第12章 全等三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練-2023年初中數(shù)學(xué)8年級(jí)上冊同步壓軸題（教師版含解析）

第十二章全等三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．已知：如圖，∠GBC，∠BAC的平分線相交于點(diǎn)F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度數(shù)為()A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【詳解】解：作FZ⊥AE于Z，F(xiàn)Y⊥CB于Y，F(xiàn)W⊥AB于W，∵AF平分∠BAC，F(xiàn)Z⊥AE，F(xiàn)W⊥AB，∴FZ=FW，同理FW=FY，∴FZ=FY．∵FZ⊥AE，F(xiàn)Y⊥CB，∴∠FCZ=∠FCY，∵∠AFB=40°，∴∠ACB=80°，∴∠ZCY=100°，∴∠BCF=50°．故選B．2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，且DE＝DG，則∠AED＋∠AGD和是(

)A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)作于，如圖，是的角平分線，，，，在和中，，，，，．故選：A．3．如圖，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE,且AB+AC=BE，則∠B的大小是(

)A．42° B．44° C．46° D．48°【答案】D【詳解】如圖，延長BA到F，使AF=AC，連接EF，∵AB+AC=BE，∴AB+AF=BE，即BF=BE，∴∠F=∠BEF=，∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，∵∠BAD=∠DAC=9°，∴∠FAE=180°-(∠BAD+∠DAE)=180°-(9°+90°)=81°，∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°，∴∠FAE=∠CAE，在△AFE和△ACE中，，∴△AFE≌△ACE(SAS)，∴∠F=∠ACE，又∵∠ACE為△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°，∴∠B+18°=，解得∠B=48°．故選D.4．如圖，在中，，，平分，于，若，則為______．【答案】4【詳解】解：延長BA，CE交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝90°，，∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∴ECCF=4．故答案為：45．如圖，為等腰的高，其中分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為_____．【答案】【詳解】解：如圖1，作，且，連接交于M，連接，是等腰三角形，，，，，，，，在與中，，，∴當(dāng)F為與的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，的值最小，此時(shí)，，故答案為：．6．如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數(shù)為_______．【答案】【詳解】作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，∵又∵，∴∵，F(xiàn)A=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴，故答案為：．7．如圖，在中，，BD平分，E是AB上一點(diǎn)，且，連接DE，過E作，垂足為F，延長EF交BC于點(diǎn)G．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是______．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))【答案】①③④【詳解】∵BD平分，∴，∵，∴又∵，∴，∴,故①正確；過D作DM⊥AB，∵，∴，又∵BD平分，∴，在中：，∴，故②說法錯(cuò)誤；∵，∴，在四邊形CDFG中，，∴，∵，∴，∴，即，故③正確；設(shè)，則，∵，∴，在中，，∴，∵，∴，故④正確．故答案為：①③④．8．如圖，三角形ABC中，BD平分，若，則_______．【答案】8【詳解】解：如圖，延長AD交BC與點(diǎn)E，∵BD平分∴∵BD=BD∴∴AB=BE∴∵∴∴∵AD=DE，∴∴故答案為：8．9．如圖，在和中，，，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，兩邊分別交，于點(diǎn)，，連接，則的周長為______．【答案】4【詳解】延長AC至E，使CE=BM，連接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，，∴△BDM≌△CDE(SAS)，∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案為：4．10．(1)如圖1，△ABC中，AD為中線，求證：AB+AC＞2AD；(2)如圖2，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求證：BE+CF＞EF．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【詳解】(1)如圖，延長至點(diǎn)E，使．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．(2)如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接CG，EG．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵，∴，∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．11．問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時(shí)，求DE的長．【答案】問題背景：SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應(yīng)用：DE＝6．【詳解】問題背景：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA(SAS)，∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴AN＝DE，∵M(jìn)N＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．12．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．(1)當(dāng)∠A＝80°時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；(2)求證：CF＝FG＋CE．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】(1)解：在△ABC中，∵∠A＝80°，∴，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，，，∠EDC=∠DBC+∠DCB；(2)解：在線段上取一點(diǎn)，使，連接，如圖所示：平分，，在和中，，，，，，為的一個(gè)外角，，為的一個(gè)外角，，平分，，，∠A＝2∠BDF，在和中，，，，，．13．如圖，ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．(1)說明BECF的理由；(2)如果AB5，AC3，求AE、BE的長．【答案】(1)見解析；(2)BE1，AE4．【詳解】(1)證明：連接BD，CD，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，BEDCFD90，DGBC且平分BC，BDCD，在RtBED與RtCFD中，RtBED≌RtCFD(HL)，BECF；(2)解：在AED和AFD中，AED≌AFD(AAS)，AEAF，設(shè)BEx，則CFx，AB5，AC3，AEABBE，AFACCF，5x3x，解得：x1，BE1，AEABBE514．14．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，∥，∥點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．，且EF交正方形外角的角平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B，C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；

(2)小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)正確．證明見解析；②正確.證明見解析.【詳解】試題分析：(1)在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME，根據(jù)已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF，因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以AE=EF．(2)在BA的延長線上取一點(diǎn)N，使AN=CE，連接NE，根據(jù)已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以AE=EF．試題解析：(1)正確．證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴AE=EF．(2)正確．證明：在BA的延長線上取一點(diǎn)N．使AN=CE，連接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF．15．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交∠ACB的平分線CE于點(diǎn)O．(1)求證：．(2)如圖1，若∠A=60°，請(qǐng)直接寫出BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖2，∠A=90°，F(xiàn)是ED的中點(diǎn)，連接FO．①求證：BC?BE?CD=2OF．②延長FO交BC于點(diǎn)G，若OF=2，△DEO的面積為10，直接寫出OG的長．【答案】(1)見解析；(2)BE+CD=BC，；(3)①見解析；②【解析】(1)證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?(180°?∠A)=∠A+90°；(2)解：BE+CD=BC．在BC上截取BM=BE，連接OM，如圖：∵∠BOC=∠A+90°=120°，∴∠BOE=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠MBO，∴△BOE≌△BOM，∴∠BOE=∠BOM=60°，∴∠MOC=∠DOC=60°，∵OC為∠DCM的角平分線，∴∠DCO=∠MCO，在△DCO與△MCO中，，∴△DCO≌△MCO(ASA)，∴CM=CD，∴BC=BM+CM=BE+CD；(3)①證明：如圖，延長OF到點(diǎn)M，使MF=OF，連接EM，∴OM=2OF．∵F是ED的中點(diǎn)，∴EF=DF，∵∠DFO=∠EFM，∴△ODF≌△MEF(SAS)，∴OD=EM．過點(diǎn)O作CE，BD的垂線，分別交BC于點(diǎn)K，H，∴∠OCK+∠OKC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACE+∠AEC=90°∵∠ACE=∠OCK，∴∠AEO=∠OKC，∴∠BEO=∠BKO，∴△O