四川省宜賓市2022屆高三第二次診斷測試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

四川省宜賓市2022屆高三第二次診斷測試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合A={x|x2=2x},8={1,2},則AU8=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}D.{1,2}

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z.（l+i）=l-i,則z的虛部是（）

B.-1D.-i

3.為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了一期"三農(nóng)”政策專

題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進行了結(jié)業(yè)考試.如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分

布直方圖.則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是（）

A.眾數(shù)為82.5

B.中位數(shù)為85

C.平均數(shù)為86

D.有一半以上干部的成績在80~90分之間

4.已知雙曲線0:捺-，=1（〃>0的>0）的兩個頂點為4,4,雙曲線C上任意一點尸

（與4,4不重合）都滿足PA，尸4的斜率之積為3,則雙曲線C的離心率為

D.此

5.物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓（IssacNewtg提出了物體在常溫下溫度變化的冷卻模型:

設(shè)物體的初始溫度是刀（單位：。C）,環(huán)境溫度是"（單位：。C）,且經(jīng)過一定時間,

杯lOCTC熱水，環(huán)境溫度20℃,冷卻到40℃需要16min,那么這杯熱水要從40℃繼續(xù)

冷卻到300C,還需要的時間為（）

A.6minB.7minC.8minD.9inin

6.在△ABC中，A,B,。的對邊分別是b,已知cos24=cos（5+C）,且

b=2,c=6,貝!|。二）

A.713B.2>/13C.幣D.277

7.已知點A(-62),8(6,6),以A8為直徑的圓C與直線x—?=0交于M,N兩點，

則JWZVC的面積為()

A.45/2B.3&C.2A/2D.&

8.已知/(xIsing-a+AnMxT),將函數(shù)f(x)的圖象向右平移。3>0)個單位

得到函數(shù)g(x),則使得g(x)是偶函數(shù)的。的最小值是()

71-兀

A.-B.—

63

C.aD.生

33

9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

B.晅

A.46

3

D.逋

C.2G

10.已知函數(shù)f（x）=g）,設(shè)“=/（logs［）,b=f（；）,c=y（25）,則a,b,c的大小

關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

11.已知點M（-點,0）,拋物線口丫2=2川（〃>0）的焦點是尸，過M的直線/交拋物線

于A,8兩點，點N是線段A5的中點，若|NF|=Gp,則直線/的斜率為（）

A.土pB.±與C.±1D.±—

22

12.三棱錐P-A8C滿足9=AB=2,PC+CB=2>/3,Z4PC=ZAfiC=30°,則三

棱錐P-ABC體積的最大值為（）

I19

A.-B.-C.-D.&

JJ

二、填空題

13.已知/(幻=丁+2"(_》,則曲線f(x)在點*=處的切線方程為.

-.1—.

14.在平行四邊形ABCC中，已知A8=8,4)=5,DP=-DC,而.而=22，則

4

APPB=.

15.2022年冬奧會在北京、延慶、張家口三個區(qū)域布局賽場，北京承辦所有冰上項目，

延慶和張家口承辦所有雪上項目.現(xiàn)在組委會招聘了甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分配到

上述3個賽場參與賽后維護服務(wù)工作，要求每個賽場至少分到一名志愿者，則志愿者

甲正好分到北京賽場的概率為.

16.在數(shù)列｛““｝中，％=1,a2,且滿足=a,i(3a“M-a”)(〃22),貝ijq,=

三、解答題

17.鐵路作為交通運輸?shù)闹匾M成部分，是國民經(jīng)濟的大動脈，在我國經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)

揮著重要的作用.近年來，國家持續(xù)加大對鐵路行業(yè)尤其是對高速鐵路的投資力度，鐵

路行業(yè)得到了快速發(fā)展且未來仍具有較大的增長潛力.下圖是我國2017至2021年鐵路

營業(yè)里程折線圖.

C!：1：!?

O20172018201920202021年份

(1)為了使運算簡單，用X表示年份數(shù)與2016的差，用y表示各年的營業(yè)里程數(shù)，由折

線圖易知y與X具有較強的線性關(guān)系，試用最小二乘法求y關(guān)于X的回歸直線方程，并

預(yù)測2022年營業(yè)里程為多少萬公里；

(2)從2017至2021年的五個營業(yè)里程數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)，求所取得的兩個數(shù)中，至

少有一個超過14的概率.

Z(X；-X)(A-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：B=R——=-

f(X,-Xy

1=1

18.在①5.=g(4—1)(〃+2),②5“2-(〃2+2”-1)5,-52+2”)=0,4>0這兩個條件

中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.

問題：已知數(shù)列｛〃,,｝的前〃項和為S“，滿足.記數(shù)列｛(｝的前八項和為

⑴求｛4｝的通項公式；

13

(2)求證：-<?；,<-.

注：如果兩個條件都選擇作答，則按照第一個解答評分.

19.如圖1,在梯形ABCD中，AB//CD,AE1CD,垂足為E,

AB=AE=^CE=],。6=夜.將△49E沿AE翻折到△皿，如圖2所示.M為線

段28的中點，且ME_LPC.

(1)求證：PE1EC；

(2)設(shè)N為線段AE上任意一點，當(dāng)平面BMN與平面PCE所成銳二面角最小時，求EN

的長.

2

X2

20.已知橢圓E：=l(a>1)的左右焦點分別為,F2,G為E的上頂點，且

福而=-2.

(1)求E的方程;

(2)過坐標(biāo)原點。作兩直線心4分別交E于A,B和C,O兩點，直線第4的斜率分

別為仁，白.是否存在常數(shù)乙使勺化=工時，四邊形AC8。的面積S為定值？如果存

在，求出r的值；如果不存在，說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=a[ln(x-l)+lna-l]-x,函數(shù)g(x)=e*-x.

(1)若a=l,求/(x)的最大值；

⑵若F(x)=g(x)-f(x)>0恒成立，求”的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系g中，以坐標(biāo)原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

直線，”的極坐標(biāo)方程為夕Sin6>=-2,動點尸在直線機上，將射線OP按逆時針旋轉(zhuǎn)5

得到射線。尸'，射線。產(chǎn)上一點。滿足|OGHOP|=8,設(shè)點。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的極坐標(biāo)方程;

⑵直線/的極坐標(biāo)方程為"汐CR),/與曲線C相交于點A(與。不重合)，若

△Q48的頂點8也在曲線C上，求“IQB面積的最大值，并求這時點8的直角坐標(biāo).

23.已知a,〃,，￡/?+,a+b+c=3.

(1)求Ja+1+《b+\+&+1的最大值;

⑵求證:*+3+0洛

b

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

解方程求出A后，進行集合的運算

【詳解】

解方程得4={0,2},B={1,2},則AU8={0』,2}

故選：A

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，化簡復(fù)數(shù)2=-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】

由題意，復(fù)數(shù)Z滿足(l+i)z=l—i,

所以Z的虛部為-1.

故選：B.

3.C

【解析】

【分析】

由頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并判斷在80~90分之間的干部占比，即可得答案.

【詳解】

由頻率直方圖知：眾數(shù)為82.5,A正確；

又(0.01+0.03+0.06)x5=0.5,即中位數(shù)為85,B正確；

由(0.01x72.5+0.03x77.5+0.06x82.5+0.05x87.5+0.03x92.5+0.02x97.5)x5=85.5,C錯

誤；

由(0.06+0.05)x5=0.55>0.5,則有一半以上干部的成績在80~90分之間，D正確.

故選：C

答案第1頁，共18頁

4.B

【解析】

【分析】

222

首先設(shè)P（x，y），根據(jù)題意直接求初?上=rJ，再由，-2=1代入可得

&'Ax+ax-ax2-a2a2h2

A25

kpA%吟=：，再利用/=/+〃，即可得解?

【詳解】

設(shè)尸(x,y),由A(-a,0)，4(a,0),

2222

小不

由七"一”y=i1所以X-二空，

a~b-b

yyy2b25

可得改叫,k%---...=.一一'==一

x+ax-ax~，-a~2a~24A

2222

所以5a=Ab=4(c-a)9

即…,所以z消?-,Q所以離心率3c二3.

故選：B

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意代入方程計算

【詳解】

100-20則^

由題意得=4,=2=e8*

40-20

故選：C

6.D

【解析】

【分析】

首先利用三角函數(shù)恒等變換求cos4,再利用余弦定理求心

【詳解】

cos2A=-cosA=2cos2A-\,

即2cos2A+cosA-l=0,解得：cosA=-l（舍）或cosA=g,

△ABC中，根據(jù)余弦定理a?=b2+c2-2bccosA=28,

答案第2頁，共18頁

得a=2幣.

故選：D

7.C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)A2為直徑求得圓心和半徑，以及圓心到直線》-丫=0的距離〃=2血，再根據(jù)垂

徑定理求得\MN\=2ylrz-d2=2,再由S.MNC=g|MN|M即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意可得由兩點間距離公式可得直徑2r=\AB\=J(275)2+42=6,

AB中點為(0,4),即圓心為(0,4),

所以圓心到直線x-y=0的距離1==

V2

2

根據(jù)垂徑定理可得|MN|=2>Jr-d=2,3?-(2揚2=2,

所以'加陽=千"叫4=3><2'2夜=2啦.

故選：C

8.A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式和輔助角法得到〃x)=2sin(4x-S?ir)+l,再利用平移變換得到g(x),再根據(jù)

O

其為偶函數(shù)求解.

【詳解】

解：因為/(%)=2sin2(2x-?+&sin(4x-爭,

=Gsin(4.r--)-cos(4x-—)+1,

33

=2sin(4x-—)+1,

6

由題意得：g(x)=2sin(4大一州一~—)+1

o

因為g(x)是偶函數(shù)，

答案第3頁，共18頁

所以知-號=坂+。"，即歐=-《kZ,

因為。>0,

所以。的最小值是?，

故選：A

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何體的三視圖，可知該幾何體是由一個底面邊長為2,高為2的正三棱柱截去一個

三棱錐后得到的，作出草圖，根據(jù)兒何體的體積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖，可知該幾何體是由一個底面邊長為2,高為2的正三棱柱截去一個

三棱錐后得到的，如圖所示：

故乘IJ余幾何體的體積V=^X22X2—'X2X^X22=^.

4343

故選：D.

10.A

【解析】

【分析】

由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，及函數(shù)圖像平移與翻折變換得到，（x）的性質(zhì)，然后比較

【詳解】

可知/（X）在（7,1）上單調(diào)遞增，―）上單調(diào)遞減，且圖像關(guān)于X=1對稱

log51<log51=-l,而2<2久3

可得a<cy。

故選：A

答案第4頁，共18頁

11.D

【解析】

【分析】

設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，求得點N的坐標(biāo)，由INFI=GP求解.

【詳解】

解：易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為

由.y=k[x+l）,消去丫得*/+（%/_2P卜+4=0,

y2=2px

設(shè)4（百,兇）'8伍，力），

則西+石=一2+當(dāng)，%+%=后（玉+毛+。）=+，

所以“?+備a又尸朋，

所以|NF『=b_g）+（￡|2=3/，

即2/+X-l=0,解得公=g,

所以k=士變，

2

故選：D

12.A

【解析】

【分析】

設(shè)PC=〃?，BC=n,由題意，當(dāng)三棱錐尸-ABC的體積最大時，必定有面PACJ?面

ABC,表示三棱錐的體積，借助函數(shù)知識即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)PC=m,BC=n,由題意，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，必定有面P4CJ?面

ABC,過P作PD_LAC于D,即PO就是三棱錐的最大高，

在APAC中，S^APC=^-2?772-sin30°=^m=~AC-PD,

n,、m_m

222U==

又AO=2+m-2-2wcos300=zn-273+4,'~AC[2p:,-

答案第5頁，共18頁

又S.「=L2〃-sin300="，

.1.1nm1m

?.IZ.rBC=§，cABc-DDry"；耳―病一2百+4

1（機2_2G+4）-4

———

6卜一2當(dāng)+4

22

令\lm—25/3+4=t9由。<m<2垂>=>t=Jnr—2A/34-4=J（m~~也）+]G[1,2）,

「?％-ABC=-7---=-7（^--）在U，2）上單調(diào)遞減，

6t6t

一141

當(dāng)，=1時，即加=6時，（/加）max=--（1-7）=--

01Z

故選：A

13.6x-9y-\=0

【解析】

【分析】

首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解/'，?），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【詳解】

r（x）=2x+2

當(dāng)時，4-q,解得：d一1總

所以〃x）=f+[x,/（_/=_?,

所以曲線〃x）在點犬=-；處的切線方程為y+g=g（x+￡|,

化簡為：6x-9y-1=0.\

故答案為：6x-9y-l=0

14.-2

【解析】

【分析】

把而、荏作為平面內(nèi)的一組基底，表示出/、麗，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可

得；

【詳解】

—1—————1——1—

解：因為OP=—OC,所以AP=AO+OP=AQ+—OC=AO+—AB,

444

答案第6頁，共18頁

PB=PA+AB=-AP+AB=-^AD+^AB]+AB=-AD+^AB,

所以Z戶.尸否=（A5+；1-4方+：4月）

2

=-AD+LAB，AD+-AB=-\ADf+-ABAD+-\A^

216??21611

,13,

=-52+-X22+—X82=-2

216

故答案為：-2

15.-

3

【解析】

【分析】

首先求出所有的分配方法，再求出志愿者甲分配到北京賽場的安排方法，最后按照古典概

型的概率公式計算可得；

【詳解】

解：依題意3個賽場分配的志愿者人數(shù)只有1人、1人、2人這種情況，一共有C：A；=36

種安排方法；志愿者甲分配到北京賽場有A；+C；&=12種安排方法，

故志愿者甲正好分到北京賽場的概率P=9=±

故答案為：—

16.—

2"-1

【解析】

【分析】

231（11111

由遞推公式兩邊同除?！耙?。用得到一=-------,即可得到2--------------=---------------,即可

a

a，in-??.!）an+ian

得到一L--L是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，則一二-'=2",再利用累加法求出

an\%an

—,即可得到數(shù)列的通項公式；

°”

【詳解】

解：因為“1=1,,2a“a"+|=a“T（3%+|-q,）,顯然q尸。，所以

答案第7頁，共18頁

2311II1

2aM田=3K_1-a,T。,,同除用得丁=一丁，所以

aa12-----------=-------------

%Tn?+i{a?a“_Jall+,a?

1_火，

=2'i+T-12+...+2'+l=-------=2〃-1

1-2

所以a“=4

Z—1

故答案為：力

17.⑴y=0.7x+11.9,16.1萬公里;

⑵工.

10

【解析】

【分析】

(1)利用最小二乘法即求;

(2)利用古典概型概率公式即得.

(1)

由題意：x的取值為1,2,3,4,5,

嚏=3,y=1(12.7+13.1+14.0+14.9+15.3)=14,

5__5__

Z(Xj-x)(%-y)-5

/=1________________1x12.7+2x13.1+3x14+4x14.9+5x15.3-5x3x14

=---------——-J-

￡X,2_5.X?+22+32+42+52-5x3?

/=1/=1

12.7+26.2+42+59.6+76.5-2I07

1+4+9+16+25-45―歷

.?,a=14-0.7x3=11.9,

.-.>>=0.7x4-11.9,

??.2022年的營業(yè)里程數(shù)為0.7x6+11.9=16.1(萬公里)；

⑵

在12.7,13.1,14.0,14.9,15.3五個數(shù)中，有2個超過14萬公里，有3個沒有超過14萬

答案第8頁，共18頁

公里，

設(shè)取得的兩個數(shù)中，至少有一個超過14萬公里為事件4,則由題意知：

C；1010，

即所求概率為57.

18.(l)a?=2n+l

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)選擇①則利用退位相減法求％,選擇②則先求5“，再求應(yīng)(2)利用裂項相消法先求

T.,,所要證明的不等式右端可以通過放縮證明，左端利用7“的單調(diào)性可證.

(1)

選擇①

由S,=；(《,-1)(〃+2)有

當(dāng)”=1時，4=H=gS「l)(l+2),解得《=3

當(dāng)“22時，%=；(%-1)(〃+1),

所以％=s"_-1)(〃+2)-g(“,i-1)(〃+1)

9

即na?=(〃+1)4-+1，兩邊各項同除以“(〃+l)得

4,%_1_11

i-/，、-(n>2),

n+1nn{n+i)nn+\f

當(dāng)2時

衛(wèi)/衛(wèi)一3+(如入一-]+..一但⑷+4

77+11〃+1n)(nn-\)(〃一1n-2)(32)2

=fl__LLf_L_lLp___q+...+fl_f卜1

\nn^\)n){n-2n-\)(23,

二+工__1__2__12/24-1

22〃+ln+1n+l

/.alt=2〃+1

經(jīng)檢驗當(dāng)相=1時，a“=2"+l也成立，故%=2"+1

選擇②

答案第9頁，共18頁

由S~—(獷+2〃-1)一(〃-+2〃)=0

⑸+1)=0

所以S,,="2+2"或S"=-1

所以S“=-l舍去

2

Stl=n+2n

當(dāng)〃=1時，4=S]=『+2x1=3,

22

當(dāng)〃之2時，an=Sn-Sn_}=n+2n-(w-l)-2(n-l)=2/74-l,

當(dāng)7=1時,符合上式，.?.陛=2/1+1

(2)

選擇①

由(1)知。“=2〃+1,已知S“=；(a“-1)(〃+2)

S,=JS“T)("+2)=；(2〃+l-l)(〃+2)=〃(〃+2)

1

--1-=------------=-1(------/----1---)、

Snn(n+2)2nn+2

_3____1________1

~4~2(n+l)-2(n+2)

,3113

.i—-------------------------<一

""42(n+l)2(n+2)4

另一方面，[是關(guān)于"的增函數(shù)，

______L_=2.l_l=l

'"'42(1+1)2(1+2)4463

13

綜上有:

選擇②

由⑴知S,,=/+2"

答案第10頁，共18頁

1二1”11]

Sn〃(〃+2)2(〃n+2)

…+(---------)+(—

n-\7/4-1na

j_11___1_1311

212〃+ln+242(〃+1)2(〃+2)

3

=3____1________1<-

一廠25+1).2(〃+2)4

另一方面，［是關(guān)于〃的增函數(shù)，

.=!_=2_1_1=1

"'42(1+1)2(1+2)4463

綜上有：了1北＜；3.

19.(1)證明見解析；

嗚

【解析】

【分析】

(1)連接EB,由等腰三角形的性質(zhì)有根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)得

BCLME,由已知及勾股定理可得BE,再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)得PE_LBC,

最后利用線面垂直證線線垂直即可.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)EN=,并確定相關(guān)點坐標(biāo)，進而求面PCE、面8MN的法向

量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示可得二面角的余弦關(guān)于，的函數(shù)式，最后結(jié)合二次函數(shù)

性質(zhì)求最小銳二面角對應(yīng)的EN的長.

(1)

連接￡?,由題意PE=后，BE=\JAB2+AE2=41＞又M是PB中點，

所以ME_L尸8,而A/￡J_PC,PCC\PB=P,

答案第11頁，共18頁

所以ME，面P8C,8Cu面PBC,則BC_LME,

由且A￡，C。，A8=AE=gcE=l知：BE=BC=6,

在^BCE中CE=2,則8c2+8爐=慮2,即BC_L3E.

由A/EcBK=E,則BC_L面或M,PEu面于是PELBC.

由題意，PELAE,AE與BC相交，則PE_L面ABCE,ECu面MCE,

所以PELEC.

(2)

連BN,MN,設(shè),EN=t,由(1)知：PE,EA,EC兩兩垂直，

故分別以E4,EC,EP為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

由題意，則M"),()),B(1,1,0),等)，取面PCE的法向量正=(1,(),0),

_n-BM=--a--b+—c=0

設(shè)面8MN的法向量”=(a,b,c),則｛222,令a=l,即

n-BN=(t-])a-b=0

設(shè)面BMN與面PCE的二面角為。,則:

(1,0,0)(1,/-1,-yj

J+(一I)、/

???當(dāng)/=［時|8$優(yōu)、"=q，即EN長為:時所求銳二面角最小.

D/J

20.⑴工+)產(chǎn)=1

4

⑵存在，，=-；

4

【解析】

答案第12頁，共18頁

【分析】

(1)由衣?可=-2先解出C,再由/=/+°2解出”(2)由橢圓的對稱性可知四邊形

ACM為平行四邊形，則$=以勺，與為參數(shù)表示出△AOC的面積，再判定是否

存在常數(shù)r使之為定值

(1)

解:QG(O,1),耳(-c,O),&(c,O),

LILIUULILI

?*-f；G=(c,l),F2G=(-CA)

LILIUUULI

2

F}GF2G=\-C=-2,

c2=3=iz2-1.t.a2=4

2

??E：—+y2=1

4

(2)

1

設(shè)兀:y=5CD-y=&x，4芭,力)(百>0),c(x29y2)(x2>0)

由」+4y-4消去y得：(4片+1)/=4,

,y=^x

2

解之得行布P

2

同理可求片布F

又1。川=ji+4.西

,x,-k,-k2\

點C到心的距離d=

所以S=4sM0c=4x；|OA|-d=2日店西?”產(chǎn)廠產(chǎn)=?圾-白

2j+k；

8%-印8?k；+k；)-2k*2

++%J1+4(M+M)+16(3)2

7代Ik；)-2iM好+M)-2f

曲解+收);(⑹2+1)加+/)+；4產(chǎn)+》

,11

當(dāng)4*+=_2/即r=-二時，四邊形AC8D的面積為定值4.

44

答案第13頁，共18頁

故存在常數(shù)，=--使得四邊形AC8D的面積為定值

4

21.(1)-3

(2)(0,e2)

【解析】

【分析】

(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；

(2)方法一：首先求函數(shù)F'(x),再利用二階導(dǎo)數(shù)判斷尸(x)的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在

性定理判斷函數(shù)存在極值點，得a=(x°-l)e%,并判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值

F(x)min=F(x())=e而一a[ln(Xo-l)+lna-l],得歹(%)>0,求得再求

a=(x0-l)e*的范圍；方法二：將*x)>0,變形得.??/"+(x-lna)>(x-l)+ln(x-l)對任意

xe(l,+8)恒成立，再構(gòu)造函數(shù)〃(x)=e'+x,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性x-lna>ln(x-l),參變分

離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)”的取值范圍.

(1)

19-v

當(dāng)。=1時，/(x)=ln(x-l)-l-x,.?j，(x)=_L^i=y,

x-ix-1

丁fM的定義域為。,+00),r(x)>0=>l<x<2,f\x)<0=>x>2,

/(x)在(1,2)單調(diào)遞增，f(x)在(2,zo)單調(diào)遞減，

「/⑶儂=/(2)=ln(2-l)-l-2=-3.

(2)

法一：F(x)=g(x)-f(x)=e"-a[ln(x-l)+lna-l](x>l9a>0)

F\x)=ev-―—(x>l)/.Ff(x)=er+―^-(x>l)(tz>0)

x-\(x-1)

r.U'(x)=e、+7~%>0，9Q)=e，-=在(L+oo)單調(diào)遞增，

(x-1)x-1

取x<—^―+1,且x<ln(e+a)貝I]F\x)=eA———<ev-(e+?)<0

e+〃x-1

取x>^—+1,且X>ln(e2+a)則/(x)=e*--—>ex-(e2+a)>0

e+ax-\

可見，3x0e(l,+oo),使得F'(xo)=e*巴7=。，即e"=-^,，a=(與-l)e%

毛-lx0-l

當(dāng)xe(l,x0)時，Hx)<0,尸(x)單調(diào)遞減

答案第14頁，共18頁

當(dāng)xe(x0,+8)時-，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增

；?F(x)min=F(x°)=-a[ln(x0-l)+lna-l]

依據(jù)題意有：F(x0)>。

VuXox

即e-e(x0-l)[ln(x0-l)+lne?(^-1)-1]>0/.21n(x0-l)+x0(x0-l)--^-<0

々T

令f=>0)

i21

/?(r)=21nr+?+r-l—(f>o)h'(t)=~+2t+l+-^>0

ttt

???萬⑺在(0,*o)單增，

又發(fā)現(xiàn)力(l)=o,則(o,l)有/?⑺<o,(1,y)有〃(，)>0

0<r<l,B[J1<x0<2

令0(x)=(x-l)ex(1<x<2)

二."(x)=xeA>0,即。(月單調(diào)遞增

0=^(l)<^(x)<^(2)=e2

--0<iz<e2

(2)法二：由題意，爐一天一。1!14一々111(工一1)+4+4>0恒成立,

即e'-。In。一aln(x-1)+。>0對任意X￡(1,+8)恒成立,

?-Ina-ln(x-1)+1>。對任意X￡(1,+℃)恒成立,

.—Ina—ln(x-l)+l>。對任意xE(l,+°o)恒成立,

er-ln<,+(x—In〃)一ln(x—1)一x+1>0對任意xe(1,+8)，恒成立,

e'f"+(x-Ina)>(x-1)+In(x-1)對任意“￡(1,+口)恒成立,

...e'Tna+(x-ln?)>e廁Z)+ln(x一1)對任意x￡(1,”)恒成立,

令〃(x)=erx,顯然以幻在R上單調(diào)遞增，

???原題=x-Ina>ln(x-1)對任意xG(1,田)恒成立，

即Ina<x-ln(x-l)對任意xG。,”)恒成立，

又由(1)知：/(x)=ln(x-l)-l-x^-3,.*.x-ln(x-1)^2

答案第15頁，共18頁

.,.Ina<2=Ine2,a<e

又由/(.*)的解析式知a>0

的取值范圍為：(04).

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立時求參數(shù)范圍問題，綜合性較強，難度大，本題的

關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用變形，同構(gòu)函數(shù)，或者構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求求函數(shù)的最值，解決參數(shù)問題.

22.(1)/?=4cos#0)

⑵最大值為2+20,8的直角坐標(biāo)為(2+夜,-夜)

【解析】

【分析】

(1)設(shè)。(夕招),「但,幻，根據(jù)題意,由型*=-2,削=3,。=仇+］求解；

y=x

(2)法一：由；八22“/八、，求得點A的直角坐標(biāo)，設(shè)B的直角坐標(biāo)為

(x-2)+/=4(x*0)

(2+2cosa,2sina),ae(-7t,rt),求得點B到直線/：x-y=0的距離d,由人人神=gI。4卜"求解；

法二：由已知得幺=20,pB=4cosa,然后由Sv?=；4/sin(a-：)求解.

(1)

解：設(shè)。3。),pg，4),

由已知得02山川=-2,月。=8,(9=6>1+1,

則5in("$=-2,

曲線C的極坐標(biāo)方程為O=4cosa)；

(2)

法一：/的直角坐標(biāo)方程為y=x,

C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+>2=4*H0),

y=x

由/小2oA,2,得點4的直角坐標(biāo)為(2,2),

(x-2)+》=4(x