第四章數(shù)列講義-高二人教A版(2019)數(shù)學(xué)選擇性必備知識與能力盤點1

綜合復(fù)習(xí)——《數(shù)列》成功六必：書必讀、基必牢、看必準(zhǔn)、算必對、說必明、錯必改——你都做到了嗎？一、掌握每個知識點的典型類型的通性通法：重點知識再現(xiàn)、基本方法重溫、基本技能過手.二、歸納總結(jié)每類基本題型的方法及易錯、易混、易漏點選擇性必修二第四章《數(shù)列》必備知識與能力盤點1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式2.用函數(shù)的思想理解數(shù)列，注意數(shù)列單調(diào)性、最值等2.1數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用舉一反三（1）下列是遞增數(shù)列的是（）A.B. C. D.【答案】BC【解析】對于A，，是擺動數(shù)列，不符合題意；對于B，，符合題意；對于C，，當(dāng)時，，符合題意；對于D，，當(dāng)時，，不符合題意；故選：BC.（2）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍（答：）；2.2最值問題舉一反三（1）已知，則在數(shù)列的最大項為__（答：）；（2）已知數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并判斷該數(shù)列是否有最大項與最小項．【解析】因為，所以，又，所以當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，又，所以存在最大項，不存在最小項.綜上可得當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，存在最大項，不存在最小項.2.3圖象與性質(zhì)舉一反三（1）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（）（答：A）3.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn=為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項：或。舉一反三(1)首項為24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：）等差數(shù)列的前和：，。舉一反三（1）數(shù)列中，，，前n項和，則＝＿，＝＿（答：，）；（2）等差數(shù)列中，，的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對任意正數(shù)k，均存在使得成立．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則.（2）由（1）可知，所以，，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．（4）等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。注意：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）4.等差數(shù)列的性質(zhì)：4.1當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.舉一反三(1)是公差為2的等差數(shù)列的前n項和，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則________.【答案】或3【解析】由題意，∵數(shù)列是等差數(shù)列∴，，解得或，時，，時，，均為的一次函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，故答案為：或3.【技巧】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，考查等差數(shù)列的證明，如果數(shù)列的通項公式是的一次函數(shù)，則數(shù)列一定是等差數(shù)列．4.2若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。4.3當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.舉一反三（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）；(2)等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）；(3)在等差數(shù)列中，，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4)已知等差數(shù)列的前項和為，且，則【答案】【解析】由題意得，4.4若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、4.5:等差、等比數(shù)列的聯(lián)系:若是等差數(shù)列，則成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.舉一反三:設(shè)等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和．若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以．（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因為，所以．4.6若是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列，舉一反三:等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（答：225）4.7在等差數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；。舉一反三:（1）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5；31）.4.8若等差數(shù)列、的前和分別為、，.且，則舉一反三:設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么___________（答：）5.等差數(shù)列的前n項和的最值問題“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？舉一反三（1）等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）6.兩等差數(shù)列的公共項問題如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究.舉一反三:已知兩個等差數(shù)列：5，8，11，…；：3，7，11，…，都有100項，求它們的公共項的個數(shù)?！窘馕觥吭跀?shù)列中，，公差，所以.在數(shù)列中，，公差，所以.令，則，所以.因為m，，所以.又所以，所以，所以，所以，所以這兩個數(shù)列共有25個公共項.7.等比數(shù)列的有關(guān)概念：7.1等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。舉一反三:（1）一個等比數(shù)列{}共有項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則為____（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1()且=1，若，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。7.2等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B）技巧：（1）等比數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為。舉一反三:有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）7.3等比數(shù)列的通項：或。舉一反三:設(shè)等比數(shù)列中，，，前項和＝126，求和公比.（答：，或2）7.4等比數(shù)列的前和：當(dāng)時，；當(dāng)時，。特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。舉一反三:（1）等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）已知等比數(shù)列的公比，其前項和為，且，，則__．【答案】2【解析】由，即，即解得或（舍）由，所以故答案為：2技巧提醒：通項法可避免分類討論8.等比數(shù)列的性質(zhì)：8.1當(dāng)時，則有，特別地，當(dāng)時，則有.舉一反三:（1）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（答：10）。(2)已知等比數(shù)列，滿足，且，則數(shù)列的公比為A.2 B. C. D.【答案】【解析】令公比為，由，故且，所以，則，又，，則，所以，綜上，.8.2若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且公比，舉一反三:（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則.（答：）；8.3若是等比數(shù)列，則數(shù)列，…也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時，數(shù)列，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.舉一反三:（1）在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為______（答：40）8.4若，則為遞增數(shù)列；若,則為遞減數(shù)列；若，則為遞減數(shù)列；若,則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.8.5當(dāng)時，，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。舉一反三:若是等比數(shù)列，且，則＝（答：－1）8.6.舉一反三:設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為_____（答：－2）8.7在等比數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.8.8如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。舉一反三:設(shè)數(shù)列的前項和為（），關(guān)于數(shù)列有下列三個命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是（答：②③）9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題9.1這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計算“年限”.對于“森林木材