概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1隨機(jī)事件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1隨機(jī)事件匯報(bào)人：AA2024-01-19contents目錄隨機(jī)事件及其概率古典概型與幾何概型條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)事件及其概率01在一定條件下進(jìn)行的、結(jié)果不確定的試驗(yàn)，稱為隨機(jī)試驗(yàn)。例如拋硬幣、擲骰子等。隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，稱為樣本空間。通常用大寫字母S表示。樣本空間中的每一個(gè)元素，稱為樣本點(diǎn)。030201隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)中滿足某一特定條件的結(jié)果組成的集合，稱為隨機(jī)事件。通常用大寫字母A、B、C等表示。必然事件包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件，稱為必然事件。記作S。不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件，稱為不可能事件。記作?。如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作A?B。包含關(guān)系如果事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，且它們的結(jié)果集合相同，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。相等關(guān)系如果事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件的并為和事件（并事件），記作A∪B。和事件（并事件）事件間的關(guān)系與運(yùn)算對立事件如果兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對立事件。對立事件的概率和為1。積事件（交事件）如果事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件的交為積事件（交事件），記作A∩B或AB。差事件如果事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件的差為差事件，記作A?B。互斥事件如果兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為互斥事件。事件間的關(guān)系與運(yùn)算概率的定義概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，其中0表示不可能發(fā)生，1表示必然發(fā)生。對于任何隨機(jī)事件A，有P(A)≥0。對于必然事件S，有P(S)=1。對于任意兩個(gè)互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。對于任意隨機(jī)事件A，其逆事件的概率為P(A′)=1?P(A)。非負(fù)性可加性逆事件的概率規(guī)范性概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型02計(jì)算公式在古典概型中，事件A發(fā)生的概率P(A)等于事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之比，即P(A)=m/n，其中m是事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，n是樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。定義古典概型是一種基于等可能性的概率模型，其中每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同。適用范圍古典概型適用于樣本空間有限且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同的情況。古典概型定義幾何概型是一種基于幾何度量的概率模型，其中樣本點(diǎn)的發(fā)生概率與其在幾何空間中的度量（如長度、面積、體積等）成正比。計(jì)算公式在幾何概型中，事件A發(fā)生的概率P(A)等于事件A在幾何空間中占據(jù)的度量與整個(gè)樣本空間在幾何空間中占據(jù)的度量之比。具體計(jì)算方式取決于所使用的幾何空間和度量方式。適用范圍幾何概型適用于樣本空間可以表示為某個(gè)幾何空間中的一部分，且樣本點(diǎn)的發(fā)生概率與其在幾何空間中的度量成正比的情況。幾何概型古典概型與幾何概型的比較古典概型和幾何概型都是基于等可能性的概率模型，即每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同。同時(shí)，它們都可以通過計(jì)算事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)或占據(jù)的幾何度量來求解事件發(fā)生的概率。相同點(diǎn)古典概型和幾何概型的區(qū)別在于它們的樣本空間和計(jì)算方式。古典概型的樣本空間是有限的，而幾何概型的樣本空間可以表示為某個(gè)幾何空間中的一部分。此外，古典概型通過計(jì)算事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)來求解概率，而幾何概型則通過計(jì)算事件在幾何空間中占據(jù)的度量來求解概率。不同點(diǎn)條件概率與獨(dú)立性03在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率定義對于任意兩個(gè)事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，即事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率的乘積。乘法公式條件概率與乘法公式全概率公式如果事件B1，B2，…，Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即它們兩兩互斥，其和為全集，并且都有正概率，則對任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的假定之下，貝葉斯公式將條件概率P(A|Bi)和全概率P(A)建立了聯(lián)系，即P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/∑[P(A|Bj)P(Bj)]。全概率公式與貝葉斯公式獨(dú)立性定義如果事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。獨(dú)立性判斷判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，需要驗(yàn)證它們是否滿足獨(dú)立性的定義。如果不滿足，則稱兩個(gè)事件相依。在實(shí)際問題中，可以通過數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立。事件的獨(dú)立性隨機(jī)變量及其分布04隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則是充滿一個(gè)區(qū)間。隨機(jī)變量的概念分類定義離散型隨機(jī)變量的分布律可用概率質(zhì)量函數(shù)來描述，它表示隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。分布律常見的離散分布包括二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。這些分布各自有不同的應(yīng)用場景和性質(zhì)。常見離散分布離散型隨機(jī)變量及其分布律概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可用概率密度函數(shù)來描述，它表示隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率大小。常見連續(xù)分布常見的連續(xù)分布包括正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。這些分布各自有不同的特點(diǎn)和應(yīng)用場景。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)的分布當(dāng)隨機(jī)變量通過某個(gè)函數(shù)進(jìn)行變換后，所得到的新的隨機(jī)變量的分布稱為原隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。求解方法求解隨機(jī)變量的函數(shù)的分布通常需要使用概率論中的變換技巧，如卷積公式、期望和方差的性質(zhì)等。多維隨機(jī)變量及其分布05定義01設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，定義在同一概率空間$(Omega,mathcal{F},P)$上，稱$(X,Y)$為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)02對于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)03如果存在非負(fù)函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實(shí)數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布邊緣分布與條件分布邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)分別定義為$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。邊緣概率密度函數(shù)如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$和$Y$的邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在給定$Y=y$的條件下，$X$的條件分布函數(shù)定義為$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$。條件概率密度函數(shù)在給定$Y=y$的條件下，如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的條件概率密度函數(shù)為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果對于任意實(shí)數(shù)$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的。定義如果隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的，那么對于任意實(shí)數(shù)集合$A,Bsubseteqmathbb{R}$，事件${XinA}$和${YinB}$也是相互獨(dú)立的。性質(zhì)隨機(jī)變量的獨(dú)立性多元正態(tài)分布：設(shè)$mathbf{X}=(X_1,X_2,ldots,X_n)^T$是一個(gè)$n$維隨機(jī)向量，如果存在一個(gè)常數(shù)向量$mu=(mu_1,mu_2,ldots,mu_n)^Tinmathbb{R}^n$和一個(gè)正定矩陣$Sigma=(sigma_{ij})_{ntimesn}$，使得$mathbf{X}$的概率密度函數(shù)為$$f(mathbf{x})=frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}expleft[-frac{1}{2}(mathbf{x}-mu)^TSigma^{-1}(mathbf{x}-mu)right],$$則稱$mathbf{X}$服從多元正態(tài)分布，記作$mathbf{X}simN_n(mu,Sigma)$。多維隨機(jī)變量及其分布的應(yīng)用舉例多元均勻分布：設(shè)$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)^T$是一個(gè)定義在區(qū)域$\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$上的隨機(jī)向量，如果$\mathbf{X}$的概率密度函數(shù)為多維隨機(jī)變量及其分布的應(yīng)用舉例$$f(mathbf{x})=begin{cases}frac{1}{text{Vol}(Omega)},&text{if}mathbf{x}inOmega多維隨機(jī)變量及其分布的應(yīng)用舉例0,&\text{otherwise}多維隨機(jī)變量及其分布的應(yīng)用舉例end{cases},$$則稱$mathbf{X}$服從多元均勻分布多維隨機(jī)變量及其分布的應(yīng)用舉例隨機(jī)變量的數(shù)字特征06VS描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是隨機(jī)變量所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和。方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，即隨機(jī)變量取值的波動(dòng)性或分散程度。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望與方差衡量兩個(gè)隨機(jī)變量變化趨勢的相似程度，正值表示兩變量同向變化，負(fù)值表示反向變化。標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，消除了量綱影響，更直觀地反映兩變量間的線性相關(guān)程度。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的特征數(shù)，如一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩為方差。協(xié)方差矩陣多個(gè)隨機(jī)