天津薊縣許家臺(tái)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

天津薊縣許家臺(tái)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解

析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和E=則。等于()

A.3B.1C.0D.?1

參考答案：

D

2.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足方程z=(z-2)i,則z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

參考答案：

B

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則直接求解.

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足方程z=(z-2)i,

.\z=zi-2i,.'.z(1-i)=-2i,

-2i-2i(l+i)-2i2-2i

.*.z=l-i=(l-i)(1+i)=l-i2=2=1-i.

故選：B.

3.已知圓°(x-2y+(y-3『=l,則圓心坐標(biāo)是()

A(2.3)BC.(-2,3)D(2.-3)

參考答案：

A

略

4.已知二次函數(shù)人“=肅+&+C的導(dǎo)數(shù)為/（X）,/（?）＞?,對(duì)于任意實(shí)數(shù)X都有

朋

〃x）三。，則/（。）的最小值為（）.

5

A.3B.2C.2

3

D.2

參考答案：

C

/(x)=2ax+4(/(0)=4>0

由/⑴：：0可知：a>b,A-b14ac-9,

故bb,

故選c.

/=《xeZ

5.已知集合4貝！MCIB=()

(x|-l<x<2)

AB.{-1,0,1,2)C.{-2,-1,0,1,2)D.{0,1,2)

參考答案:

B

【分析】

首先根據(jù)分式不等式的解法以及指數(shù)不等式，化簡(jiǎn)集合A,B,之后根據(jù)交集的定義寫(xiě)出

Ar\R.

【詳解】：

A=\x^Z[W?。}=■Z|-2K4}={一1AL2A4}

集合I

?=3-24*42)則f={T3|故選B

【點(diǎn)睛】：該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要先將集合中的元素

確定，之后再根據(jù)集合的交集中元素的特征，求得結(jié)果.

2

6.若雙曲線71

的一條漸近線與直線3丫一，+1=°平行,則此雙曲線的離心率是

（A）出(B)2班(c)3

（D）Vio

參考答案：

D

7.設(shè)曲線＞=""如＞°）上任一點(diǎn)處的切線斜率為，（X）,則函數(shù)/=2/（甘的部分圖

參考答案：

A

對(duì)'E、】nx求導(dǎo)可求得屋?

vX3：IXImxiCMSx,

函數(shù):n:"、、、、的定義域是R,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

令以x）mx'csx,

在xIrnxA＜NXI丁\：7,

,八mxl0s工是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除C選項(xiàng)和B選項(xiàng),

X

0"x'一?

當(dāng).:時(shí)，、m,、小,排除D選項(xiàng)，故選A.

8.若正方形ZB。。的邊長(zhǎng)為1,則在正方形dBC。內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到點(diǎn)人的距離小于1

的概率為（）

Xn￡2

A.4B.6c.xD.?

參考答案：

A

9.已知xwK,奇函數(shù)/CO-P-G1-改+c在口.★。）上單調(diào)，則字母。?瓦。應(yīng)滿(mǎn)足的

條件是（）.A.u=c=°，b43；B.a=c=°，b23

C.J&0,c=0,b2=D.a20,C=0243

參考答案：

A

略

10.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的等腰三角形，其中

QA=OB=1,則原平面圖形的面積為

A.1B.\2C.2D.2

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.在如圖的數(shù)表中，僅列出了前6行，照此排列規(guī)律還可以繼續(xù)排列下去，則數(shù)表中第〃

（n>3）行左起第3個(gè)數(shù)為o

1

23

456

78910

1112131415

16171819202i

參考答案：

-A+6

2

【分析】

根據(jù)題意先確定每行最后一個(gè)數(shù)，再求結(jié)果

1+2-fr3+,?,+———5

【詳解】依排列規(guī)律得，數(shù)表中第”-1行最后一個(gè)數(shù)為2

(R-D”I3_A?—?+6

第R(RN3)行左起第3個(gè)數(shù)為24=~2—.

【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12..如果10N的力能使彈簧壓縮1cm,那么把彈簧壓縮10cm要做的功為

J.

參考答案：

5

13.已知函數(shù)f(x)=x?+bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線1與直線x+3y-2=0垂

直，則b=.

參考答案：

1

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，化簡(jiǎn)求解即可.

【解答】解：函數(shù)f(X)=x2+bx可得f(x)=2x+b,

函數(shù)的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線1與直線x+3y-2=0垂直，

可得：2+b=3,解得b=l.

故答案為：1.

14.空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a,那么

這個(gè)球的表面積是.

參考答案：

3m2

15.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，

等腰直角三角形邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若一共能得到1023個(gè)正方形.設(shè)初始

也

正方形的邊長(zhǎng)為2,則最小正方形的邊長(zhǎng)為.

參考答案：

1

32

16.已知球的半徑y(tǒng)=3,則它的體積

參考答案：

36,

17..如圖，分別沿長(zhǎng)方形紙片A8CQ和正方形紙片EFG〃的對(duì)角線AC,EG剪開(kāi)，拼成如

圖所示的平行四邊形KLMN,且中間的四邊形ORQP為正方形.在平行四邊形KLMN內(nèi)隨

機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是

參考答案:

2

【分析】

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為。，正方形°次。尸的邊長(zhǎng)為“，分別求出陰影部分的面積和平

行四邊形皿小的面積，最后利用幾何概型公式求出概率.

【詳解】設(shè)正方形邱由的邊長(zhǎng)為a,正方形a°P的邊長(zhǎng)為*,在長(zhǎng)方形4BCD中，

BC=NQ=a+工Ah-MQ=a—x

故平行四邊形KU?的面積為S=（a.*_?.d+J=2i\

陰影部分的面積為a）,所以在平行四邊形KLMN內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的

D『1

P=,=一

概率是2a72

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.假設(shè)某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料:

X23456

y2.23.85.56.57.0

n___

￡xiyi_nxy

i=l

n-2

△￡Xj92-nxA_A_

參考公式：b=i=l,a-y-bx

試求：（1）y與x之間的回歸方程；

（2）當(dāng)使用年限為10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是多少？

參考答案：

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x,y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸

方程的系數(shù)b,在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值.

（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的a,b的值，寫(xiě)出線性回歸方程，當(dāng)自變量為10時(shí)，代入線性回

歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值.

【解答】解：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示：

r

8

7

6

5

4

3

2

1

0

6一8

從散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)都集中分布在一條直線附近，因此y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)

系.利用題中數(shù)據(jù)得：

x=5C2+3+4+5+6)=4,

y=5(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,

n

￡

i=lXiyi=2X2.2+3X3.8+4X5.5+5X6.5+6X7.0=112.3,

5

￡2

i=lxi=22+32+42+52+62=90,

112.3-5X4X5

x*9

所以b=90-5X42=1.23,

-z*-

a=y-bx=0.08,

...線性回歸方程為y=l.23x+0.08.

(2)當(dāng)x=10時(shí)，y=1.23X10+0.08=12.38(萬(wàn)元)，

即當(dāng)使用10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元.

19.已知數(shù)列｛aj滿(mǎn)足：ai=l,a2=2,且a”i=2a0+3ai(n22,n￡N+).

(I)設(shè)b?=a"i+a"(nGN),求證｛bj是等比數(shù)歹！J；

(ID(i)求數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式；

XJ.117.

(ii)求證：對(duì)于任意nWN'都有a】+22+...+%-1+a2n<W成立.

參考答案：

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式.

【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】(I)利用已知條件對(duì)已知的數(shù)列關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，進(jìn)一步的出數(shù)列是等比

數(shù)列.

(ID(i)根據(jù)(I)的結(jié)論進(jìn)一步利用恒等變換，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(ii)首先分奇數(shù)和偶數(shù)分別寫(xiě)出通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用放縮法進(jìn)行證明.

【解答】證明：(I)已知數(shù)列｛aj滿(mǎn)足:apl,&=2,且a田=2a.+3a…(n》2,nWfO.

則：an+i+a?=3(a?+a?-i)

%+1+an

=3(常數(shù))

即:an+an-l

所以：bn,

數(shù)列｛b.｝是等比數(shù)列.

(II)(i)由于數(shù)列｛b.｝是等比數(shù)列.

8nH+/_3n-I

則：a2+al

整理得:an*l+an=3"

所以：%「享L0-.)

_32｝.1

則：(n「是以(&14)為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列

-二=(1-馬(-1尸1

所以：n44

32(-I)”一】

a二

求得：n4

_3nf(-l)n-1

(ii)由于：3rl4,

J_______4

所以：不=37(-1嚴(yán)1

1二4

則：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an3n+l,

1_4

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an3n-1,

11114444

aa2

所以：l2a2n=3+13-i…+32k-l+]+3"-i

工工J_1i—

<1+2+8+16+…=1+2+2

年

所以：nGk時(shí)，對(duì)任意的k都有a2a2n-la2n。恒成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，利用構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)

求數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮法的應(yīng)用.

20.如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形,四=2止2,?F//A?,EFLFB,

4BFC=9N,BmFC,〃為比的中點(diǎn).(1)求證：FH〃平面EDB-,(2)求證：/CL平面

EDB；(3)求四面體A頗■的體積.

參考答案：

⑴證，設(shè)4C與BD交手點(diǎn)G?則G為4。的中盤(pán),'^EG,GH.由于目為BC的中點(diǎn),故

GHH-AB.

—2

又EF”？AB.四邊形&FG方為萬(wàn)ri四證巳

-2

BGI/FH,而EGu平面EDAFH”平毛BDB

(IDQ*由四邊用ADCD為正方網(wǎng),WABXK.

XCT//AB.'.EFXBC.fWTL"、1F_L平.IFA.FH

4ABX/W又“-2,，中點(diǎn)..：P?.2

:.PHJL平KLSCO

APH^ACyLPHHBG,ACBQ.IU-&JcBD=G

二AC上平■M8D8-

(EI>■，：bJ.e."FC=3.；.BFXc^DBF

;核為四BF?

嗎

略

21.如圖，三棱錐A-BCD中，z^ABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4,AC=4次，

CD=4?,ZACB=45°,E,F分別為MN的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABD；

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

參考答案：

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定.

【分析】(1)連接E,F,由E,F分別為AC,CD的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線定理可得

EF/7AD,再由線面平行的判定可得EF〃平面ABD；

(2)由已知求解三角形可得ABJ_BC,結(jié)合aABC和ABCD所在平面互相垂直可得人8_1平

面BCD,取BC中點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作BF的垂線GH,點(diǎn)H為垂足，則NEHG為二面角E-BF-C

的平面角，求解直角三角形得答案.

【解答】(1)證明：連接E,F,

VE,F分別為AC,CD的中點(diǎn),；.EF〃AD,

又AD?平面ADB,EF?平面ADB,，EF〃面ABD；

(2)解：取BC中點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作BF的垂線GH,點(diǎn)H為垂足，

VAB=4,AC=4g，ZACB=45°,

由AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cos450,得16=32+BC2-8BC,即BC=4.

/.AB2+BC=AC2,即AB1BC,

又平面ABC_L平面BCD,且平面ABCCl平面BCD=BC,

...AB_L平面BCD,則EG_L平面BCD,EG±BF,

又GH_LBF,...BF，平面EGH,則BF_LEH,即/EHG為二面角E-BF-C的平面角.

VBD=4,BC=4,CD=W3,1麗聲.

則/CBF=60°,.*.GH=2Xsin600=43.

./皿EG22M

RtAEGHGHV33.

Dl

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為y2（t為參數(shù)），若以原點(diǎn)0為

極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為P=4cos。，設(shè)M是圓C

上任一點(diǎn)，連結(jié)0M并延長(zhǎng)到Q,使OM|=|