乙卷文數(shù)-解析

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）文科數(shù)學（2023·全國乙卷·文·1·★）（）（A）1（B）2（C）（D）答案：C解析：.（2023·全國乙卷·文·2·★）設(shè)全集，集合，，M∪CUN則（）（A）（B）（C）（D）U答案：A解析：由題意，CUN={2,4,8}（2023·全國乙卷·文·3·★）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.30答案：D解析：如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.（2023·全國乙卷·文·4·★★）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且則，在（）（A）（B）（C）（D）答案：C解法1：所給邊角等式每一項都有齊次的邊，要求的是角，故用正弦定理邊化角分析，因為，所以，故①，已知C，先將C代入，再利用將①中的A換成B消元，因為，所以，故，代入①得②，因為，所以，故，結(jié)合②可得，所以.解法2：按解法1得到后，觀察發(fā)現(xiàn)若將右側(cè)拆開，也能出現(xiàn)左邊的兩項，故拆開來看，，代入得：，化簡得：，因為，所以，故，結(jié)合可得，所以.（2023·全國乙卷·文·5·★★）已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.（2023·全國乙卷·文·6·★）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則（）（A）（B）3（C）（D）5答案：B解析：如圖，，共起點，且中線、底邊長均已知，可用極化恒等式求數(shù)量積，由極化恒等式，.（2023·全國乙卷·文·7·★★）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A. B. C. D.答案：C解析：因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性可得所求概率.（2023·全國乙卷·文·8·★★★）函數(shù)存在3個零點，則a的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）答案：B解法1：觀察發(fā)現(xiàn)由容易分離出a，故用全分離，先分析是否為零點，因為，所以0不是的零點；當時，，所以直線與函數(shù)的圖象有3個交點，要畫此函數(shù)的圖象，需求導分析，令，則，因為，所以或，，故在上，在上，在上，又，當x分別從y軸左、右兩側(cè)趨近于0時，分別趨于，，，，所以的大致圖象如圖1，由圖可知要使與有3個交點，應(yīng)有.解法2：如圖2，三次函數(shù)有3個零點等價于兩個極值異號，故也可直接求導分析極值，由題意，，要使有2個極值點，則有兩個零點，所以，故，令可得，所以兩個極值分別為，，故，解得：.（2023·全國乙卷·文·9·★）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）A. B. C. D.答案：A解析：甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有種，則其概率為，（2023·全國乙卷·文·10·★★★）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（）A. B. C. D.答案：D解析：因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，（2023·全國乙卷·文·11·★★★）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）（A）（B）4（C）（D）7答案：C解法1：所給等式可配方化為平方和結(jié)構(gòu)，故考慮三角換元，，令，則，，所以當時，取得最大值.解法2：所給方程表示圓，故要求的最大值，也可設(shè)其為t，看成直線，用直線與圓的位置關(guān)系處理，①，設(shè)，則，因為x，y還滿足①，所以直線與該圓有交點，從而圓心到直線的距離，解得：，故.（2023·全國乙卷·文·12·★★★★）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.答案：D解析：設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；（2023·全國乙卷·文·13·★）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.答案：解析：由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.（2023·全國乙卷·文·14·★）若，，則_____.答案：解析：已知，可先求出和，由題意，，所以，代入可得，又，所以，，故.（2023·全國乙卷·文·15·★★）若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.答案：8解析：作出可行域如下圖所示：z=2x-y，移項得聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點，此時截距-z最小，則z最大，代入得z=8，（2023·全國乙卷·文·16·★★★）已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面ABC，則_____.答案：2解析：有線面垂直，且是等邊三角形，屬外接球的圓柱模型，核心方程是，如圖，圓柱的高，底面半徑r即為的外接圓半徑，所以，由題意，球的半徑，因為，所以，解得：，故.（2023·全國乙卷·文·17·★★★）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為．（1）求z，s2（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）答案：（1），；（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.解析：（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有，所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.（2023·全國乙卷·文·18·★★★）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）（已知條件都容易代公式，故直接用公式翻譯，求出和d）設(shè)的公差為d，則①，②，聯(lián)立①②解得：，，所以.（2）（通項含絕對值，要求和，先去絕對值，觀察發(fā)現(xiàn)前7項為正，從第8項起為負，故據(jù)此討論）當時，，所以；當時，；綜上所述，.（2023·全國乙卷·文·19·★★★）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.（2023·全國乙卷·文·20·★）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.答案：（1）；（2）.解析：（1）當時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當時，由可得，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當時，，單調(diào)遞減，由于，故當時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.（2023·全國乙卷·文·21·★★★）已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．答案：（1）（2）證明見詳解解析：（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.【選修44】（10分）（2023·全國乙卷·文·22·★★★）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍．答案：（1）（2）解析：（1）因為，即，可得，整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，又因為，且，則，則，故.（2）因為（為參數(shù)，），整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，如圖所示，若直線過，則，解得；若直線