新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 課時作業(yè)66 二項分布與正態(tài)分布（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

課時作業(yè)66二項分布與正態(tài)分布一、選擇題1．某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是(D)A．0.4 B．0.6C．0.75 D．0.8解析：設事件A為“某一天的空氣質量為優(yōu)良”，事件B為“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”，由題意知P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.故選D.2．從甲袋中摸出1個白球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出1個白球的概率是eq\f(1,2)，如果從甲、乙兩袋中各摸出1個球，那么eq\f(5,6)是(A)A．2個球不都是白球的概率B．2個球都不是白球的概率C．2個球都是白球的概率D．2個球中恰好有1個球是白球的概率解析：∵2個球不都是白球的對立事件是2個球都是白球，2個球都是白球的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴2個球不都是白球的概率是1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，故選A.3．一批產(chǎn)品的次品率為4%，正品中一等品率為75%.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為(C)A．0.75 B．0.71C．0.72 D．0.3解析：因為這批產(chǎn)品的次品率為4%，所以正品率為96%，又因為正品中一等品率為75%，所以這批產(chǎn)品的一等品率為96%×75%＝72%，所以從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為0.72.4．箱中有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的六個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率是(B)A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)解析：1人參與摸獎，獲獎的概率為eq\f(6,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，記獲獎的人數(shù)為ξ，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，故選B.5．袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取2個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為(B)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,5)解析：設“第二次摸到紅球”為事件A，“第一次摸到紅球”為事件B，∵P(A)＝eq\f(2×1＋2×2,4×3)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,4×3)＝eq\f(1,6)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3)，∴在第二次摸到紅球的條件下，第一次摸到紅球的概率為eq\f(1,3)，故選B.6．經(jīng)統(tǒng)計，某市高三學生期末數(shù)學成績X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，則從該市任選一名高三學生，其成績不低于90分的概率是(A)A．0.35 B．0.65C．0.7 D．0.85解析：∵數(shù)學成績X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，∴P(X≥90)＝eq\f(1－P80<X<90,2)＝0.35，故選A.7．(多選題)下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(AC)A．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(4,27)B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為eq\f(2,5)C．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為eq\f(1,2)D．設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是eq\f(2,9)解析：對于A，該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈，第3個路口是紅燈，所以概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正確；對于B，用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密碼被破譯的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B不正確；對于C，設“從甲袋中取到白球”為事件A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，設“從乙袋中取到白球”為事件B，則P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故取到同色球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故C正確；對于D，易得P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，即P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故D錯誤．故選AC.8．如圖，在曲線C(曲線C為正態(tài)分布N(－2,4)的密度曲線)與x軸圍成的區(qū)域中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為(C)(附：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.)A．906 B．2718C．1359 D．3413解析：因為x～N(－2,4)，所以正態(tài)曲線關于直線x＝－2對稱，且μ＝－2，σ＝2.因為P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝P(－4<x≤0)≈0.6827，P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝P(－6<x≤2)≈0.9545，所以P(0≤x≤2)＝eq\f(1,2)[P(－6<x≤2)－P(－4<x≤0)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.設落入陰影部分的點的個數(shù)為m，所以eq\f(m,10000)＝0.1359，解得m＝1359，故選C.二、填空題9．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,1)，若P(X≤a－2)＝P(X≥2a＋3)，則a＝1.解析：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,1)，所以μ＝2，即正態(tài)曲線的對稱軸為μ＝2，因為P(X≤a－2)＝P(X≥2a＋3)，所以a－2＋2a＋3＝4，所以a＝1.10．若8件產(chǎn)品中包含6件一等品，在其中任取2件，則在已知取出的2件中有1件不是一等品的條件下，另1件是一等品的概率為eq\f(12,13).解析：設事件“從8件產(chǎn)品中取出2件產(chǎn)品中有1件不是一等品”為A，事件“從8件產(chǎn)品中取出2件產(chǎn)品中有1件是一等品”為B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(13,28)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，所以另1件是一等品的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,7),\f(13,28))＝eq\f(12,13).11．(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以41獲勝的概率是0.18.解析：記事件M為甲隊以41獲勝，則甲隊共比賽五場，且第五場甲隊獲勝，前四場甲隊勝三場負一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.12．一款砸金蛋游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要砸三個金蛋，每次砸蛋要么出現(xiàn)金花，要么不出現(xiàn)．已知每次砸蛋出現(xiàn)金花的概率為eq\f(1,2)，且各次砸蛋出現(xiàn)金花與否相互獨立，則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)金花的概率為eq\f(511,512).解析：砸蛋三次出現(xiàn)一次金花的概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,8)，出現(xiàn)兩次金花的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，出現(xiàn)三次金花的概率為Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))0＝eq\f(1,8)，則每盤游戲出現(xiàn)金花的概率P＝eq\f(3,8)＋eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，所以玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)金花的概率P1＝1－Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))3＝eq\f(511,512).三、解答題13．(2019·全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．解：(1)X＝2就是1010平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.14．“一本書，一碗面，一條河，一座橋”曾是蘭州的城市名片，而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片．隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動不僅在蘭州，而且在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人數(shù)逐年增加．為此，某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統(tǒng)計調查．其中一項調查是調查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓練的天數(shù)進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表：平均每周進行長跑訓練天數(shù)不大于23或4不少于5人數(shù)3013040若某人平均每周進行長跑訓練天數(shù)不少于5，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”．(1)經(jīng)調查，該市約有2萬人參與馬拉松運動，試估計其中“熱烈參與者”的人數(shù)；(2)某調查人員在調查這200人時，有3張周末的馬拉松訓練活動檢驗卡要向他們發(fā)放，若被調查者為“熱烈參與者”，即送其1張體驗卡，否則不予送出，調查人員順次調查完前3人后，剩余的體驗卡數(shù)量為ξ，試根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率，求ξ的分布列．解：(1)以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率，則該市“熱烈參與者”的人數(shù)約為20000×eq\f(40,200)＝4000.(2)根據(jù)題意可知，ξ～B(3，eq\f(4,5))，則P(ξ＝0)＝(eq\f(1,5))3＝eq\f(1,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(4,5))(eq\f(1,5))2＝eq\f(12,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(4,5))2(eq\f(1,5))＝eq\f(48,125)，P(ξ＝3)＝(eq\f(4,5))3＝eq\f(64,125)，ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,125)eq\f(12,125)eq\f(48,125)eq\f(64,125)15．為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉．某?；@球運動員進行投籃練習，他前一球投進則后一球投進的概率為eq\f(3,4)，他前一球投不進則后一球投進的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進的概率為eq\f(3,4)，則他第3球投進的概率為(D)A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16) D.eq\f(9,16)解析：設該籃球運動員投進第n－1(n≥2，n∈N*)個球的概率為Pn－1，第n－1個球投不進的概率為1－Pn－1，則他投進第n個球的概率為Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，∴Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(Pn－1－eq\f(1,2))．∴Pn－eq\f(1,2)＝(P1－eq\f(1,2))·(eq\f(1,2))n－1＝(eq\f(1,2))n－1×eq\f(1,4)＝(eq\f(1,2))n＋1.∴Pn＝(eq\f(1,2))n＋1＋eq\f(1,2)(n∈N*)，∴P3＝eq\f(9,16).故選D.16．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的n(n∈N*)個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為eq\f(1,2)，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．(1)當n取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？(2)當n＝4時，用X表示要補播種的坑的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．解：(1)對于一個坑而言，要補播種的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,2).有3個坑需要補播種的概率為Ceq\o\al(3,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，要使Ceq\o\al(3,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n最大，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n≥C\o\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，,C\o\al(3,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n≥C\o\al(4,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，))解得5≤n≤7，∵n∈N*，故n＝5,6,7.∵Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\