理論力學(xué)課件：點的復(fù)合運動

點的復(fù)合運動7.1復(fù)合運動的概念7.2速度合成定理7.3牽連運動為平動時的加速度合成定理7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理思考題

7.1復(fù)合運動的概念

設(shè)某汽車相對于地面勻速直線行駛,如圖7-1所示。圖7-1

再如,塔式起重機起吊重物A的運動(見圖7-2),起重臂繞鉛直軸轉(zhuǎn)動,重物A沿鋼絲繩方向上升。在起重臂上觀察到重物A做直線運動,而在地面上看到A做螺旋線運動?？梢?/p>

看出,重物A對地面的螺旋線運動是由其相對于起重臂的直線運動與隨起重臂轉(zhuǎn)動的圓周運動合成的。

點的運動既可合成,也可分解。點的復(fù)雜運動往往可看成幾個簡單運動的合成。運用運動的分解與合成的方法分析點的運動時,需確定兩個參考系,區(qū)分三種運動、速度和加速度。圖7-2

為研究方便起見,通常將固結(jié)于地面或相對地面靜止的物體上的坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系,簡稱靜系,用Oxyz表示;而把固結(jié)于相對靜系有運動的物體上的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系,簡稱動系,用O'x'y'z'表示。

動點相對于靜系的運動,稱為絕對運動;動點相對于動系的運動,稱為相對運動;動系相對于靜系的運動,稱為牽連運動。仍以圖7-1所示的滾動的車輪為例,取輪緣上的一點M為動點,固結(jié)于車廂的坐標(biāo)系為動參考系,則車廂相對于地面的平移

是牽連運動;在車廂上看到點做圓周運動,這是相對運動;在地面上觀看到點沿旋輪線運動,則是絕對運動。又如圖7-2所示,取重物A為動點,靜系固結(jié)于地面(或塔身),動系固結(jié)于起重臂,則重物A相對于地面的運動是絕對運動,重物A相對于

起重臂的運動是相對運動,而起重臂繞z軸的轉(zhuǎn)動為牽連運動。由此可見,動點的絕對運動是它的相對運動和牽連運動的合成運動。

絕對運動和相對運動都是指動點的運動,而其牽連運動則是指動系的運動。由于動系固結(jié)于運動的物體上,因此,牽連運動就是固結(jié)動系的剛體的運動。它可能是平動、定軸轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的剛體運動。

對應(yīng)于三種運動,動點有三種速度和加速度。把動點相對于靜系運動的速度和加速度分別稱為動點的絕對速度和絕對加速度,分別用va

和aa表示;把動點相對于動系運動的速度和加速度分別稱為動點的相對速度和相對加速度,分別用vr

和ar表示。對點的相對運動的描述,仍采用第5章所述的方法,因為那里所述的點的運動理論適用于一切坐標(biāo)系,但要注意,這時的矢徑、坐標(biāo)等都是相對于動系的。至于動點的牽連速度和牽連加速度,是指某瞬時動系上與動點相重合的點(稱為牽連點)相對靜系運動的速度和加速度,分別用ve和ae表示。由于動點相對于動系運動,因此,不同瞬時動點與動系上不同的點重合,即有不同的牽連點。

對應(yīng)于三種運動,動點有三種速度和加速度。把動點相對于靜系運動的速度和加速度分別稱為動點的絕對速度和絕對加速度,分別用va和aa

表示;把動點相對于動系運動的速度

和加速度分別稱為動點的相對速度和相對加速度,分別用vr

和ar

表示。對點的相對運動的描述,仍采用第5章所述的方法,因為那里所述的點的運動理論適用于一切坐標(biāo)系,但要注意,這時的矢徑、坐標(biāo)等都是相對于動系的。至于動點的牽連速度和牽連加速度,是指某瞬時動系上與動點相重合的點(稱為牽連點)相對靜系運動的速度和加速度,分別用ve和ae

表示。

由于動點相對于動系運動,因此,不同瞬時動點與動系上不同的點重合,即有不同的牽連點。小環(huán)M接觸的點為E2,E2點的速度、加速度就是該瞬時小環(huán)的牽連速度、牽連加速度。顯然,E1點與E2點的速度、加速度在該瞬時各不相同。圖7-3

【例7-1】如圖7-4所示,桿OA以角速度ω=t2繞垂直于圖面的O軸轉(zhuǎn)動,點M沿著桿OA按x'=3t2的規(guī)律運動(兩式中ω以rad/s計,x'以cm計,t以s計)。如將動系Ox'y'固連于桿OA上,求t=2s時,點M的相對速度vr、相對加速度ar及牽連速度ve、牽連加速度ae。

解(1)分析三種運動。動系Ox'y'固連于桿OA上,靜系固連在地面上(靜系一般都固連在地面上,故在本書的后續(xù)章節(jié)中不再說明),動點為M。因此,動點M相對于地面的運動是絕對運動,絕對運動的軌跡為螺旋線;動點沿著桿OA的運動是相對運動,相對運動的軌跡為直線;桿OA的定軸轉(zhuǎn)動為牽連運動。圖7-4

7.2速度合成定理

速度合成定理將建立動點的絕對速度、相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。在圖7-5中,設(shè)有一動點M沿動系上的曲線AB運動。圖7-5

由此得到了點的速度合成定理:動點在任一瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和,即動點的絕對速度可以由牽連速度與相對速度所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來確定,如圖7-5所示。此定理也稱為速度平行四邊形定理。

在式(7-1)這個平面矢量方程中,va、ve與vr

三個矢量的大小、方向共有六個未知量。

在這六個量中,若已知其中四個,便可求出另外兩個未知量。

應(yīng)該指出,在推導(dǎo)速度合成定理時,并未限制動系做什么樣的運動,即牽連運動可以是平動、轉(zhuǎn)動或其他任何復(fù)雜的運動。

【例7-2】凸輪機構(gòu)如圖7-6所示。當(dāng)半徑為R的半圓形平板凸輪沿水平直線軌道平動時,可推動頂桿沿鉛垂直線軌道滑動。在圖示瞬時,已知凸輪的速度為v,方向向右,A點

和凸輪中心O'的連線與水平線間的夾角為φ,求此瞬時桿的速度。圖7-6

解(1)運動分析。AB桿做平動,若求得其上任一點的速度即為AB桿的速度。因AB桿的A點相對凸輪的運動容易分析,故取AB桿端點A為動點,動系固連于凸輪上,靜系固連于地面,分析A點的復(fù)合運動。

絕對運動:A點鉛垂直線運動;

相對運動:A點沿凸輪表面做曲線運動;

牽連運動:凸輪沿水平面做直線平動。

(2)速度分析如表7-1所示。

因未知量不超過兩個,故可由速度合成定理求解。根據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-6所示。

由幾何關(guān)系可得

A點的速度va即為桿的速度。

【例7-3】刨床急回機構(gòu)如圖7-7所示。已知曲柄OA的角速度ω為常量,OA長r,OO1=2r,求當(dāng)曲柄的轉(zhuǎn)角φ=π/2時,搖桿O1B的角速度ω1。

解(1)運動分析。因套筒A相對于搖桿O1B的運動容易分析,故選A為動點。動系固連于搖桿O1B上,靜系固連于地面,分析動點A的復(fù)合運動。

絕對運動:動點A以O(shè)為圓心,做半徑為r的圓周運動;

相對運動:動點A沿?fù)u桿O1B

做直線運動;

牽連運動:O1B

桿繞O1軸做定軸轉(zhuǎn)動。

(2)速度分析如表7-2所示。

因未知量不超過兩個,故可由速度合成定理求解。根

據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-7所示。圖7-7

【例7-4】如圖7-8所示,車廂以速度v沿水平直線軌道行駛,雨點鉛直落下,其速度為v1。試求雨點相對于車廂的速度。圖7-8

解(1)運動分析。本題是求雨點相對于車廂的速度。故選取雨點為動點,動系固結(jié)于車廂上,靜系固結(jié)于地面。

絕對運動:雨點做鉛直直線運動;

相對運動:雨點相對車廂做斜直線運動;

牽連運動:車廂沿水平直線軌道做平動。

(2)速度分析如表7-3所示。

根據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-8所示。由直角三角形可求得相對速度的大小和方向為

【例7-5】滑塊M可同時在槽AB和CD中滑動,在圖7-9(a)所示瞬時,槽AB、CD的速度分別為v1=8cm/s、v2=6cm/s。求該瞬時滑塊M的速度。圖7-9

解(1)運動分析。槽AB和CD做直線平動,滑塊做平面曲線運動,而滑塊相對于槽AB、CD都是做直線運動。取滑塊M為動點,槽AB為動系,地面為靜系。

速度分析如表7-4所示。

因有三個未知量,不能由速度合成定理

求解。

(2)再以滑塊M為動點,槽CD為動系,地面為靜系進行分析。速度分析如表7-5所示。

由上述例題,可將應(yīng)用速度合成定理求解問題的大致步驟總結(jié)如下:

(1)選取動點、動系和靜系。動點、動系和靜系的正確選取是求解點的復(fù)合運動問題的關(guān)鍵。在選取時必須注意:動點、動系和靜系必須分屬三個不同的物體,否則三種運動(絕對、相對、牽連運動)就會缺少一種運動,而不能稱其為復(fù)合運動。此外,動點、動系和靜系的選取,應(yīng)使相對運動比較明顯、簡單。

(2)分析三種運動。對于絕對、相對運動,主要是分析其軌跡的具體形狀;而對于牽連運動,則是分析其剛體運動的具體形式。分析三種運動的目的是確定三種運動速度的方位線,

以便畫出速度平行四邊形。

(3)畫速度平行四邊形,分析問題的可解性。三種運動速度va、ve

和vr的大小、方向共有六個量,要明確知道其中哪些是已知的,哪些是未知的,其未知量不超過兩個時問題可解。

必須注意,畫圖時要使絕對速度成為平行四邊形的對角線。

(4)根據(jù)速度平行四邊形的幾何關(guān)系求解未知量。

7.3牽連運動為平動時的加速度合成定理

在圖7-10中,設(shè)動系O'x'y'z'相對于靜系Oxyz平動,其原點O'的速度、加速度分別為vO'和aO',動系上的三個單位矢量分別為i'、j'、k'。點M對于動系的坐標(biāo)為x'、y'、z',則其相對速度、加速度分別為圖7-10

上式表明:當(dāng)牽連運動為平動時,任一瞬時,動點的絕對加速度等于其牽連加速度與相對加速度的矢量和。這就是牽連運動為平動時的加速度合成定量。

【例7-6】例7-2中,若已知凸輪在圖示位置時的加速度a,試求此瞬時頂桿AB的加速度。圖7-11

【例7-7】在圖7-12所示的曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)中,曲柄OA轉(zhuǎn)動的角速度是ω0,角加速度是α0(轉(zhuǎn)向如圖所示)。設(shè)曲柄的長度是r,試求當(dāng)曲柄與導(dǎo)桿中線的夾角θ<π/2時導(dǎo)桿的加速度。圖7-12

解(1)運動分析。當(dāng)曲柄OA轉(zhuǎn)動時,通過滑塊A帶動導(dǎo)桿做鉛直平動,在滑塊與平動的導(dǎo)桿之間存在著相對運動。故選滑塊A作為動點,并將動系固連于導(dǎo)桿上,靜系固連于

機構(gòu)的基座上。運動分析如下:

絕對運動:動點A繞點O的圓周運動;

相對運動:動點A沿導(dǎo)桿滑槽的水平直線運動;

牽連運動:導(dǎo)桿的鉛直平動,它“攜帶”著滑塊A運動。

(2)加速度分析。點A的加速度aa有切向分量ata

和法向分量ana。各加速度分量如圖7-12所示,加速度的分析如表7-7所示。

(3)求加速度。由式(7-8),有

將上式向Oy軸投影,有

即

可見,當(dāng)θ在第一象限內(nèi)時,ae為負(fù)值,負(fù)號表示ae

的實際指向與圖中假設(shè)指向相反。由于導(dǎo)桿做平動,點A的牽連加速度就是導(dǎo)桿的加速度。

7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理

在圖7-13中,設(shè)動系O'x'y'z'以角速度ωe繞定軸z轉(zhuǎn)動,動點M的位置用矢徑r

確定,動點M在動系中的位置為r'=x'i'+y'j'+z'k'。根據(jù)點的速度合成定理有圖7-1圖7-14

科氏加速度在自然界中是有所表現(xiàn)的。例如,在北半球,河水向北流動時,河水的科氏加速度方向向西,即指向左側(cè),如圖7-15所示。圖7-15

【例7-8】試求例7-3中搖桿O1B在圖示位置時的角加速度α1(見圖7-16)。圖7-16

圖7-17

從上兩節(jié)的例題可知,應(yīng)用加速度合成定理求解點的加速度,其步驟基本上與應(yīng)用速度合成定理求解點的速度相同,但要注意以下幾點:

(1)選取動點和動系后,應(yīng)根據(jù)動系做平動還是轉(zhuǎn)動,確定加速度合成定理中是否含有科氏加速度。

(2)分析三種加速度和科氏加速度。先求出科氏加速度的大小和方向(科氏加速度的方向是確定的),再求解加速度未知量,切向加速度如果是未知量,其指向可以預(yù)先假設(shè)。由于

加速度合成定理的矢量表達式中一般都包含四個以上的矢量,通常采用矢量投影法求解未知量。

但投影時要注意:

①選擇合適的投影軸,使投影軸與其中一個未知量的方向垂直,這樣可使投影后得到的方程中只包含一個未知數(shù)。

②矢量方程向坐標(biāo)軸上投影時,要注意矢量投影的正確應(yīng)用,即要將表達式兩邊的矢量同時向投影軸投影。投影與坐標(biāo)軸方向一致時為正,反之為負(fù)。

思考題

7-1何謂點的牽連速度和牽連加速度?有人說:“由于牽連運動是動系相對靜系的運動,因此牽連速度、牽連加速度就是動系相對靜系的速度和加速度”。對嗎?為什么?

7-2曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動,如思考題7-2圖所示。(a)、(b)兩圖中哪一種分析正確?

(1)以