高考數學一輪復習 練案（52）第八章 解析幾何 第三講 圓的方程（含解析）-人教版高三數學試題

[練案52]第三講圓的方程A組基礎鞏固一、單選題1．(2019·江西南昌)若坐標原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內部，則實數m的取值范圍是(C)A．(－1,1) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))[解析]∵原點(0,0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2)，故選C.2．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(A)A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4[解析]AB的中點坐標為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋y2＝2.3．(2019·廣州模擬)已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當圓C的面積取最大值時，圓心C的坐標為(B)A．(0,1) B．(0，－1)C．(1,0) D．(－1,0)[解析]圓C的方程可化為(x＋eq\f(k,2))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以當k＝0時圓C的面積最大．故圓心C的坐標為(0，－1)，選B.4．(2020·3月份北京市高考適應性考試)圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5[解析]由題意知圓的半徑r＝1，∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的和是(C)A．30 B．18C．10eq\r(2) D．5eq\r(2)[解析]由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0知圓心坐標為(2,2)，半徑為3eq\r(2)，則圓上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離為eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＋3eq\r(2)＝8eq\r(2)，最小距離為eq\f(|2＋2－14|,\r(2))－3eq\r(2)＝2eq\r(2)，故最大距離與最小距離的和為10eq\r(2).6．直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(D)A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12[解析]圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，依題意得圓心(1,1)到直線3x＋4y＝b的距離d＝eq\f(|3＋4－b|,\r(32＋42))＝1，即|b－7|＝5，解得b＝12或b＝2.故選D.7．(2019·福建廈門)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任意一點連接的線段的中點的軌跡方程為(A)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1[解析]設中點為A(x，y)，圓上任意一點為B′(x′，y′)，由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＋4＝2x，,y′－2＝2y，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x－4，,y′＝2y＋2，))故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故選A.8．(2019·華南師大附中期中)已知圓x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0關于直線y＝x＋2b對稱，則a－bA．(－∞，0) B．(－∞，4)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]根據圓的一般方程中D2＋E2－4F>0得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，由圓關于直線y＝x＋2b對稱可知圓心(1，－3)在直線y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－9．(2020·湘東五校聯考)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有(B)A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B.二、多選題10．在平面直角坐標系內，若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點均在第四象限內，則實數aA．－5 B．－3C．－2 D．－1[解析]曲線C的方程可化為(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，則該方程表示圓心為(－a,2a)，半徑等于2的圓，因為圓上的點均在第四象限內，所以11．已知直線x－y＋m＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且△OAB為正三角形，則實數m的值可能為(BD)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(6),2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(6),2)[解析]∵△AOB為正三角形，∴圓心O到直線x－y＋m＝0的距離為eq\f(\r(3),2)，即eq\f(|m|,\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝±eq\f(\r(6),2)，故選BD.三、填空題12．已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則C的方程為__(x－2)2＋y2＝10__.[解析]依題意設所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，把所給兩點坐標代入方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a2＋1＝r2，,1－a2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r2＝10，))所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.13．(2019·太原模擬)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為__(x－1)2＋y2＝2__[解析]因為直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，所以圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝eq\r(2－12＋－1－02)＝eq\r(2)，所以半徑最大時的半徑r＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.四、解答題14．(2020·洛陽統考)已知圓S經過點A(7,8)和點B(8,7)，圓心S在直線2x－y－4＝0上．(1)求圓S的方程；(2)若直線x＋y－m＝0與圓S相交于C，D兩點，若∠COD為鈍角(O為坐標原點)，求實數m的取值范圍．[解析](1)線段AB的中垂線方程為y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－4＝0，,y＝x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))所以圓S的圓心為S(4,4)，圓S的半徑為|SA|＝5，故圓S的方程為(x－4)2＋(y－4)2＝25.(2)由x＋y－m＝0變形得y＝－x＋m，代入圓S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m令Δ＝(－2m)2－8(m2－88－5eq\r(2)<m<8＋5eq\r(2).設C，D的橫坐標分別為x1，x2，則x1＋x2＝m，x1x2＝eq\f(m2－8m＋7,2).依題意，得eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m＋7<0，解得1<m<7.故實數m的取值范圍是{m|8－5eq\r(2)<m<8＋5eq\r(2)}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}．15．在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得的線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得的線段長為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若點P到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．[解析](1)設P(x，y)，圓P的半徑為r.由題意，知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3.故點P的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設P(x0，y0)．由已知，得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.①由(1)，知yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，②聯立①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0,y0＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0,y0＝1))，對應的圓P的半徑均為eq\r(3).故圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.B組能力提升1．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(A)A．5eq\r(2)－4 B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．eq\r(17)[解析]C1(2,3)關于x軸的對稱點為C(2，－3)，∴|PM|＋|PN|的最小值為|CC2|－3－1＝5eq\r(2)－4.故選A.2．已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，則eq\f(n－3,m＋2)的最大值為(D)A．3＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．1＋eq\r(3) D．2＋eq\r(3)[解析]由題可知eq\f(n－3,m＋2)表示直線MQ(Q(－2,3))的斜率，設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中eq\f(n－3,m＋2)＝k，將圓C的方程化為標準方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，半徑r＝2eq\r(2)，由直線MQ與圓C有交點，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，解得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(n－3,m＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，故選D.3．圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對稱，則eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)的最小值是(C)A．2eq\r(3) B．eq\f(20,3)C．eq\f(32,3) D．eq\f(16,3)[解析]由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對稱，∴該直線經過圓心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)＝eq\f(2,3)(a＋3b)(eq\f(1,a)＋eq\f(3,b))＝eq\f(2,3)(1＋eq\f(3a,b)＋eq\f(3b,a)＋9)≥eq\f(2,3)(10＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(3b,a)))＝eq\f(32,3)，當且僅當eq\f(3b,a)＝eq\f(3a,b)，即a＝b時取等號，故選C.4．(2019·南通模擬)點P是圓(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的動點，點Q(2,2)，O為坐標原點，則△OPQ面積的最小值是__2__.[解析]因為|OQ|＝2eq\r(2)，直線OQ的方程為y＝x，圓心(－3,1)到直線OQ的距離d＝eq\f(|－3－1|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以圓上的動點P到直線OQ的距離的最小值為2eq\r(2)－eq\r(2)