Ch7個體風險態(tài)度及度量

個體的風險態(tài)度及其度量本章教學目的和要求

1.了解和掌握如何界定不確定條件下不同經(jīng)濟行為主體風險態(tài)度的類型；

2.掌握三種不同風險態(tài)度的經(jīng)濟行為主體效用函數(shù)的性質(zhì)；

3.掌握確定性等價和風險溢價的含義及其計算方法；

4.從定義和性質(zhì)等各方面區(qū)分絕對風險厭惡度量和相對風險厭惡度量；

5.掌握具有線性風險容忍系數(shù)的幾個效用函數(shù)的形式及其性質(zhì)；

6.了解不同隨機占優(yōu)的假設(shè)及其充分必要條件。一、風險態(tài)度

1.問題的提出

現(xiàn)實觀察：

經(jīng)濟行為主體對待風險的態(tài)度是存在差異的。熱衷冒險的人會在等待不確定性結(jié)果中獲得刺激而興奮不已；大多數(shù)的行為主體則認為風險是一種折磨，盡可能地回避風險；而另一些人對風險可能采取一種無所謂的態(tài)度。如何通過效用函數(shù)描述不同經(jīng)濟主體對待風險的態(tài)度？

通常可以從兩個方面來刻畫：（1）觀察經(jīng)濟行為主體面對公平博彩時的行為選擇，即是愿意確定性地接受一個公平博彩的期望價值還是寧愿接受這個博彩本身及其不確定性的結(jié)果。（2）經(jīng)濟行為主體愿意付出多少價值來避免蘊含在這個博彩中的風險。或者說，讓經(jīng)濟行為主體參與這個博彩行為需要多少風險溢價補償。

2.公平博彩（FairGame）公平博彩是指不改變個體當前期望收益的賭局，如一個博彩的隨機收益為，其期望收益為，我們就稱其為公平博彩。當然，既然是博彩，通常隱含地假設(shè)其收益的方差大于零，即其收益不會是確定值零?；蛘吖讲┎适侵敢粋€博彩結(jié)果的預(yù)期收益只應(yīng)當和入局費相等的博彩。

我們將滿足下式的博彩，稱為一個公平博彩：

3.風險態(tài)度的描述公平博彩不改變個體原來的期望收益，但它提供了個體增加或減少原來收入的機會。風險厭惡者：如果經(jīng)濟主體拒絕接受公平博彩，這說明該個體在確定性收益和博彩之間更偏好確定性收益，我們稱該主體為風險厭惡者。風險偏好者：如果一個經(jīng)濟主體在任何時候都愿意接受公平博彩，則稱該主體為風險偏好者。

定義：u是經(jīng)濟主體的VNM效用函數(shù)，W為個體的初始稟賦，如果對于任何足的隨機變量，有

則稱個體是（嚴格）風險厭惡（riskaversion）；如果上述不等號方向相反，則稱個體是風險偏好（riskloving）；如果兩邊相等，則稱個體是風險中性（neutral）。

對于一個具有效用函數(shù)為U和初始稟賦為W的經(jīng)濟主體，如果他不參加博彩，則其效用為U（W）。如果他愿意參加博彩，則他有p的概率消費，1-p的概率獲得，因此，他的期望效用為根據(jù)我們對風險厭惡者的定義，對于一個風險厭惡的經(jīng)濟主體而言，我們有：

由于所以，上述不等式可改寫為：即：

這表明，風險厭惡的經(jīng)濟主體偏好未來收益分布的期望值，而不是未來收益分布本身。即對于風險厭惡的經(jīng)濟主體而言，確定性收益（數(shù)學期望值）的效用大于效用的期望值。基于這一性質(zhì)，我們認為，風險厭惡者的效用函數(shù)為凹函數(shù)。

U(x)xABC風險厭惡者的效用函數(shù)

同樣地，我們可以得到風險偏好者和風險中性者的效用函數(shù)的特征。對于風險偏好者而言，我們有：且其效用函數(shù)為凸函數(shù)。

x風險偏好者的效用函數(shù)BACU(x)

對于風險中性者而言，我們有其效用函數(shù)為線性效用函數(shù)。xU(x)4.效用函數(shù)的凸凹性的局部性質(zhì)經(jīng)濟行為主體效用函數(shù)的凸凹性實際上是一種局部性質(zhì)。即一個經(jīng)濟主體可以在某些情況下是風險厭惡者，在另一種情況下是風險偏好者。弗里德曼-薩維奇（1948）解釋了這種現(xiàn)象。他們認為，效用函數(shù)是幾個不同的部分組成。在人們財富較少時，部分投資者是風險厭惡的；隨著財富的增加，投資者對風險有些漠不關(guān)心；而在較高財富水平階段，投資者則顯示出風險偏好。二、風險厭惡的度量1.確定性等價值與風險溢價確定性等價值（certaintyequivalence）是指經(jīng)濟行為主體對于某一博彩行為的支付意愿。即與某一博彩行為的期望效用所對應(yīng)的數(shù)學期望值（財富價值）。風險溢價（riskpremium）是指風險厭惡者為避免承擔風險而愿意放棄的投資收益。或讓一個風險厭惡的投資者參與一項博彩所必需獲得的風險補償。

即如果個體為回避一項公平博彩而愿意放棄的收益為ρ，則我們有：這里，ε為公平博彩的隨機收益（即報酬的微小增量），W為初始稟賦，ρ被稱之為馬科維茲風險溢價。其值越大表明經(jīng)濟主體風險厭惡的程度越高。而W-ρ為確定性等價收益。某甲擁有財富100萬元，明年他有25％的可能性會丟失一輛價值20萬元的小汽車，假設(shè)的效用函數(shù)為V(w)=lnw,w為他的財富總量，請解答以下問題：

(1)不參加明年的保險時，他的期望效用為多少?(2)如果保險公司的管理費用為零，則他為參加全額公平保險應(yīng)該支付多少保險費？此時期望效用是多少?境況改善了嗎?(3)如果參加保險，他最愿意支付多少保險費？（1）EU=25%·ln（100-20）+75%·ln100=ln（×）=ln94.57（2）公平保險指的是使保險公司的期望利潤為零，此時的保費率為25%。h=pl=25%×20=5即某甲應(yīng)支付的保險費為5萬元。此時的期望效用為E(U)=ln(100-5)=ln95＞ln94.57參加保險后其境況改善了。（3）設(shè)保險費為R，則ln(100-R)=ln94.57得R=5.43即最多愿意支付5.43萬元的保險費。某某作東北亞旅行，在旅途中其所獲得的效用決定于其所花費的大小，其效用函數(shù)U（M）=log10M，今某某有10000元，則：

（1）某某在旅途中遺失1000元的概率為25%，求其旅途的效用期望值？

（2）若某某購買支票遺失保險，其所須付的保費為250元（保1000元的金額），則某某是否會購買此保險？（3）某某最高愿意出多少保費來購買此保險？

(4)設(shè)某某購買保險后反而更粗心，因此其遺失1000元的概率會提高至30%，則正確保費為何？此時某某是否會購買此保險？（1）即某某旅途的效用期望值為3.9886。（2）購買保險的效用為log10(10000-250)=log109750=3.9890＞3.9886所以某某會購買此保險。（3）某某最高愿意支出的保費為R，則log10(10000-r)=3.9886解出R=259(4)保險費為1000×30%=300元此時的效用期望值為EU=0.3log109000+0.7×log1010000=3.9863某某最高愿意支出的保費為R，則log10(10000-R)=3.9863得出R=310.5＞300所以某某還會投保?！ぁ?.風險厭惡系數(shù)

對于風險很小的公平博彩行為，也即預(yù)期收益為0且預(yù)期收益的方差很小的博彩行為，如果效用函數(shù)是二次連續(xù)可微的，我們可對上述等式的兩邊在W做泰勒級數(shù)展開。這里，Re為高階余項，由于是風險很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我們可以得到由風險溢價的定義可得：

上式的右邊由兩個部分構(gòu)成：是體現(xiàn)個體偏好的因素，而Var(ε)則是公平博彩隨機受益的方差，體現(xiàn)不確定性風險。將隨具體博彩的ε因素除去，留下僅反映個體主觀因素的部分，我們可以得到一個比風險溢價更為一般的風險厭惡側(cè)度指標：

經(jīng)濟學家普拉特（Pratt,1964）和阿羅（Arrow,1970）分別證明了在一定的假設(shè)條件下，反映經(jīng)濟主體的效用函數(shù)特征的可以用來度量經(jīng)濟主體的風險厭惡程度。

因此，我們將稱為經(jīng)濟主體的阿羅-普拉特絕對風險厭惡系數(shù)（Arrow-Prattabsoluteaversion）在金融理論中，我們時常需要相對測度量，如證券投資者關(guān)心的一般不是以多大的概率獲得多少絕對收益，而是以多大概率獲得百分之幾的收益。相應(yīng)地，我們可以推導(dǎo)出個體的相對風險測度。事實上，要得到相對意義上的風險溢價，只需要將絕對風險厭惡系數(shù)的兩邊除以個體的初始稟賦即可：Var（ε/W）是公平博彩相對收益的方差，另一部分稱為個體的阿羅-普拉特相對風險厭惡系數(shù)（Arrow-prattrelativeaversion）。

同樣地，我們定義阿羅-普拉特絕對風險厭惡系數(shù)的倒數(shù)為個體的風險容忍系數(shù)（risktolerance），即

T（W）越大表示個體能夠容忍的風險越大，反之則反。三、風險厭惡度量的性質(zhì)

絕對風險厭惡系數(shù)主要考察在初始財富相同的條件下，具有不同風險厭惡程度的經(jīng)濟主體的風險性為特點。而相對風險厭惡系數(shù)，則主要考察經(jīng)濟行為主體隨個人財富或消費收益的變化，對風險資產(chǎn)投資行為的變化。

1.相同財富水平下的經(jīng)濟主體風險厭惡的度量對于具有相同財富水平的經(jīng)濟主體，我們可以用三種不同的方法來比較兩者之間的風險厭惡程度：（1）絕對風險厭惡度量對于任意給定的初始財富水平W，如果下式成立，則表明經(jīng)濟主體i比經(jīng)濟主體j更加厭惡風險：

（2）風險溢價度量對于任意給定的初始財富水平W，為避免相同的風險，如果經(jīng)濟主體i比經(jīng)濟主體j需要更多的風險溢價補償，則經(jīng)濟主體i比經(jīng)濟主體j更厭惡風險：（3）效用函數(shù)的曲率從幾何上看，絕對風險厭惡系數(shù)代表了效用函數(shù)的曲率（彎曲程度），如果經(jīng)濟主體i較經(jīng)濟主體更加厭惡風險，

則表明，經(jīng)濟主體i有比經(jīng)濟行為主體j更加凹的效用函數(shù)。更確切地講，經(jīng)濟行為主體i的效用函數(shù)是經(jīng)濟行為主體j的效用函數(shù)的一個凹變換，即存在一個遞增的、嚴格凹的函數(shù)G(·)，使得對于任意的W都成立。

（4）普拉特定理假設(shè)是兩個二次可微、嚴格單調(diào)遞增的效用函數(shù)，則以下三種表述是等價的：對所有的W，有；存在一個嚴格單調(diào)遞增和嚴格凹的二階可微函數(shù)G(·)，使得；

任何公平博彩ε對經(jīng)濟主體i的風險溢價較經(jīng)濟主體j的風險溢價高，即2.風險厭惡與財富水平

在經(jīng)濟主體的財富水平發(fā)生變化時，僅僅區(qū)別投資者的風險態(tài)度是不夠的，還需要考察經(jīng)濟行為主體隨個人初始財富水平的變化而對風險資產(chǎn)投資數(shù)量的變化。即考察投資者是將風險資產(chǎn)看著是正常品還是劣等品。

（1）定義

如果經(jīng)濟主體的絕對風險厭惡系數(shù)是嚴格遞減的函數(shù)，即，DARA則這類經(jīng)濟行為主體是遞減絕對風險厭惡的；類似地，如果，IRRA則稱這類經(jīng)濟主體為遞增絕對風險厭惡的。如果則稱這類經(jīng)濟行為主體是常數(shù)絕對風險厭惡的。

（2）阿羅-普拉特定理對于遞減絕對風險厭惡的經(jīng)濟主體，隨著初始財富的增加，其對風險資產(chǎn)的投資逐漸增加，即他視風險資產(chǎn)為正常品；對于遞增絕對風險厭惡的經(jīng)濟主體，隨著初始財富的增加，他對風險資產(chǎn)的投資減少，即他視風險資產(chǎn)為劣等品；對于常數(shù)絕對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，他對風險資產(chǎn)的需求與其初始財富的變化無關(guān)。某客戶的效用函數(shù)為u(w)＝lnw，（其中w是財富，并且w）0），那么風險資產(chǎn)對該客戶而言（）A．是正產(chǎn)品B.是次品C.該客戶對風險資產(chǎn)需求不隨初始財富的變化而變化D.無法判斷

（3）相對風險厭惡的性質(zhì)定理對于遞增相對風險厭惡的經(jīng)濟主體，其風險資產(chǎn)的財富需求彈性小于1（即隨著財富的增加，投資于風險資產(chǎn)的財富相對于總財富的比例下降）；對于遞減相對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，風險資產(chǎn)的財富需求彈性大于1；對于常數(shù)風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，風險資產(chǎn)的需求彈性等于1。對于在時期0具有初始財富W的經(jīng)濟主體，設(shè)為他的風險資產(chǎn)需求彈性，則有：2.假定一投資者具有如下形式的效用函數(shù)：，其中是財富，并且，求：(1)a)該投資者具有非滿足性偏好；b)該投資者是嚴格風險厭惡的。(2)求絕對風險厭惡系數(shù)和相對風險厭惡系數(shù)。(3)當投資者的初期財富增加，該投資者在風險資產(chǎn)上的投資會增加？減少？不變？

(4)當投資者的初期財富增加1%時，該投資者投資在風險資產(chǎn)上投資增加的百分比是：大于1%？等于1%？小于1%？解：(1)a)投資者具有如下形式的效用函數(shù)：因為，所有投資者具有非飽和性偏好。b)因為，所有該投資者的效用函數(shù)嚴格凹的，因此該投資者是嚴格風險厭惡的。(2)絕對風險厭惡系數(shù)為：相對風險厭惡系數(shù)為：(3)因為，其中a是投資者在風險資產(chǎn)上的投資，因此當投資者的初期財富增加，該投資者在風險資產(chǎn)上的投資不變。(4)，所以，因為投資者在風險資產(chǎn)上投資增加的百分比小于1%。四、幾種常用的效用函數(shù)

金融經(jīng)濟學理論有時需要對個體的偏好做出某種假設(shè)。其中，常用的一個假設(shè)是個體具有線性的風險容忍系數(shù)（linearrisktolerance），滿足這一假設(shè)的VNM效用函數(shù)具有LRT形式：在這種形式下，容易驗證個體的風險容忍系數(shù)為其初始財富的線性函數(shù)。

從上式可以看出，個體的風險容忍系數(shù)與初始財富呈現(xiàn)性關(guān)系。在上式中，當γ＞1時，個體的風險容忍系數(shù)隨財富的增加而減少；當＜1時，個體的風險容忍系數(shù)隨財富的增加而增加。另外，由于該函數(shù)的絕對風險厭惡系數(shù)為

為一條雙曲線，所以，這一效用函數(shù)也成為雙曲線絕對風險厭惡效用函數(shù)（hyperbolicabsoluteriskaversion，HARA)。

LRT效用函數(shù)是一個函數(shù)族，在不同的參數(shù)下，將呈現(xiàn)出不同的形式：（1）（2）

（3）（4）

（5）

不同函數(shù)的性質(zhì)（1）二次效用函數(shù)擁有這種效用函數(shù)的個體在投資風險資產(chǎn)時只考慮資產(chǎn)的期望收益和方差，依此為基礎(chǔ)資本資產(chǎn)定價模型得到了風險資產(chǎn)定價的線性表達式。但二次函數(shù)作為效用函數(shù)存在局限性：超過一定的財富水平后，個體收入的邊際效用為負值。對前述（2）中的二次函數(shù)中的財富W求導(dǎo)：

因此，只有W在[0，1/b]時，個體的邊際效用才會大于零。該函數(shù)的A-P絕對風險厭惡系數(shù)為：對W求導(dǎo)，

這表明，二次效用函數(shù)個體的絕對風險厭惡系數(shù)是其財富的單調(diào)遞增函數(shù)，財富越多，個體的風險厭惡越強。（2）負指數(shù)效用函數(shù)如果個體的效用函數(shù)為負指數(shù)效用函數(shù)，則他對風險的厭惡程度與收入無關(guān)。因為，其絕對風險厭惡系數(shù)為常數(shù)：

CARA這種個體在風險資產(chǎn)上的投資量不受其收入水平的影響。

（3）冪函數(shù)效用函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)效用函數(shù)的相對風險厭惡系數(shù)為常數(shù)。CRRA（4）對數(shù)函數(shù)效用函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)效用函數(shù)的個體的相對風險厭惡系數(shù)也為常數(shù)，且等于1。（具體計算，各人自己完成）

某客戶的效用函數(shù)為u（w）＝e（－3w），（其中w是財富，并且w）0），那么客戶的效用函數(shù)是（）型效用函數(shù)A．IARAB.DARAC.CARAD.無法判斷五、隨機占優(yōu)1.問題的提出設(shè)為我們考慮的消費計劃集合，消費計劃是一個隨機變量。同樣地，我們可以設(shè)J是我們考慮的證券市場上的風險證券的集合，證券j∈J有一個隨機未來收益。在人們所擁有的信息只是知道經(jīng)濟行為主體非飽和或風險厭惡的情況下，人們在什么樣的條件下可以確定地認為，某一經(jīng)濟行為主體偏好某一消費計劃而放棄另一種消費計劃，或者偏好某一風險證券而放棄另一風險證券？隨機占優(yōu)（stochasticdominance）可以用于比較消費計劃集合中或者證券市場上風險證券集合中任意兩個元素的風險程度。但是，這個概念并不同于我們比較任何兩種消費計劃或任何兩個風險證券本身，因為它在消費計劃集合或風險證券集合中并沒有定義一個完全的順序關(guān)系。

2.一階隨機占優(yōu)（Afirstdegreestochasticdominates）假設(shè)存在這樣的一群經(jīng)濟行為主體，他們對于財富或消費的效用函數(shù)是連續(xù)的增函數(shù)，如果所有這些行為主體對于風險資產(chǎn)A和B的選擇都是選擇A而放棄B或者覺得A與B無差異，那么，我們可以認為，風險資產(chǎn)A一階隨機占優(yōu)于風險資產(chǎn)B.我們用來表示A一階隨機占優(yōu)于B。

即對于任何給定的收益率水平，風險資產(chǎn)A的收益率大于這個給定水平的概率至少要同風險資產(chǎn)B的收益率超過同樣水平的概率一樣大。這樣，任何非飽和的經(jīng)濟行為主體將會選擇A而非B。假定風險資產(chǎn)A和B的未來收益率落在區(qū)間[0，1]中。令分別代表風險資產(chǎn)A和風險資產(chǎn)B的收益率的累積分布函數(shù)。如果

成立，則風險資產(chǎn)A一階隨機占優(yōu)風險資產(chǎn)B