(t)-X(t)<x-xX(t)=x)=n n nn nn nnP(X(t)-X(t)<x-x)，故P(X(t)<x|X(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=P(X(t)<x|X(t)=x)n n '11 2 2 nn cos兀tHTcos兀tHT ,te(-8,+8)，設(shè)pHP=tT求(1)｛X(t),te(—8,+8)｝的樣本函數(shù)集合；(2)一維分布函數(shù)F(x;0),F(x;1)。解：(1)樣本函數(shù)集合為｛cos兀t,t｝,te3,+3)；3.設(shè){X,n>0}為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I，則對任意整數(shù)n>0,1<l<n和i,jeI，n步轉(zhuǎn)移n概率p(n)=Hp(l)p(n-1)，稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程，證明并說明其意義。ij ikkjkeI&(n)=j|X(0)=i}=P&(n)=j|X(0)=i}=PvX(n)=j^jX(l)=k|X(0)=i>l keI 丿=工P&⑴=k|X(0)=i}P&(n)=j|X⑴=k,X(0)=i}=工Pia)Pkn-l)，其意義為n步轉(zhuǎn)移概率可以證明：P(n)=Pijkel=工P{X(n)=j,X(l)=k|X(0)=i}keIkeI用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。4.設(shè)｛N(t),t>0｝是強(qiáng)度為九的泊松過程，｛Y,k=1,2, ｝是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與k{N(t),t>0}獨(dú)立，令X(t)M)Y,t>0，證明：若E(Y2<8)，則E[X(t)]=XtE{Y}。

k1k=1證明：由條件期望的性質(zhì)E[X(t)]=E｛[X(t)|N(t)]｝，而E[X)N|)=EY=EYY|N(t)=n|=E(i=1ii=1工Y=nE(Y)，所以E[X(t)]=xtE{丫}。1.拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過程：X(t)=｛⑵當(dāng)t=0時，P{X(0)=0}=P{X(0)=l}=0x<00x<0112 x>1故F(x;0)= 0<x<1；同理F(x;1)=S12 x>1221x>1設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客不超過3人的概率。解：設(shè){N(t)，t工0}是顧客到達(dá)數(shù)的泊松過程，“2，故P{N(2)=k}= ，則QC ^71P{N(2)<3}=P{N(2)=0}+P{N(2)=1}+P{N(2)=2}+P{n(2)=3}=e-4+4e-4+8e-4+3e-4=3e-4設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為Q，而今天無雨明天有雨的概率為0;規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)a=0.7,卩=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=PP「0.70.3「解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=PP「0.70.3「0001=P10P110.40.6，于是0.610.39P(2)=PP=0.520.48四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P(4)=P(2)P(2)=0.57490.56680.42510.4332，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為P00)=0.5749。4.一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3三個點(diǎn)上作隨機(jī)游動，1和3是兩個反射壁，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于2時，下一時刻處于1,2,3是等可能的。寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若有，求出極限分布。解：步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=01010解：步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=01010130十3十33P(2)=P2=十-7缶999+十+333兀=十兀=十5nq兀=-35=1 K=十由P(2)>0知，此鏈有遍歷性；設(shè)極限分偵=g,役，兀3)，兀=■—兀1 32方程組尿=十兀3 3 2兀+兀+兀

5?設(shè)有四個狀態(tài)I={0,,2,3}的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=O-X1O-X1o11/4O2/22/2.1O對狀態(tài)進(jìn)行分類；對狀態(tài)空間I進(jìn)行分解。解：(1)圖略；(2)p二1,而p，p，p均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記。={3}；0,33 30 31 32 11兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達(dá)其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一