4.5增長速度的比較

4.5增長速度的比較TOC\o"13"\h\z\u題型1求函數(shù)的平均變化率 2題型2幾類函數(shù)模型增長差異的比較 5題型3不同(相同)函數(shù)在同一不同）區(qū)間上平均變化率的比較 9知識點(diǎn)一.平均變化率概念：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2)或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為?f?x實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，可用平均變化率來比較函數(shù)值的變化的快慢.理解：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值平均將增加?f?x作用：比較函數(shù)值變化的快慢.知識點(diǎn)二.平均變化率的幾何意義函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2)上的平均變化率?f?x表示函數(shù)y=f(x)圖像上過點(diǎn)（x1，f（x1））和點(diǎn)（x2，f（x2））的直線的斜率。注意：?x是變化量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即?x=x2x1≠0，但?x可以為正，也可以為負(fù).知識點(diǎn)三.三種常見函數(shù)模型的增長差異性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在（0,+∞）上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖像的變化隨x的增大逐漸變“陡”，近似與y軸平行隨x的增大逐漸趨于（平緩），近似與x軸平行隨x的增大勻速上升，保持固定增長速度增長速度y=ax的增長速度快于y=kx，y=kx的增長速度快于y=logax增長后果必存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax題型1求函數(shù)的平均變化率【方法總結(jié)】求平均變化率的主要步驟：先計(jì)算函數(shù)值的改變量△f=f（x2）f（x1）.再計(jì)算自變量的改變量△x=x2x1.（3）得平均變化率?f?x=【例題1】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)=x2+1，當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)f(x)A．2.1 B．1.1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)平均變化率的求法即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的平均變化率為：f1.1故選：A.【變式11】1.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）對于以下四個(gè)函數(shù)：①y=x；②y=x2；③y=x3；④y=1A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】分析求出四個(gè)函數(shù)的平均變化率，然后比較即可.【詳解】①ΔyΔx=2-12-1=1，②ΔyΔx=故選：C．【變式11】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為5，說明當(dāng)自變量減小3個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值的變化情況.【答案】自變量減小3個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值減小15個(gè)單位.【解析】根據(jù)平均變化率的意義，即可求解【詳解】由題意知ΔfΔx∴自變量減小3個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值減小15個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)區(qū)間內(nèi)平均變化率的意義及其求法，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=2x，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1,2]與【答案】2，4，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，區(qū)間的左端點(diǎn)值越大，函數(shù)值增加越快.【解析】設(shè)x1,x2是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x12x1-2x1x【詳解】因?yàn)棣Δx所以y=2x在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為y=2x在區(qū)間[2,3]上的平均變化率為不難看出，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，區(qū)間的左端點(diǎn)值越大，函數(shù)值增加越快.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求f(x【答案】變量每增加1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值增加5【解析】在任意區(qū)間x1,x從而有自變量每增加1個(gè)單位時(shí)函數(shù)值增加5.【詳解】f(x)=5x+1f(【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)任意區(qū)間上的的平均變化率，通過函數(shù)的平均變化率來研究函數(shù)圖像變化快慢趨勢，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】5.（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）寫出同時(shí)滿足下列條件的一個(gè)函數(shù)f(x)：若[a,b]是f【答案】f(【解析】f(x)在區(qū)間[a,b]【詳解】f(x)=-1x，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，設(shè)定義域內(nèi)任意子區(qū)間[x1,x【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)區(qū)間平均變化率的意義，以及與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】6.（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f【答案】證明見解析【解析】根據(jù)函數(shù)區(qū)間內(nèi)平均變化率的意義，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程，再轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，即可證明結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)x0,y0為f(x)上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)x,y是f(x【點(diǎn)睛】本題函數(shù)在區(qū)間內(nèi)平均變化率的意義，及直線方程與一次函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】7.（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(（1）求f(x)在區(qū)間[1,2]（2）記A(1,【答案】（1）-6,-8；（2）kAB【解析】（1）f(x)=-x2-3x在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為Δf（2）用斜率公式可求kAB【詳解】（1）f(x)=-ΔfΔx=f(2)-f(1)（2）k【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率，以及區(qū)間兩端點(diǎn)連線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.題型2幾類函數(shù)模型增長差異的比較【方法總結(jié)】常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)1線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋bk>0的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變.2指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝axa>1的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.3對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logaxa>1的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.【例題2】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A．y=ex B．C．y=2x D．y=e【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長率的快慢，分析可得答案．【詳解】函數(shù)y=e當(dāng)函數(shù)值隨x的增大而增大時(shí)，在對數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快，如圖所示，即四個(gè)函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是是y=e故選：A【變式21】1．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）四個(gè)因變量y1x151015202530y226101226401626901y2321024327681.05×3.36×1.07×y2102030405060y24.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是．【答案】y【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1但是增長速度不同，其中變量y2可知變量y2故答案為：y2【變式21】2．（多選）（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）根據(jù)三個(gè)函數(shù)f(x)=2x，g(x)=2x，A．f(x)的增長速度始終不變B．f(x)的增長速度越來越快C．g(x)的增長速度越來越快D．h(x)的增長速度越來越慢【答案】ACD【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想畫出三個(gè)函數(shù)即可判斷三個(gè)函數(shù)增長速度快慢.【詳解】

由圖可知A、C、D正確．故選：ACD.【變式21】3．（多選）（2021上·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=12x，gA．fx遞減速度越來越慢 B．gC．hx遞減速度越來越慢 D．gx的遞減速度慢于【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知在區(qū)間0,+fxgxhxhx的遞減速度慢于g故選：ABC.【變式21】4．（多選）（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（多選）已知函數(shù)y1=x2，y2=A．在0，+∞上，隨著x的逐漸增大，B．在0，+∞上，隨著x的逐漸增大，C．當(dāng)x∈0，+∞D(zhuǎn)．當(dāng)x∈0，+∞【答案】BD【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察即可判斷.【詳解】解：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1=x2，對于A、B，在0,+∞上，隨著x的逐漸增大，y2的增長速度越來越快于y對于C，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，y1的增長速度不是一直快于對于D，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，y2故選:BD．題型3不同(相同)函數(shù)在同一不同）區(qū)間上平均變化率的比較【例題3】（2020·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四個(gè)函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y=A．④ B．③C．② D．①【答案】B【詳解】Δx＝0.3時(shí)，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均變化率k4＝－11+△x＝－10【變式31】1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）對于以下四個(gè)函數(shù)：①y=x；②y=x2；③y=A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】分析求出四個(gè)函數(shù)的平均變化率，然后比較即可.【詳解】①ΔyΔx=2-12-1=1，②ΔyΔx=【變式31】2．（2019·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求出函數(shù)fx=x2在x=1【答案】在x=3【分析】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算．【詳解】在x=1附近的平均變化率k1=f1+Δx-f1Δx=1+Δx2-1Δx=2+Δx；在∴在x=3【點(diǎn)睛】本題考查平均變化率的概念，即對函數(shù)y=f(x)【變式31】3．（2020·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某公司的盈利y（元）和時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系是y=fx，假設(shè)fx1A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，增加的幅度變小【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率與增長幅度的關(guān)系說明．【詳解】平均變化率為正說明盈利是增加的，平均變化率變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平均變化率的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題．【變式31】4．（2020·全國·高一課時(shí)練習(xí)）汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段t0,t1，t1,t2，【答案】v3>【分析】根據(jù)題意，有平均速度的定義可得汽車在時(shí)間段上的平均速度即為該段直線的斜率，結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)関1=st1由圖可知kO'A<k【變式31】5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)①當(dāng)x>1②當(dāng)x>1③當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號為_________（把正確結(jié)論的序號都填上，多填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，判斷各結(jié)論即可.【詳解】f1(x)=2x-1當(dāng)x=2時(shí)，f1(2)=3,f2當(dāng)x=5時(shí)，f1(5)=31,f2對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時(shí)，甲、乙、丙、丁四個(gè)物體重合，從而可知當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖像變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命題④正確．指數(shù)型函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長時(shí)，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，∴命題⑤正確