維數(shù)-基-坐標課件

一、線性空間中向量之間的線性關系二、線性空間的維數(shù)、基與坐標§6.3維數(shù)

·基與坐標三、線性子空間的幾個結果1/36引入即線性空間的結構如何？怎樣才能便于運算？問題Ⅰ如何把線性空間的全體元素表示出來？這些元素之間的關系又如何呢？（基的問題）問題Ⅱ線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西—

發(fā)生聯(lián)系,（坐標問題）

使其能用比較具體的數(shù)學式子來表達？數(shù)2/36一、線性空間中向量之間的線性關系

1、有關定義設V

是數(shù)域P

上的一個線性空間（1）和式

的一個線性組合．稱為向量組（2）

，若存在

則稱向量可由向量組

線性表出.使3/36若向量組中每一向量皆可由向量組

線性表出，可由向量組線性表出.

若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為等價的．

（3），，使得

則稱向量組線性相關.

則稱向量組若存在不全為零的數(shù)

4/36（4）如果向量組不是線性相關的，即只有在時才成立，

則稱線性無關．

（1）單個向量線性相關

單個向量線性無關

向量組線性相關

中有一個向量可由其余向量線性表出．

2、有關結論5/36（2）若向量組線性無關，且可被向量組線性表出，若與為兩個線性無關的等價向量組，

（3）若向量組線性無關，但向量組

則可被向量組

線性表出，且表法是唯一的．

則

線性相關，則

6/361、維數(shù)

若線性空間V中可以找到任意多個線性無關的向量，則稱V

是無限維線性空間．二、線性空間的維數(shù)、基與坐標

n維線性空間，常記作dimV＝n.若在線性空間V

中有n

個線性無關的向量，但是任意n＋1個向量都是線性相關的，則稱V

是一個注：零空間的維數(shù)定義為0.dimV＝0

V＝{0}7/36因為對任意的正整數(shù)

n，都有n個線性無關的

例2

所有實系數(shù)多項式所成的線性空間R[x]是無限維的.1，x，x2，…，xn-1.

例1

數(shù)域P上的向量空間Pn

的維數(shù)等于n,即dimPn=n.向量8/36在n

維線性空間V

中，n

個線性無關的向量2、基稱為V

的一組基；下的坐標，記為

3、坐標設

為線性空間V

的一組基，則數(shù)組，若

就稱為

在基

9/36有時也形式地記作

注意：向量

的坐標

是被向量

和基

唯一確定的．即向量

在基

在不同基下的坐標一般是不同的．

下的坐標是唯一的.

10/364、線性空間的基與維數(shù)的確定定理：若線性空間V中的向量組滿足

?。┚€性無關；

ⅱ）可經(jīng)線性表出

,則V是n

維線性空間，是V的一組基．

11/36例3

3維幾何空間R3＝

是R3的一組基；

也是R3的一組基．一般地，向量空間為n維的，

就是Pn的一組基．稱為Pn的標準基.

12/36①n

維線性空間

V

的基不是唯一的，②任意兩組基向量是等價的．

例4（1）證明：線性空間P[x]n是n

維的，注意：線性無關的向量都是V的一組基．

（2）證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1

為

P[x]n

的一組基．

也為P[x]n的一組基．V中任意n個且13/36證:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是線性無關的．

∴1，x，x2，…，xn－1為P[x]n的一組基，從而，P[x]n是n維的.其次，

可經(jīng)1，x，x2，…，xn－1線性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐標就是此時，14/36（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是線性無關的．

又對

，即,f(x)可經(jīng)1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1線性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1為P[x]n的一組基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐標是

注：此時，按泰勒展開公式有

15/36若把C看成是實數(shù)域R上的線性空間呢？

而實數(shù)域R上的線性空間C為2維的，例5求全體復數(shù)的集合C看成復數(shù)域C上的線性空間的維數(shù)與一組基；解：復數(shù)域C上的線性空間C是1維的，數(shù)1就是它的一組基；它的一組基．

注：任意數(shù)域P看成是它自身上的線性空間是一維的，數(shù)1，i就是維數(shù)與所考慮的數(shù)域有關.數(shù)1就是它的一組基.16/36解：令

則

是線性無關的．事實上,由

，即

有

又對

，有

例6求數(shù)域P上的線性空間的維數(shù)和一組基．

是的一組基，是4維的．

∴

17/36矩陣在基下的

坐標就是

一般地，數(shù)域P上的全體矩陣構成的線性空間是維的，

注：

就是的一組基．

矩陣單位18/36下的坐標，其中

解：設

，則有線性方程組解之得,

．

∴在基

下的坐標為

．

例7在線性空間中求向量在基

19/36練

習1.已知全體正實數(shù)R＋對于加法與數(shù)量乘法：構成實數(shù)域R上的線性空間，求R＋的維數(shù)與一組基.

2.求實數(shù)域R上的線性空間V的維數(shù)與一組基.這里20/361

解:

數(shù)1是R＋的零元素.即x可由a線性表出.任取R＋中的一個數(shù)a,且，則a是線性無關的.故R＋是一維的，任一正實數(shù)就是R＋的一組基.21/36

2

解:

①22/36下證線性無關.設得齊次線性方程組其系數(shù)行列式②23/36∴方程組②只有零解：故線性無關.又由①知，任意f(A)均可表成的線性組合，所以V為三維線性空間，就是V的一組基.24/36三、線性子空間的幾個結果設V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的一個線性子空間①線性子空間也有基與維數(shù)的概念.

②任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的維數(shù).例1

P[x]n是P[x]的線性子空間，維數(shù)等于n.例2

n元齊次線性方程組

AX=0解空間的維數(shù)方程組的一個基礎解系就是解空間的一組基.=n-R(A)，25/36例3求Pn的下列子空間的維數(shù)和一組基：

解：(1)W1是n元齊次線性方程組的解空間.①就是W1的一組基.所以，dimW1

＝n－1，①的一個基礎解系(2)

dimW3＝n－1，,是W3的一組基.26/36例4在Pn

中，

為Pn的一組基，即Pn

由它的一組基生成.類似地，還有事實上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.27/36有關結論1、設W為n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3p256）

1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價．

2）生成子空間的維數(shù)＝向量組的秩．28/36為

V

的一組基．即在

V

中必定可找到

n－m

個向量設W為

n維線性空間

V

的一個

m

維子空間，4、（定理4p256）為W的一組基，則這組向量必定可擴充，使為

V

的一組基．擴基定理

證明：對n－m作數(shù)學歸納法．無關組，則推論：設是線性空間V中不全為零的一組向量，是它的一個極大29/36它擴充為P4的一組基，其中例5

求的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換30/36由B知，為的一個極大

故維數(shù)=3，就是的一組基.無關組.31/36則線性無關，從而為P4的一組基.32/