微專題-橢圓中斜率乘積為的問題

橢圓中斜率乘積為的問題【熱身訓(xùn)練】1.設(shè)是橢圓的上下兩頂點，是橢圓上異于的任一點，直線與軸相交于點求證：為定值.2.平面直角坐標(biāo)系系xOy中，過橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB中點且OP的斜率為，那么橢圓M的方程為.【例題精講】例1：橢圓，點，為坐標(biāo)原點．〔I〕假設(shè)是橢圓上任意一點，，求的值；〔II〕設(shè)是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．變題1：橢圓上異于頂點的點，假設(shè)是橢圓上異于任意一點，滿足，且，求的值.變題2：如圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為.〔1〕求該橢圓的標(biāo)準方程；〔2〕設(shè)動點滿足:,其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點,使得為定值？假設(shè)存在，求出的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.變題3：橢圓，設(shè)是橢圓上異于頂點的兩個動點，且的面積是1，試探究是否為定值．【課后練習(xí)】1.設(shè)點P是橢圓上的任意一點(異于左,右頂點A,B)，直線分別交直線與點M,N，求證:.2.xO·yMPQ如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，直線的斜率分別記為.xO·yMPQ〔1〕假設(shè)圓與軸相切于橢圓的右焦點，求圓的方程；〔2〕假設(shè).①求證：；②求的最大值；③試探究是否為定值..【熱身訓(xùn)練】1.設(shè)是橢圓的上下兩頂點，是橢圓上異于的任一點，直線與軸相交于點求證：為定值.2.平面直角坐標(biāo)系系xOy中，過橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB中點且OP的斜率為，那么橢圓M的方程為.【例題精講】例1：橢圓，點，為坐標(biāo)原點．〔I〕假設(shè)是橢圓上任意一點，，求的值；〔II〕設(shè)是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．解：〔Ⅰ〕，得，，即〔II〕〔解法一〕由條件得，，平方得,即=故的面積為定值〔解法二〕=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時，易得的面積為=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由，可得，又，可得因為，點到直線的距離綜上：的面積為定值2變題1：橢圓上異于頂點的點，假設(shè)是橢圓上異于任意一點，滿足，且，求的值.解：設(shè)，由，有，因為是橢圓上任意一點，所以有，即因為橢圓上異于頂點的點，所以，所以，因為，所以，因為橢圓上異于頂點的點，所以，所以，所以，即.變題2：如圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為.〔1〕求該橢圓的標(biāo)準方程；〔2〕設(shè)動點滿足:,其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點,使得為定值？假設(shè)存在，求出的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕由，eq\f(a2,c)＝2eq\r(2)，解得，，故橢圓的標(biāo)準方程為.〔2〕設(shè),那么由,得，因為橢圓上的點，所以，故因為直線與的斜率之積為，即，也即，所以，所以，即，所以點是橢圓上的點．設(shè)該橢圓的左、右焦點為，那么由橢圓的定義有為定值，又因為，因此兩定點的坐標(biāo)為．變題3：橢圓，設(shè)是橢圓上異于頂點的兩個動點，且的面積是1，試探究是否為定值．解：=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè),那么可得的面積為，所以，即，所以，=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由，可得，因為，點到直線的距離可得，所以，綜上：為定值．設(shè)點P是橢圓上的任意一點(異于左,右頂點A,B)，直線分別交直線與點M,N，求證:.證明：設(shè)那么，，所以，設(shè)，那么，所以，即2.xO·yMPQ如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，直線的斜率分別記為.xO·yMPQ〔1〕假設(shè)圓與軸相切于橢圓的右焦點，求圓的方程；〔2〕假設(shè).①求證：；②求的最大值；③試探究是否為定值.解：〔1〕因為橢圓右焦點的坐標(biāo)為，所以圓心的坐標(biāo)為，從而圓的方程為.〔2〕①因為圓與直線相切，所以，即，