新疆北屯高級(jí)中學(xué)2021屆高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷含解析

北屯高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期10月

月考考試高三試卷

第1卷(選擇題共60分)

一、選擇題(每小題5分，共60分)

1.已知全集〃={123,4,5,6},集合A={1,3},集合8={3,4,5},則集合4(4UB)=()

A.{3}B.{2,6}c.{1,3,4,5}D.

{1,2,4,5,6}

【答案】B

【解析】

【分析】

利用并集和補(bǔ)集的概念即可得出答案.

【詳解】vA={1,3},B={3,4,5},

AUB={1,3,4,5},

又U={1,2,3,4,5,6},

??.a"4UB)={2,6},

故選B.

2.若z(l+i)=l-i,貝z=()

AIB.1+/C.-iD.i

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用除法運(yùn)算求得I,再利用共舸復(fù)數(shù)的概念得到z即可.

【詳解】因?yàn)閦=-=「.J.=?=一"所以z=i.

1+z(l+z)(l-z)2

故選：D

【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到共規(guī)復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.

<i、-0.8

3.設(shè)a=3°,,b——,c=log。70.8,則a,。,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出a/,c的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閍=3°7>l，

匕=《）=3°$>3°i=a,

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)幕和對(duì)數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指

數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.

比較指對(duì)基形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

（1）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性：y=a"當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)遞減；

（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：>'=10gflX,當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)遞減;

（3）借助于中間值，例如：0或1等.

4.“機(jī)〉；”是“f+V-Zsx—-5機(jī)+3=0為圓方程”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件和充分必要條件的判斷可得選項(xiàng).

【詳解】方程x2+/-2/nx-w2-5/M+3-0表示圓需滿足

一4(一加2-5m+3j>0,m<-3或6>5,

所以“加>〈”是“/+3；2-2〃認(rèn)一〃22一56+3=0為圓方程”的充分不必要條件,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程和充分條件與必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

S”

5.記S"為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若的-。3=12,06-04=24,則——=()

A.2"-1B.2-2?C.2-2"iD.2'-"-1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

a}q-qq-=12=2

由。5-%=12,。6一。4=24可得:

a4—ad=24[q=l

所以%=q/=2：S“=*=E=2"T,

q-i

因此」丁=2-2「".

42"T

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前1項(xiàng)和公式的應(yīng)用,

考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

X3,x0

6.己知函數(shù)/(x)=<X<0若函數(shù)g(x)=f(x)-\la2-2x\(keR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則

—x,

Z的取值范圍是O

(―co,—51U(2夜,+8)B.f-oo,--j|J(0,2\/2)

A.

C.(-8,0)u(0,2夜)D.(F,0)U(2夜,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】

由g（0）=0,結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為y=|依-2|與力（為=曾有3個(gè)不同交點(diǎn)，分

\x\

k=0,k<0,k>0三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.

【詳解】注意到g（0）=0,所以要使g（九）恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程I依-2|=誓恰有3個(gè)

\x\

實(shí)根

即可,

令即y=|京-2|與/龍）=智的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn).

\x\\x\

因?yàn)樾模?胃弋x>0

x<0

y=2與7?。）=曾有1個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意;

當(dāng)％=0時(shí)，此時(shí)y=2,如圖1,

\x\

f（x）

當(dāng)左<0時(shí)，如圖2,此時(shí)y=|履-2|與人。）=安恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；

\x\

當(dāng)左>0時(shí)，如圖3,當(dāng)丁="-2與y=%2相切時(shí)，聯(lián)立方程得V一日+2=0，

令△=（）得左2—8=0,解得％=2及（負(fù)值舍去），所以女>26.

綜上，k的取值范圍為（—8,0）U（20,+8）.

故選：D.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中

檔題.

7.已知△A3C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,》,c,且滿足

acosB+bcosA--42ccosA>則A等于（）

3兀

D.—

4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理化邊為角可得sinAcosB+cosAsinB=一0cosAsinC，則cosA=------，進(jìn)

2

而求解.

【詳解】由題,根據(jù)正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=->/2cosAsinC,

所以sin（A+B）=-\/2cosAsinC,

6

因?yàn)樵贏ABC中，5抽（4+8）二國11。。0,所以8§4=一注，

2

37r

因?yàn)镺vA<〃，所以A二二，

4

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理化邊為角，考查解三角形.

8.在梯形ABC。中，AB=2DC，BE=^BC,P為線段。石上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且

AP=AAB+pBC（2，〃wR）,則儲(chǔ)+〃的最小值為（）

115459

A.—B.-C.-D.—

94348

【答案】A

【解析】

【分析】

―._.一1—12—

如圖，設(shè)=,化簡(jiǎn)得到AP=（1—]〃?）AB+（5+§m）6C,即得到

=-+所以42+〃=’m2一』m+^（0?機(jī)41）,利用二次函數(shù)求出最小

233433

值得解.

如圖，設(shè)而=機(jī)而（OVmWl）,

由題得麗=亞+麗=礪+而+加麗=通+1貸+機(jī)（比+m,

——1——2——1一1一12——

所以AP==AB^-BC-^-mBC一一mAB=（l一一m）/lB+（-+-m）5C,

332233

112

所以/1=1——m,u=-+-m,

233

,1,14

所以>V+〃=一加———m+—（0<m<V）,

433

2

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為機(jī)=一，

3

211

所以當(dāng)機(jī)=1時(shí)，萬+〃的最小值為§

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算法則和平面向量基本定理，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

9.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為

天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一

環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層

多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【解析】

【分析】

第"環(huán)天石心塊數(shù)為第一層共有〃環(huán)，則｛《,｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，

設(shè)S,為｛q,｝的前”項(xiàng)和，由題意可得S3“-S2“=S2,-S“+729,解方程即可得到“，進(jìn)一

步得到S.”

【詳解】設(shè)第〃環(huán)天石心塊數(shù)為凡，第一層共有"環(huán)，

則｛%｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，??=9+（n-l）x9=9n,

設(shè)S,為他“｝的前”項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為S..S2,,-5“，邑”—§2”,因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以S3,,—$2,=$2“一S”+729,

3n(9+27n)2〃(9+18〃)_2〃(9+18〃)n(9+9n)+^9

22-22+

即9n2=729，解得〃=9,

所NS-v_27(9+9x27)

所以A”='7-------------------------------=3402-

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容

易題.

14,y,

10.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足一+一=1,且不等式%+上</〃2-3加有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

xy4

圍()

A.(-1,4)B.y,-l)U(4,”)

C.(-4,1)D.(-oo,0)D(3,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

v)cV14.

不等式X+3〈加2-3”有解，即為根2—3加大于X+2的最小值，運(yùn)用一+—=1和基本不等

44xy

式相乘，計(jì)算得到所求最小值，解不等式可得，〃的范圍.

14,

【詳解】正實(shí)數(shù)x,y滿足一+—=1則

xy

當(dāng)且僅當(dāng)y=4x=8,x+)取得最小值4

4

由有解，即加2—3〃?>4

4

解得>4或，〃<-1.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，結(jié)合“1”的代換、基本不等式，將問題轉(zhuǎn)化為含參

代數(shù)式大于另一側(cè)的最小值

11.如圖，在正方體ABC。-A旦G。中，點(diǎn)E，/分別是棱GR，AR上的動(dòng)點(diǎn).給出

下面四個(gè)命題：

①若直線AE與直線CE共面，則直線AF與直線CE相交；

②若直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)一定在直線上；

③若直線AF與直線CE相交，則直線DD］與平面ACE所成角的正切值最大為之；

2

④直線AF與直線CE所成角的最大值是：7T.

其中，所有正確命題的序號(hào)是()

A.0@B.②④C.①②④D.②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面的性質(zhì)，以及直線與平面所成角，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】在正方體ABCO—A與中，點(diǎn)、E,尸分別是棱G。，4〃上的動(dòng)點(diǎn).

①如果點(diǎn)E在G，/在a時(shí)，直線AE與直線CE平行，可得直線AE與直線CE共面，但

直線AE與直線CE不相交，①不正確；

②因?yàn)榭臻g3個(gè)平面兩兩相交有3條交線，要么互相平行，要么相交與一點(diǎn)，因?yàn)橹本€AE與

直線CE相交，所以則交點(diǎn)一定在直線。。上，所以②正確；

③若直線AF與直線CE相交，則直線。。與平面ACE所成角的正切值最大值，應(yīng)該是E，

F與A重合，此時(shí)直線OR與平面ACE所成角的正切值最大為2竺=交，所以③正確;

DD、2

④直線AF與直線CE所成角最大值就是E，尸與Q重合時(shí)取得，夾角是7F:，所以④正確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，空間幾何體的直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與

平面所成角的求法，考查空間想象能力，判斷能力.

12.如圖為某水晶工藝品示意圖，該工藝品由一個(gè)半徑為R的大球放置在底面半徑和高均為

H的圓柱內(nèi)，球與圓柱下底面相切為增加觀賞效果，設(shè)計(jì)師想在圓柱與球的空隙處放入若干

大小相等的實(shí)心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側(cè)面及大球都相切，則該工藝品最

多可放入()個(gè)小球.

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【解析】

【分析】

圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實(shí)心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側(cè)面及

大球都相切，過球心與圓柱體底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，利用幾何關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】如圖，過球心與圓柱體底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，設(shè)球的半徑為R,實(shí)

心小球的半徑為廣，由題意可得：叵r+r+R=OR，解得：R=(3+2>/I)r,

R+r

因?yàn)樾∏蚯蛐脑谝浴隇閳A心，EF■為半徑的圓上，EF周長為2%EF,

所以即

2兀EF2兀忑逝乃(R+r)垃萬[(3+2&)r+r]

n<------=------——=-----------=--------------------=|2+2v2^15.16

2r2r2r2r''

故該工藝品最多可放入15個(gè)小球.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體與球接、切問題的求解方法.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題

時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用

平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

二、填空題(共4題；共4分)

13.設(shè)向量之=(1,—4),b=(//1+L2/W—4),若&_LB,貝4加="

【答案】5

【解析】

【分析】

由。得。石=0，即可求出.

【詳解】alb>

：.ab=1X(/774-1)+(-1)X(2/?-4)=0,解得〃z=5.

故答案為：5.

x+”0,

14.若x,y滿足約束條件<2x-y?0,,則z=3x+2y的最大值為.

x<1,

【答案】7

【解析】

【分析】

作出可行域，利用截距的幾何意義解決.

【詳解】不等式組所表示的可行域如圖

_3xz7

因?yàn)閦=3x+2y,所以y=—二+一，易知截距一越大，則z越大，

222

3r3xz

平移直線^=-三，當(dāng),=一書+］經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，

y=2x\x=\

由《，，得〈c，A(l,2),

%=11y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)

形結(jié)合的思想，是一道容易題.

25

15.已知lgx+lgy=l,則一+一的最小值是________.

xy

【答案】2

【解析】

【分析】

s25

由題可得到=10,代入一+一利用基本不等式即可求解.

尤y

【詳解】VIgx+lgy=lgxy=l,%>0,y>0,xy=10,

2+55x+2y11c

--x+—y>21-1x--1y2,

xyxy25-

當(dāng)且僅當(dāng)=即x=2,y=5時(shí)等號(hào)成立,

25

故一+一的最小值是2.

xy

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等"“一正''就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)''三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)

定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

16.若不等式x-2融2+辦4府對(duì)任意的工€口目恒成立，則實(shí)數(shù)〃的最大值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

由x-2領(lǐng)月+奴+人4/%對(duì)任意的xe［l,e］恒成立，得一丁+%-2剜a+方4/收一丁對(duì)任意的

e］恒成立，令/(幻=一無2+%一2,g(x)=4/〃x-x2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)

性，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，求出過(1,一1)且與函數(shù)/(無)=-/+%-2相切

的直線在>軸上的截距，數(shù)形結(jié)合得答案.

【詳解】解：由x-2領(lǐng)E+6+〃4以對(duì)任意的xeU,e］恒成立，

得-x2+x-2漱以+b4lnx-x2對(duì)任意的xe［1,e］恒成立，

令/(x)=—X?+x—2，g(x)=4/〃x-d.

r44-7r2

由gW=41nx-x2,得g〈x)=——2x=------(掇ke).

XX

當(dāng)xe(1,0)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe("e)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象如圖：

設(shè)過(1,一1)與/(幻=一/+%一2相切的直線方程為丁+1=左*-1),

y=1)—1

聯(lián)立〈2「，消去y得/+(攵

y=-x+x-2

由△=(斤一1)2-4(1-6=0,解得左=一3或攵=1.

當(dāng)％=—3時(shí)，直線方程為y=-3x+2.

由圖可知，滿足不等式x-2領(lǐng)月+以+人4/nx對(duì)任意的xe[l,e]恒成立的實(shí)數(shù)力的最大值為

2.

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思

想方法，屬于中檔題.

三、解答題(共6題；共55分)

17.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,%=9%.

(1)求數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式；

(2)若S,“=40,求用.

【答案】(1)=3"T或??=(-3)"-';(2)m=4

【解析】

【分析】

⑴由題意，%=4/=9%，又生r0,可得q=±3,即可求出數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；(2)由

=-(1-4),結(jié)合q=±3,解方程可求出答案.

tn1

i-q

【詳解】(1)由題意可得，%=%/=9%，又4A。，可得/=9,即4=±3.

nnl

當(dāng)4=3時(shí)，an=a｛q-'=3,當(dāng)q=-3時(shí)，4=q尸=(一3嚴(yán).

Q(]—nni\1_a”？

(2)當(dāng)q=3時(shí)，s=』------=---=40-則3"'=81,解得加=4；

m\-q1-3

當(dāng)q=-3時(shí);s)=]_(-3)“'=40,則(-3)"'=—159,因?yàn)閙是正整數(shù)，所以

\-q1-(-3)

(—3)"'=—159無解.

故S,“=40時(shí)，m=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的運(yùn)用，考查

了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.在△MC中，角所對(duì)的邊分別為已知〃=2五,。=5,c=

(I)求角。的大??；

(II)求sinA的值；

(III)求sin(2A+?)的值.

【答案】(I)C=-；(U)sinA=^^；(皿)sin(24+四］=

413I4J26

【解析】

【分析】

(I)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先計(jì)算出sinA,cosA,進(jìn)一步求出sin2A,cos2A,再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【詳解】（I）在AABC中，由。=242,。=5,。=，13及余弦定理得

ca2+b2-c28+25-13歷

cosC=--------------=--------——=——,

2ab2x242x52

TT

又因Ce（O,乃），所以C=上；

4

（H）在AABC中，由C=7，a=2j"c=及正弦定理,可得

,4?sinC20x#迤

sinA=--------=-----]—乙=1Q

CV132

（III）由a<c知角A為銳角，由sinA="3,可得cosA=J,.2,3713

1-sinA=M，

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-1=一,

1313

V2_175/2

所以sin（2A+工）=sin2Acos工+cos2Asin^=

444132132-26

【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

19.在等差數(shù)列｛?！埃?，S”為其前〃項(xiàng)和(〃eN*),且4=5,S3=9.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)么=-——，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和卻

anan+\

⑶設(shè)c.=2"q,求數(shù)列匕｝的前幾項(xiàng)和Q?

【答案】(1)。“=2〃-1；(2)7；.=—^—；(3)Q.=(2〃-3)-2向+6.

2〃+1

【解析】

【分析】

(1)由題已知等差數(shù)列，及%=5,$3=9.可運(yùn)用通項(xiàng)公式及求和公式，化為基本量％,d,

建立方程可求出％,d,則可得的通項(xiàng)公式:

(2)由(1)已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可利用勿=」一，求出｛4｝的通項(xiàng)公式，利用裂

項(xiàng)相消法求和.

(3)由(1)可得%=(2〃-1>2",再利用錯(cuò)位相減法求和;

a.+2d=5,

【詳解】解：(1)由已知條件得〈」c解得4=1，〃=2,所以通項(xiàng)公式為：勺=2〃-1.

3q+6d-9,

(2)由(1)知，an=2〃-1,

：h二111______L]

"anan+t(2”一1)(2〃+1)2(2〃-12n+lJ

數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和

=U1--].

212H+1J2n+l

(3)由c,=2"-a“=(2〃—1)-2"

Q“=l?2l+3?22+5?23+…+(2〃-3)?2"T+(2〃一l)2"①

2Q,=1?2?+3?23+5?24+…+(2〃-3)?2"+(2〃-1)2向②

①-②得，—Q=2'2?(22+23+…+2")-(2鹿一1)2川

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)相消法求和”及“錯(cuò)位相減法求和”，考查了

推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如

圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為Lew的清潔棒在彎頭內(nèi)

恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，

A30,1）.

（1）請(qǐng)用角夕表示清潔棒的長L；

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

278，呵0，多；

【答案】（1）-----------1-----------（2）1

sin0cos0

【解析】

【分析】

（1）過A作PC的垂線，垂足為C,易得4P=今，進(jìn)一步可得￡；

sin夕cos0

（2）利用導(dǎo)數(shù)求27+—8，0,9\得最大值即可.

sin0cos0\2J

【詳解】（1）如圖，過A作尸C的垂線，垂足為C,在直角△APC中，ZAPC=0,

278

AC=27cm,所以AP=-cm,同理=-cm,

sin6cos0

,278幻

L=-----+------,（9G0,—I

sin。cos（9I2）

r/八、278八（八萬、

（2）設(shè)L（6）=—+-0,-,

sin6cos6\27

mr"、27cos8sin68sit?6-27cos?6

sin-0cos_0sin_6cos-0

,73

令￡（。）=0,則tai?O=W，即tan6=1.

設(shè)且tanq=1,則

3

當(dāng)ew（O,%）時(shí)，tane<],Z（e）<0,所以單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)，tane〉|,Z(e)〉O,所以L(6)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)e=4時(shí)，取得極小值，

所以LS)mM=L(q).

33

因?yàn)閠an4=-,所以sin"=-cos^,又sin?4+cos?4=1,

所以cos?4=白，又

2.3

所以COS4=7^,所以sin%=7^,

所以乙(4)=二^~+—^=13萬(57),

sin00cos00

所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為13mC/M.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

21.已知函數(shù)/(x)=2COSXCOS^JC-^j-V3sin2x+sinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)將函數(shù)＞=/(力的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得

到的圖像向左平移;個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若關(guān)于x的方程

[g(x)]-(2+a)g(x)+2a=0在上恰有2個(gè)根,求"的取值范圍.

【答案】(1)最小正周期為7.k兀一*k兀+是(^eZ)；(II)[-1,1).

【解析】

【分析】

.2兀

(I)利用兩角差的余弦公式、二倍角公式和輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，利用公式丁=同求最

小正周期，利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)列不等式求單調(diào)增區(qū)間.

(IJ)通過伸縮和平移變換，求g(x),解方程，轉(zhuǎn)化為g(x)與y=a僅有一個(gè)交點(diǎn)問題,

進(jìn)而求出。的取值范圍.

【詳解】(I)/(x)=2cosxcosx+sinxcosx

=2sin[2x+§J.

所以/(x)的最小正周期為丁=§二乃.

令2%萬一工<2x+工<2攵乃+工，k7i--<x<k7r+—(A:GZ).

2321212

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為"-得K+A(丘Z).

(II)由(I)知/'(x)=2sin(2x+gj,

n7T]__IITJTI

所以g(x)=2sinxd----1——2sinxH-----.

34I12

由[g(x)J-(2+a)g(x)+2a=0,得g(r)=2或g(x)=a.

3n7t77r兀57r

當(dāng)XG--丁，丁時(shí),X~\--------€

4412~6,~6

1>rr

當(dāng)且僅當(dāng)x+—=—，即％=——時(shí)，g(x)=2.

12212''

所以g(x)=a僅有一個(gè)根，因?yàn)?sin(q)=—l,2sin1=l,

所以。的取值范圍是[-1,1).

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角恒等變換等基本知識(shí)，考查了分析解決問題

的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題目.

22.已知函數(shù)/(x)=ae*T-]nx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y寸(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積:

(2)若/(x)>1,求a的取值范圍.

2

【答案】(I)-----(2)[l,+oo)

e-1

【解析】

【分析】

【分析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與

坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果：

(2)解法一：利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)“X)得導(dǎo)函數(shù)/'(X)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=l時(shí)由

廣⑴=。得八％)符合題意；當(dāng)a>i時(shí)，可證'⑴<。，從而r(x)存

在零點(diǎn)玉)>0