高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考案9 第九章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布綜合過關(guān)規(guī)范限時(shí)檢測（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[考案9]第九章綜合過關(guān)規(guī)范限時(shí)檢測(時(shí)間：120分鐘滿分150分)一、單選題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．(2020·廣西柳州模擬)《孫子算經(jīng)》中曾經(jīng)記載，中國古代諸侯的等級從高到低分為：公、侯、伯、子、男，共有五級．若給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為(C)A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)[解析]給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，總共有5×5＝25種，其中兩人被封同一等級的共有5種，所以兩人被封同一等級的概率為eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，所以其對立事件，即兩人不被封同一等級的概率為：1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).故選C.2．(2020·山東煙臺期末)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周．若課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，則所有可能的排法種數(shù)為(C)A．216 B．480C．504 D．624[解析]當(dāng)課程“御”排在第一周時(shí)，則共有Aeq\o\al(5,5)＝120種；當(dāng)課程“御”“樂”均不排在第一周時(shí)，則共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(4,4)＝384種；則120＋384＝504，故選：C.3．(2020·黑龍江大慶質(zhì)檢)某公司安排甲、乙、丙3人到A，B兩個(gè)城市出差，每人只去1個(gè)城市，且每個(gè)城市必須有人去，則A城市恰好只有甲去的概率為(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)[解析]P＝eq\f(1,C\o\al(2,3)A\o\al(2,2))＝eq\f(1,6)，故選B.4．(2019·河北衡水金卷聯(lián)考)如圖所示，分別以正方形ABCD兩鄰邊AB、AD為直徑向正方形內(nèi)做兩個(gè)半圓，交于點(diǎn)O.若向正方形內(nèi)投擲一顆質(zhì)地均勻的小球(小球落到每點(diǎn)的可能性均相同)，則該球落在陰影部分的概率為(C)A．eq\f(3π－2,8) B．eq\f(π,8)C．eq\f(π＋2,8) D．eq\f(6－π,8)[解析]設(shè)正方形的邊長為2.則這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)域的面積為π·12－2×(eq\f(π,4)－eq\f(1,2))＝eq\f(π,2)＋1，所以該質(zhì)點(diǎn)落入這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(\f(π,2)＋1,4)＝eq\f(π＋2,8).故選C.5．(2019·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)某縣教育局招聘了8名小學(xué)教師，其中3名語文教師，3名數(shù)學(xué)教師，2名全科教師，需要分配到A，B兩個(gè)學(xué)校任教，其中每個(gè)學(xué)校都需要2名語文教師和2名數(shù)學(xué)教師，則分配方案種數(shù)為(A)A．72 B．56C．57 D．63[解析]設(shè)2名全科教師分別為a、b，當(dāng)a教語文，b教數(shù)學(xué)時(shí)，Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36(種)；當(dāng)a教數(shù)學(xué)，b教語文時(shí)，Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36(種)；故分配方案共有72種，選A．6．(2020·百師聯(lián)盟期中)某護(hù)衛(wèi)艦發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處有一目標(biāo)海盜船，已知它靠近目標(biāo)200米，100米，50米的概率分別為0.6,0.4,0.2.又護(hù)衛(wèi)艦在200米，100米，50米時(shí)擊中目標(biāo)的概率分別為0.6、0.7、0.8.那么目標(biāo)被擊中的概率為(D)A．0.6 B．0.7C．0.9 D．0.8[解析]P＝0.6×0.6＋0.4×0.7＋0.2×0.8＝0.8.所以D正確．7．(2020·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)(eq\f(1,x2)－2)(1＋x)5的展開式的x2的系數(shù)為(A)A．－15 B．－5C．10 D．15[解析](1＋x)5的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)xr，當(dāng)r＝2時(shí)，T3＝Ceq\o\al(3,5)x2＝10x2，當(dāng)r＝4時(shí)，T5＝Ceq\o\al(4,5)x4＝5x4，故所求x2的系數(shù)為5＋(－2)×10＝－15.8．(2020·福建莆田質(zhì)檢)現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線，每個(gè)零件達(dá)到優(yōu)等品的概率都為p.某檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢50個(gè)零件，設(shè)其中優(yōu)等品零件的個(gè)數(shù)為X.若D(X)＝8，P(X＝20)<P(X＝30)，則p＝(C)A．0.16 B．0.2C．0.8 D．0.84[解析]∵P(X＝20)<P(X＝30)，∴Ceq\o\al(20,50)p20(1－p)30<Ceq\o\al(30,50)p30(1－p)20，化簡得1－p<p，即p>eq\f(1,2)，又D(X)＝8＝50p(1－p)，解得p＝0.2或p＝0.8，∴p＝0.8，故選C.二、多選題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．(2020·山東日照一中期中)將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有(BC)A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3) B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2) D．18[解析]將四個(gè)不同的小球分三組有Ceq\o\al(2,4)種方法，①再將三組小球分別放入三個(gè)盒子有Aeq\o\al(3,3)種方法，故有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種；②先將兩個(gè)小球?yàn)橐唤M放入一個(gè)盒子有Ceq\o\al(1,3)種，再將另兩個(gè)小球分別放入另兩支盒子有Aeq\o\al(2,2)種，故有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種，選BC.10．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(ACD)A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2[解析]因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確．故選ACD.11．下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(AC)A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(4,27)B．三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為eq\f(2,5)C．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為eq\f(1,2)D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是eq\f(2,9)[解析]對于A，該生在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的情況為前2個(gè)路口不是紅燈，第3個(gè)路口是紅燈，所以概率為(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正確；對于B，用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三個(gè)人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密碼被破譯的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B不正確；對于C，設(shè)“從甲袋中取到白球”為事件A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，設(shè)“從乙袋中取到白球”為事件B，則P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故取到同色球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故C正確；對于D，易得P(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(B∩eq\o(A,\s\up6(－)))，即P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(B)P(eq\o(A,\s\up6(－)))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故D錯(cuò)誤，故選AC.12．(2020·山東新高考聯(lián)盟聯(lián)考改編)關(guān)于二項(xiàng)式(eq\r(x)－1)2020及其展開式，在下列命題中正確的命題是(AD)A．該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是－1B．該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為Ceq\o\al(6,2020)x1007C．該二項(xiàng)展開式中不含有理項(xiàng)D．當(dāng)x＝100時(shí)，(eq\r(x)－1)2020除以100的余數(shù)是1[解析]根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果．因?yàn)槎?xiàng)式(eq\r(x)－1)2020的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2020)xeq\f(2020－r,2)(－1)r，對于A，當(dāng)r＝2020時(shí)，得到常數(shù)項(xiàng)為T2021＝1；又二項(xiàng)式(eq\r(x)－1)2020的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(eq\r(1)－1)2020＝0，所以該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是－1，故A正確；對于B，因?yàn)樵摱?xiàng)展開式中第六項(xiàng)為T6＝Ceq\o\al(5,2020)xeq\f(2020－5,2)(－1)5，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)2020－r＝2n(n∈N)時(shí)，對應(yīng)的各項(xiàng)均為有理項(xiàng)；故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)x＝100時(shí)，(eq\r(x)－1)2020＝(10－1)2020＝Ceq\o\al(0,2020)102020(－1)0＋Ceq\o\al(1,2020)102019(－1)1＋…＋Ceq\o\al(2018,2020)102(－1)2018＋Ceq\o\al(2019,2020)101(－1)2019＋Ceq\o\al(2020,2020)100(－1)2020因?yàn)镃eq\o\al(0,2020)102020(－1)0＋Ceq\o\al(1,2020)102019(－1)1＋…＋Ceq\o\al(2017,2020)103(－1)2017＋Ceq\o\al(2018,2020)102(－1)2018，顯然是100的倍數(shù)，能被100整除，而Ceq\o\al(2019,2020)101(－1)2019＋Ceq\o\al(2020,2020)100(－1)2020＝－20200＋1，所以(eq\r(x)－1)2020除以100的余數(shù)是1.D正確；故答案為A、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．某班有50名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績ξ(ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為__10__.[解析]由題意知，P(ξ＞110)＝eq\f(1－2P90≤ξ≤100,2)＝0.2，∴該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為0.2×50＝10.14．(2020·河南開封模擬)我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲－15”艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦，已知乙機(jī)不能最先著艦，丙機(jī)必須在甲機(jī)之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為__48__.[解析]若丙第一個(gè)著艦，有Aeq\o\al(4,4)＝24種；若丙不第一個(gè)著艦，有eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝24種，∴共有不同的著艦方法種數(shù)為48.15．(2020·云南名校適應(yīng)性月考)甲隊(duì)和乙隊(duì)進(jìn)行乒乓球決賽，采取七局四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四局勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)每局取勝的概率為0.8.且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4︰1獲勝的概率是eq\f(1024,3125).[解析]甲隊(duì)以4︰1獲勝時(shí)共進(jìn)行了5局比賽，其中甲隊(duì)在前4局中獲勝3局，第5局必勝，則概率P＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,5)×(eq\f(4,5))3×eq\f(4,5)＝eq\f(1024,3125).16．(2020·山東德州期末)(2x2＋eq\f(1,x))6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__60__；系數(shù)最大的項(xiàng)是__240x6__.(本題第一空2分，第二空3分)[解析](2x2＋eq\f(1,x))6的展開式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(k,6)·(2x2)6－k·(eq\f(1,x))k＝Ceq\o\al(k,6)·26－k·x12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,6)·22＝60；令ak＝Ceq\o\al(k,6)·26－k(k∈N，k≤6)，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1,an≥an＋1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(n,6)·26－n≥C\o\al(n－1,6)·27－n,C\o\al(n,6)·26－n≥C\o\al(n＋1,6)·25－n))，解得eq\f(4,3)≤n≤eq\f(7,3)，又n∈N，∴n＝2，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,6)·24·x6＝240x6，故答案為：60；240x6.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2019·湖北十堰模擬)某工廠在兩個(gè)車間A，B內(nèi)選取了12個(gè)產(chǎn)品，它們的某項(xiàng)指標(biāo)分布數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，該項(xiàng)指標(biāo)不超過19的為合格產(chǎn)品.AB789811011237801(1)從選取的產(chǎn)品中在兩個(gè)車間分別隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品，求兩車間都至少抽到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率；(2)若從車間A，B選取的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品，用X表示車間B內(nèi)產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)由莖葉圖知，車間A內(nèi)合格的產(chǎn)品數(shù)為4，車間B內(nèi)合格的產(chǎn)品數(shù)為2，則所求概率P＝(1－eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,8)))(1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4)))＝eq\f(55,84).(2)由題意知，X的所有可能取值為0,1,2.則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,12))＝eq\f(14,33)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,8),C\o\al(2,12))＝eq\f(16,33)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，所以X的分布列為X012Peq\f(14,33)eq\f(16,33)eq\f(1,11)所以E(X)＝0×eq\f(14,33)＋1×eq\f(16,33)＋2×eq\f(1,11)＝eq\f(2,3).18．(本小題滿分12分)(2020·河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟聯(lián)考)有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄?。孩?020年2月通過考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)(集訓(xùn)隊(duì)從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)中選拔)；②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點(diǎn)分?jǐn)?shù)線；③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線(該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線)，該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計(jì)自己通過各種考試的概率如下表省數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)自主招生通過高考達(dá)重點(diǎn)線高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線0.50.60.90.7若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎(jiǎng)，則該學(xué)生估計(jì)進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.2.若進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄?。呵懊嬉呀?jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄?。?注：自主招生考試通過且高考達(dá)重點(diǎn)線才能錄取)(1)求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；(2)求該學(xué)生參加考試的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)求該學(xué)生被該校錄取的概率．[解析](1)設(shè)該學(xué)生參加省數(shù)學(xué)競賽獲一等獎(jiǎng)、參加國家集訓(xùn)隊(duì)的事件分別為A，B，則P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P1＝1－0.5＋0.5×(1－0.2)＝0.9.即該學(xué)生參加自主招生考試的概率為0.9.(2)該學(xué)生參加考試的次數(shù)X的可能取值為2,3,4P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1；P(X＝3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－0.5＝0.5；P(X＝4)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.5×0.8＝0.4.所以X的分布列為X234P0.10.50.4E(X)＝2×0.1＋3×0.5＋4×0.4＝3.3.(3)設(shè)該學(xué)生自主招生通過并且高考達(dá)到重點(diǎn)分?jǐn)?shù)線錄取，自主招生未通過但高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線錄取的事件分別為C，D.P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252.所以該學(xué)生被該校錄取的概率為P2＝P(AB)＋P(C)＋P(D)＝0.838.19．(2020·陜西咸陽期末)甲、乙兩位同學(xué)參加詩詞大賽，各答3道題，每人答對每道題的概率均為eq\f(3,4)，且各人是否答對每道題互不影響．(1)用X表示甲同學(xué)答對題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)A為事件“甲比乙答對題目數(shù)恰好多2”，求事件A發(fā)生的概率．[解析](1)X的取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(3,4))(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2(eq\f(1,4))＝eq\f(27,64)；P(X＝3)＝(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64)，因此X的分布列為X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)E(X)＝0×eq\f(1,64)＋1×eq\f(9,64)＋2×eq\f(27,64)＋3×eq\f(27,64)＝eq\f(9,4).(2)由題意得：事件A“甲比乙答對題目數(shù)恰好多2”發(fā)生，即：“甲答對2道，乙答對題0道”和“甲答對3道，乙答對題1道”兩種情況；P(A)＝eq\f(27,64)×eq\f(1,64)＋eq\f(27,64)×eq\f(9,64)＝eq\f(135,2048).20．(2020·江西名校聯(lián)盟模擬)某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱的定價(jià)為200元，低于100箱按原價(jià)銷售，不低于100箱則有以下兩種優(yōu)惠方案：①以100箱為基準(zhǔn)，每多50箱送5箱；②通過雙方議價(jià)，買方能以優(yōu)惠8%成交的概率為0.6，以優(yōu)惠6%成交的概率為0.4.(1)甲、乙兩單位都要在該廠購買150箱這種零件，兩單位都選擇方案②，且各自達(dá)成的成交價(jià)格相互獨(dú)立，求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率；(2)某單位需要這種零件650箱，以購買總價(jià)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該單位選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？[解析](1)因?yàn)榧讍挝坏膬?yōu)惠比例低于乙單位的優(yōu)惠比例的概率為0.4×0.6＝0.24，所以甲單位的優(yōu)惠比例不低于乙單位的優(yōu)惠比例的概率為1－0.24＝0.76.(2)設(shè)在折扣優(yōu)惠中每箱零件的價(jià)格為X元，則X＝184或188.X的分布列為X184188P0.60.4則E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6.若選擇方案②，則購買總價(jià)的數(shù)字期望為185．6×650＝120640元．若選擇方案①，由于購買600箱能獲贈50箱，所以該單位只需要購買600箱，從而購買總價(jià)為200×600＝120000元．因?yàn)?20640>12000，所以選擇方案①更劃算．21．(2020·山東煙臺期末)某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障．各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨(dú)立，且出現(xiàn)故障的概率為eq\f(1,3).(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；(2)為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時(shí)對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維修．已知每名維修工人每月只有及時(shí)維修1條生產(chǎn)線的能力，且每月固定工資為1萬元．此外，統(tǒng)計(jì)表明，每月在不出故障的情況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時(shí)維修，該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤，以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù)，在n＝1與n＝2之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？(實(shí)際獲利＝生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤－維修工人工資)[解析](1)設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X，則X～B(3，eq\f(1,3))，因此P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))1(eq\f(2,3))2＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為Y1萬元，若X＝0，則Y1＝12×3－1＝35；若X＝1，則Y1＝12×2＋8×1－1＝31；若X＝2，則Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；若X＝3，則Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；又P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,3))0(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))1＝eq\f(6,27)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3(eq\f(2,3))0＝eq\f(1,27)，此時(shí)，實(shí)際獲利Y1的均值E(Y1)＝35×eq\f(8,27)＋31×eq\f(12,27)＋19×eq\f(6,27)＋7×eq\f(1,27)＝eq\f(773,27).②當(dāng)n＝2時(shí)，設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為Y2萬元，若X＝0，則Y2＝12×3－2＝34；若X＝1，則Y2＝12×2＋8×1－2＝30；若X＝2，則Y2＝12×1＋8×2－2＝26；若X＝3，則Y2＝12×0＋8×2＋0×1－2＝14；E(Y2)＝34×eq\f(8,27)＋30×eq\f(12,27)＋26×eq\f(6,27)＋14×eq\f(1,27)＝eq\f(802,27)，因?yàn)镋(Y1)<E(Y2)，于是以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù)，在n＝1與n＝2之中選其一，應(yīng)選用n＝2.22．(2020·河北省聯(lián)考數(shù)學(xué))近一段時(shí)間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價(jià)格普遍上漲，生豬供不應(yīng)求．各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn)，目前各項(xiàng)針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)能恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬．根據(jù)豬的重量，將其分為三個(gè)成長階段，如下表．豬生長的三個(gè)階段階段幼年期成長期成年期重量(kg)[2,18)[18,82)[82,98]根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重X均近似服從正態(tài)分布X～N(50,162)．由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬