小學(xué)奧數(shù)之不規(guī)則圖形的面積

學(xué)校奧數(shù)之不規(guī)章

4-2-6.不規(guī)章圖形的面積

例題需雷

本講主要通過求一些不規(guī)章圖形的面積，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點在于把不規(guī)章圖形轉(zhuǎn)化

為規(guī)章圖形的方法，包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)體會

求面積的技巧，提高同學(xué)的觀看力量、動手操作力量、綜合運用力量.

【例D你有什么好的方法計算所給圖形的面積呢？（單位：厘米）

圖1圖2圖3

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】1星【題型】解答

【解析】（方法一）接受分割法，可給原圖分成兩個長方形，（圖1或圖2）兩個長方形的總面積

就是所求的

面積.圖1的面積是：4x（9+3）+9x3=75（平方厘米）.圖2的面積是：

（9+4*3+9x4=75（平方厘米）.

（方法二）接受補圖法，假如補上一個邊長是9厘米的正方形（圖3）,就成了一個面積

是：

（4+9）x（9+3）=156（平方厘米）的大長方形.因此用這個長方形的面積減去

所補正方形的面積，就是要求的圖形面積（4+9）*（9+3）-9x9=75（平方厘

米）.

【答案】75平方厘米

【鞏固】如圖是學(xué)校操場一角，請計算它的面積（單位：米）

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】1星【題型】解答

【解析】這是一個不規(guī)章圖形，怎樣使它能轉(zhuǎn)化為我們生疏的基本圖膨呢？可以在圖中添上

一條幫助線，把多邊形切割成上下兩個長方形或左右兩個長方形；也可以把多邊形補

充完整，成為一個長方形；

方法'一:如圖一,30x40+20x(30+40)=1200+1400=2600(平方米)

方法二：如圖二,20x30+40x(20+30)=600+2000=2600(平方米)

方法三：如圖三,(40+30)x(20+30)—30x30=3500—900=2600(平方米)

【答案】2600平方米

【鞏固】如右圖所示，圖中的ABEFGZ）是由一個長方形ABC。及一個正方形CEFG拼成的,

線段的長度如圖所示（單位：厘米），求49瓦6。的周長和面積.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】1星【題型】解答

【解析】方法一：假如求出長方形的寬及正方形的邊長，則圖形A5ER7Z）的周長和面積可以

求出.

而正方形的邊長GC=DC-Z）G=AB-Z）G=10—4=6（厘米），

長方形的寬=3E-C￡=10—6=4（厘米），所求圖形的周長

=10x2+6x2+4+4=40（厘米）

面積=S長方形ABC。+S正方形C￡FG=10x4+6x6=76（平方厘米）

方法二：可以將線段Gb、DG向外平移，得一個新的圖形

由于。G=”F，GF=DH,所以圖形A3中的周長就是圖形ABEFG。的

周長.而AB=3E=10（厘米），所以圖形ABE”是邊長為10厘米的正方形.

所求圖形的周長=正方形ABEH的周長=10x4=40（厘米）

面積=5正方形A8EH一S長方形DGFH=10x10-6x4=76（平方厘米）

【總結(jié)】方法一是利用基本圖形的周長及面積公式求解，因此首先要知道長方形的長、寬及正

方形的邊長.

方法二是利用轉(zhuǎn)化的思想方法，將較簡單圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，圖形轉(zhuǎn)化前后的周長

不變，面積增加了，在計算時應(yīng)減去增加的面積.

【答案】76

【鞏固】求圖中五邊形的面積.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】由圖可見五邊形為矩形切去一角得來，把切去的角補出來，它的一條直角邊長

6-3=3,斜邊等于5,所以另始終角邊為4,所以矩形的長為4+4=8,五邊形面積

6x8」x4x3=42.

【答案】42

【例2]這是一個樓梯的截面圖，高280厘米，每級臺階的寬和高都是20厘米.問，此樓

梯截面的面積是多少？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽、口試

【解析】假如把樓梯截面補成右圖所示的長方形，那么此長方形高280厘米.寬300厘米，它

的面積恰好是所求假面的2倍.所以樓梯截面面積為（280x300）+2=42000（平方厘

米）.

【答案】42000

【鞏固】如圖是一個樓梯的截面圖，每級臺階的寬和高都是20厘米.這樓梯的截面積是多少

平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】先求出大三角形的兩條直角邊都是20x8=160（厘米），因此大三角形的面積為

160x160+2=12800（平方厘米）；8個小三角形的面積為20x20+2x8=1600（平方

厘米）；因此這樓梯的截面積為12800+1600=14400（平方厘米）.

【答案】14400

【例3】有一塊菜地長16米，寬8米，菜地中間留了寬2米的路，把菜地平均分成四塊，每

一塊地的面積是多少？

~-prnrr

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】方法一：可以直接求出每小塊菜地的長和寬，從而求出每小塊菜地的面積；

每一塊地的面積是：[（16-2）+2]x[（8—2）+2]=7x3=21（平方米）

方法二：也可以求出這塊地的總面積，再減去道路的面積，然后把剩余的面積四等分

求出每小塊菜地的面積；每一塊地的面積是：

[16x8-（2xl6+8x2-2x2）]^4=（128-44）^4=21

方法三：還可以運用平移的方法，將道路移到菜地的邊沿，先求出四個小長方形組成

的長方形面積，再求出其中每一小塊菜地的面積.如圖所示：

［（16-2）x（8-2）］+4=84+4=21（平方米）

【答案】21

【例4】有10張長3厘米，寬2厘米的紙片，將它們依據(jù)下圖的樣子擺放在桌面上，那么

這10張紙片所蓋住的桌面的面積是多少平方厘米?

f曲f由

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】通過操作，一張一張的添加，可以發(fā)覺每多蓋一張，遮住的面積增加2x1平方厘米,

所以這10張紙片蓋住的面積是：3x2+2x1x9=24（平方厘米）.

【答案】24

【例5】下圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積.

2020

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】所求面積等于圖中陰影部分的面積，為（20-5+20）x8+2=140（平方厘米）.

【答案】140

【鞏固】兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直

接求出它的面積.由于三角形ABC與三角形?！晔耆嗤紲p去三南形。（9C后，

依據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部

分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積.直角梯形OEFC的上底為10-3=7（厘

米）,面積為（7+10）x2+2=17（厘米2）.

所以，陰影部分的面積是17平方厘米。

【答案】17

【例6】如圖，李大伯給一塊長方形田地噴藥，噴藥器所能噴灑的范圍是以李大伯的落腳點

為中心，邊長2米的正方形區(qū)域,他從圖中的A點動身，沿最短路線（圖中虛線）走，

走過88米到達8點，恰好把這塊田地全部噴完，這塊田地的面積是多少平方米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】從圖中可以看出，李大伯每走1米，就能噴灑（2xl=）2平方米田地，李大伯一共走了

88米，所以這塊田地的面積是2x88=176（平方米）.

【答案】176

【例7】右圖中甲的面積比乙的面積大平方厘米.

6厘米

4厘米

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯、初賽

【解析】甲的面積+白色三角形的面積=（8x6）+2=24（平方厘米），

乙的面積+白色三角形的面積=（8x4）4-2=16（平方厘米），

所以，甲的面積—乙的面積=24-16=8（平方厘米）

【答案】8

【例8】右圖中，矩形A3CD的邊他為4厘米，8C為6厘米，三角形比三角形

的面積大9平方厘米，求即的長.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】EC=（4x6-9）+6*2=5（厘米），ED=ECC=1（厘米）.

【答案】1

【鞏固】如圖所示，C4=43=4厘米，ZVIBE比的面積小2平方厘米，求的長為

多少厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】連接BC兩點，由小鉆￡比△€!)￡的面積小2平方厘米，

依據(jù)差不變原則可付2=$ACDE—S4ABE=(SMDE+^AC8E)—(^l\ABE+^ACBf)

=%"一%樹由于以ASC=4X4+2=8(平方厘米)，所以

$△88=8+2=10,所以CD=10x2+4=5(厘米)

【答案】5

【鞏固】如圖，平行四邊形ABC。種，BC^lOcm,直角三角形ECB的邊EC=8c〃?，已知陰

影部分的總面積比三角形EFG的面積大IOC/M2,求平行四邊形ABCD的面積.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

SABCD=S.AKF+COG+S梯形EBCG=S+10+S秘形fBCC

【解析】三角形面積=底x高+2.EFG

2

=5fPcRorC+10=10x84-2+10=50(era)

【答案】50

【例9】如圖，ABC。是7x4的長方形，OEFG是10x2的長方形，求-3co與_EFO的面積

差.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】2星【題型】解答

【解析】如右圖所示，我們把BCO與EFO同時補上陰影部分，則它們的差是不變的，即有:

SBCO-S.EFO=(S,BCO+S陰影)—(S.EFO+$陰影)=SBHF—SCEFH

=(4+2)x(10-7)-2-(10-7)x2=3

本題還可以依據(jù)下面添加幫助線的方法去解答，可以讓同學(xué)自己試試看.

【答案】3

【例10】有一個長方形菜園，假如把寬改成50米，長不變，那么它的面積削減680平方米，

假如使寬為60米，長不變，那么它的面積比原來增加2720平方米，原來的長和寬

各是多少米？

FT

50

160

680平方米

272（）平方米_J_

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】依據(jù)題意，可以用下圖表示增減變化的狀況，從圖中可以看出，原來長方形的長為

（2720+680）+（60—50）=340（米），寬為680*340+50=52（米）.

【答案】52

【鞏固】有一個長方形，假如寬削減2米，或長削減3米，則面積均削減24平方米，求這個

長方形的面積？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】長方形寬削減2米，面積削減24平方米.

說明長方形長：24+2=12（米）.

長方形長削減3米，面積削減24平方米.

說明長方形寬：24+3=8（米）.

所以這個長方形的面積為：12x8=96（平方米）.

【答案】96

【例11】一塊長方形鐵板，長15分米，寬12分米，假如長和寬各削減2分米，面積比原來

削減多少平方分米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）如圖，鐵板面積比原來削減的面積就是陰影部分的面積，陰影部分的面積

是用原長方形

的面積減去空白部分的面積.即：15x12-（15-2）x（12-2）=180-130=

50（平方分米）.

（方法二）也可把陰影部分分割成兩個長方形，求兩個長方形的面積.

【答案】50

【例12】一個長方形，假如長削減5厘米，寬削減2厘米，那么面積就削減66平方厘米，

這時剩下的部分恰好成為一個正方形，求原來長方形的面積？

52

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，正方形的邊長是（66-2*5）+（5+2）=8（厘米），長方形面積為8*8+66=130

（平方厘米）.

【答案】130

【鞏固】一塊長方形紙片，在長邊剪去5cm,寬邊剪去2cm后（如圖），得到的正方形面積比

原長方形面積少31cm,求原長方形紙片的面積.

_________52

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】通過對圖形進行分割，可以發(fā)覺C的長與寬分別是5cm和2cm,則它的面積是

5x2=10（cm2）,那么A+3的面積是31-10=21（cm?）,如給8移到A的旁邊，

則知正方形的邊長：（cm）,正方形的面積是3x3=9（cm2）,原長方形的面積是

31+9=40（cm2）.

【答案】40

【鞏固】一個正方形，假如把它的相鄰兩邊都增加6厘米，就可以得到一個新正方形，新正方

形的面積比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面積？

6厘刈6厘米

6厘米6厘米

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】由畫圖可知：陰影部分的面積就是120平方厘米，它可以分割成兩個相等的長方形

和一個邊長是6厘米的正方形.兩個長方形的面積和是：120-6x6=84（平方厘米），

一個長方形的面積是：84+2=42（平方厘米），長方形的長是：42+6=7（厘米），這

個長度也是原正方形的邊長，原正方形的面積是：7x7=49（平方厘米）.

【答案】49

【例13】一塊正方形的鋼板，先截去一個寬5分米的長方形，又截去一個寬8分米的長方形

（如圖），面積就比原來正方形削減181平方分米.原正方形的邊長是多少分米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】對于較簡單的幾何問題，假如題目條件之間的關(guān)系在圖形中反映的不是那么具體、明

確，而圖形結(jié)構(gòu)供應(yīng)的信息也較模糊，這時就可考慮通過對圖形進行變換——進行”

重組

對本題而言，依據(jù)圖形特征，我們把陰影部分A、3、C剪切下來，并把剪切下的三

個小長方形拼合起來，如圖所示：

這個拼接起來的

圖形就是題目中“面

積比原來正方形減少

的181平方分米”.

通過上面分析可知，這個拼合起來的長方形”A+B+C+少”的面積是（181+8x5）,

長是原來正方形的邊長，寬是（8+5）分米.

這樣就可以求出原來正方形的邊長.

①拼合起來的長方形面積為：181+8*5=181+40=221（平方分米）.

②原來正方形的邊長是：221+（8+5）=221+13=17（分米）.

這道題中”將剪下的面積拼起來”這個思想格外有用.有時剪下的幾塊外形之間差異

很大，但它們拼起來卻能形成很規(guī)章的圖形.

【答案】17

【鞏固】一張長方形紙片，先把長剪去8厘米，這時面積削減了72平方厘米，又把寬剪去5

厘米,這時面積又削減了60平方厘米,原來這張長方形紙片的面積是多少平方厘米？

長

8

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】依題意：寬=72+8=9（厘米），長-8=60+5=12（厘米），即長是：12+8=20（厘

米），因此，原來長方形紙片的面積是：20x9=180（平方厘米）.

【答案】180

【鞏固】如右圖所示，在一個正方形上先截去寬11分米的長方形，再截去寬7分米的長方形,

所得圖形的面積比原正方形削減301平方分米.原正方形的邊長是分米.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】期望杯、培訓(xùn)題

【解析】把截去的兩個長方形拼在一起，如右下圖所示，再補上長11分米、寬7分米的小長方

形，所得長方形的面積是301+11x7=378平方分米，這個長方形的長等于原正方形

的邊長，寬為11+7=18分米，所以原正方形邊長為：378+18=21分米.

【答案】21

【例14］如圖長方形被分成兩部分，已知陰影面積比空白部分面積大34平方厘米，求陰影部

分的面積.

10cm

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】(方法一)首先依據(jù)條件可求得長方形面積為：18x10=18(X0!?)

一方面，觀看圖形可知：

長方形的面積=陰影部分面積+空白部分面積=180cn?

另一方面，依據(jù)條件可知：

陰影部分的面積-空白部分面積=34cn?

所以，就可以依據(jù)“和差問題”的規(guī)律求出陰影部分的面積為：

(180+34)+2=107(cm2).

(方法二)我們還可以從另一種角度來思考，考慮條件”陰影部分面積比空白部分面積

大34平方厘米”中多出的部分.

為了把34cm2的這個條件在圖中明確地刻畫出來，我們按下圖的方式進行分割：

18cm

明顯，右圖中的陰影長方形的面積就等于34平方厘米.這樣，就把題目中的文字條

件與它在圖形中的對應(yīng)關(guān)系搞清楚了.

由此不難求出陰影長方形的寬等于：34+10=3.4(cm).

那么三角形A的底為：18—3.4=14.6(cm),所以它的面積為：14.6x10+2=73(01?)

則陰影部分的面積為：34+73=107(cm2).

【答案】107

【例15】一張長方形紙片，把它的右上角往下折疊(如圖甲)，陰影部分面積占原紙片面積

的2；再把左下角往上折疊（如圖乙），乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的

7

（答案用分?jǐn)?shù)表示）.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【解析】甲圖陰影部分面積占原紙片面積的',可以設(shè)原紙片的長為7,說明陰影長方形的

7

寬為2,原紙片的空白部分為邊長為5的正方形，即原紙片的寬為5,左下角折疊

的三角形打開為邊長2的正方形，則乙圖中陰影部分的面積為（5-2）x2=6,而原

紙片的面積為7x5=35,所以乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的9.

35

【答案】—

35

【鞏固】折疊后，原平行四邊形面積是折疊后圖形面積的1.5倍.已知陰影部分面積之和為1,

則重疊部分（即空白部分）的面積是多少？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】折疊后圖形的面積為原來圖形面積的士,所以由于重疊而消逝的面積等于原來面積

3

711

的=即右圖中空白三角形的面積為原來圖形面積的乙，所以未重疊的陰影部

333

分面積之和也等于原來圖形面積的1，即與重疊部分面積相等，所以重疊部分（即空

3

白部分）的面積是1.

【答案】1

【鞏固】如圖，一張長方形紙片，長7厘米，寬5厘米.把它的右上角往下折疊，再把左下角

往上折疊，未蓋住的陰影部分的面積是多少平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】陰影部分的寬是7—5=2（厘米），長是5-2=3（厘米），面積是2x3=6（平方厘米）.

【答案】6

【例16］如圖，大正方形的邊長為10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正

方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連，那么圖中陰影

部分的面積總和等于多少平方厘米?

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】觀看圖形，可以看出圖中小正方形中的陰影圖形與它對面的空白三角形是對稱的，利

用對稱的技巧對圖形進行變換，把分散的條件集中，把簡單的圖形轉(zhuǎn)化為簡潔的圖

形.這樣一來，發(fā)覺陰影部分的面積等于中間正方形的面積，而中間部分的面積等于

大正方形面積的一半.

也可以連結(jié)小正方形中心與頂點，發(fā)覺陰影部分的面積等于中間正方形的面積，等于

大正方形面積的一半.

所以，所求的面積為10x10+2=50（平方厘米）.

【答案】50

【例17］如圖所示，直角三角形中有一個長方形，求長方形的面積？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，由長方形的對稱性知A與8面積相等，C與。面積相等.從而陰影部分面積

與F面積相等，為6x4=24.

【答案】24

【例18】一個邊長為20厘米的正方形，依次連接四邊中點得到其次個正方形，這樣連續(xù)下

去可得到第三個、第四個、第五個正方形.求第五個正方形的面積？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】第一個正方形的面積是20x20=400（平方厘米），其次個正方形的面積如圖，實際

上是第一個正方形面積的一半.依次類推，第五個正方形的面積為：

400+2+2+2+2=25（平方厘米）.

【答案】25

【鞏固】如圖是由5個大小不同的正方形疊放而成的，假如最小的正方形（陰影部分）的周長是

8,那么最大的正方形的邊長是

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】小機靈杯、決賽

【解析】最小正方形的面積是2x2=4（平方厘米），最大的正方形的面積是4x2x2x2x2=64

（平方厘米），那么最大的正方形的邊長是8厘米.

【答案】8

【鞏固】圖中有6個正方形，較小的正方形都由較大的正方形的4邊中點連接而成.已知最大

的正方形的邊長為16厘米，那么最小的正方形的面積等于多少平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】我們先來尋求圖形面積變化的規(guī)律.觀看右圖，連接大正方形對邊中點，則把大正方

形分成了4個小正方形，每個小正方形被邊團、HG、FG、EF分成了面積相等的

三角形.由此可知：正方形EFG”的面積=正方形他CD面積+2

由此可以推出：相鄰兩個正方形，每個較小正方形的面積是較大正方形面積的一半,

因此，最小正方形的面積為：16x16+2+2+2+2+2=8（平方厘米）

【答案】8

【例19】已知圖中大正方形的面積是22平方厘米，小正方形面積是多少平方厘米?

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】圖中的小正方形旋轉(zhuǎn)為右圖：由此可見，小正方形的面積為大正方形面積的一半.

22+2=11（平方厘米）

【答案】11

【鞏固】如圖所示，外側(cè)大正方形的邊長是10cm,在里面畫兩條對角線、一個圓、兩個正方

形，陰影的總面積為26cm:最小的正方形的邊長為多少厘米？

回

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如右圖所示，把A、B、C依次放到X、y、Z的位置.

則。的面積為26-10x10+4=1(01?).

。所處的小正方形的面積為1x4=4(cm2).

故小正方形的邊長為2cm.

【答案】2

【例20］有一個邊長為16厘米的正方形，連接每邊的中點構(gòu)成其次個正方形，再連接每邊

的中點構(gòu)成第三個正方形，第四個正方形.求圖中陰影部分的面積？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如下圖左所示，S用①=4S］.

S陰①=16x16+2=128(cm。).

如下圖中所示，此時斜放的正方形面積為128cm)S=S機②.

S=S再②=1284-2=64(cm-)

如圖右所示，此時外面正方形面積為64,圖中Sr”③=64+2+2=16(cn?)

所以，圖中陰影部分總面積為：S陽②+5機③=64+16=80(cm').

【答案】80

【例21］如圖，邊長為10的正方形中有一等寬的十字，其面積(陰影部分)為36,則十字中

心的小正方形面積為.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】我愛教學(xué)夏令營

【解析】題目中的空白部分可以組成一個如右圖的正方形，正方形面積為100-36=64,右圖

中的正方形邊長為8,正中心正方形中的直角邊長為10—8=2,所以5正=224-2=2.

【答案】2

【例22】下圖大小兩個正方形有一部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積相差是多少？

（單位：厘米）

6

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】用A表示兩個正方形重合部分的面積，用3表示除重合部格外大正方形的面積，用

C表示除重合部格外小正方形的面積.據(jù)題意，要求（B-C）是多少平方厘米，即求

（8+A）—（C+A）的面積，（8+A）=6x6=36（平方厘米），C+A=3x3=9（平方厘

米），因此36-9=27（平方厘米）就是所求的兩塊沒有重合的陰影部分面積差.

【答案】27

【鞏固】如圖所示，四個相疊的正方形，邊長分別是5、7、9、11.問灰色區(qū)與黑色區(qū)的面積

的差是多少？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】武漢明心杯

【解析】灰色和白色區(qū)域形成一邊長為11的正方形和一邊長為7的正方形，它們的總面積是

II2+72=170;類似地，黑色和白色區(qū)域組成一邊長為9的正方形和一邊長為5的正

方形，它們的總面積是爐+5?=106.

由于白色區(qū)域在這兩種組合中都被計算了，依據(jù)差不變原理，可知灰色區(qū)域與黑色區(qū)

域的面積之差就等于170-106=64.

【答案】64

【例23】甲、乙、丙三個正方形，它們的邊長分別是6、8、10厘米，乙的一個頂點在甲的中

心上，丙的一個頂點在乙的中心上.這三個正方形的掩蓋面積是多少平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如右圖添加幫助線割補，假如甲的面積為4份量，則甲與乙的重合部分是1份量.同

理，假如乙的面積為4份量，則乙與丙的重合部分是1份量.

所以這三個正方形#■蓋面積是：10x10+8x8+6x6—6x6+4—8x8+4=175（平方

厘米）.

【答案】175

【鞏固】將20張邊長為10厘米的正方形紙片，按挨次一張一張地擺放在地板上，擺的時候，

要求后擺的紙片必需有一個頂點與前一張的中心重合，且每一張只與其前一張和后

一張有重合部分（右圖表示已經(jīng)擺好的5張）.地板被這20張紙片所掩蓋部分的面積

是多少？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】由例題可知每個重合部分都等于正方形紙片面積而總共有（20-D個重合部分,

所以所求面積為10x10x20-10x104-4x19=1525（平方厘米）.

【答案】1525

【例24】有2個大小不同的正方形A和如下左圖所示的那樣，在將8正方形的對角線的

交點與4正方形的一個頂點相重疊時，相重疊部分的面積為A正方形面積的1.求

9

A與8的邊長之比.假如當(dāng)按下右圖那樣，將A和3反向重疊的話，所重疊部分的

面積是8的幾分之幾？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】以8正方形為中心，將整體圖形放大后，如右上圖所示.圖中，由于A和8均為正方

形，所以可認為畫陰影的兩個三角形是以3的對角線的交點為中心轉(zhuǎn)過90。所形成

的.因此，所求的A與8所重合部分的面積，只要讓B的對角線的交點與A的一個

頂點相重合，則不管什么狀況下，該面積均為B正方形面積的L.這樣，A的面積的

4

［與3的面積的,相等，故A與B的面積之比為9:4.由于二者均為正方形，所以其

94

邊長之比為3:2.

假如A的對角線的交點與3的一個頂點相重合的話，所重合部分的面積仍為A的面

14

積的但是由于8的面積是A的面積的2，所以重合部分的面積應(yīng)為3的面積的

49

_1_!__4—__9

4,916,

9

【答案】—

16

【例25】有一個正方形水池（圖中陰影部分），在它的四周修一個寬是8米的草地，草地的面

積為480平方米，求水池的邊長？

、

->>"

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】將圖分割：這樣就得到四個面積相等的長方形.可求得長方形的長：480+4+8=15

（米）.由此求得水池的邊長：15-8=7（米）.

【答案】7

【鞏固】一塊長方形草坪（圖中陰影部分）長是寬的2倍,它的四四周的總面積是34平方米的

1米寬的小路.求草坪的面積是多少平方米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖分塊，S0=1x1=1（平方米）.

那么258+27=34-4x5“=30（平方米）.

%+Sc=15（平方米）.

由于3、C的寬都是1米.于是3的長與C的長和是15米.

又由于8的長是C的長的2倍.

所以B的長為15+3x2=10（米），C的長為15+3=5（米）.

草坪的面積是10x5=50（平方米）.

【答案】50

【例26］如圖所示，一個長方形廣場的正中心有一個長方形的水池.水池長8米、寬3米.水

池四周用邊長為1米的方磚一圈一圈地向外鋪.恰好鋪了若干圈，共用了152塊方

磚，那么共鋪了圈.

水池

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯、復(fù)賽

【解析】水池的面積是8x3=24,鋪完之后水池加上地磚的面積是176=16x11.由于每鋪一

圈都會是邊長增加2,所以鋪了8+2=4（圈）.

【答案】4

【例27】用四個相同的長方形拼成一個面積為100cm?的大正方形，每個長方形的周長是多

少平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】引導(dǎo)同學(xué)思考所求題目的關(guān)鍵是什么.本題的關(guān)鍵是找長方形的長和寬.

依據(jù)10x10=100知這個大正方形的邊長是10cm,即長加寬是10cm,

長方形的周長是：10x2=20（cm）.

【答案】20

【鞏固】如圖所示，4個相同的長方形和一個小正方形拼成一個大的正方形，大正方形的面積

是100平方分米，小正方形的面積是36平方分米，求一個小長方形的面積及周長.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】一個長方形的面積為：（100-36）+4=16（平方分米），長方形的長加寬為大正方形的

邊長，所以周長為10x2=20（分米）

【答案】20

【例28】四個完全相同的長方形拼成右圖，大正方形的面積是100平方分米，小正方形的面

積是16平方分米，求每個長方形的面積是多少？長方形的短邊是多少分米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴長方形的面積是（100-16）+4=21（平方分米）.

⑵由于100=10x10,16=4x4.所以大正方形的邊長是10分米，小正方形的邊長為

4分米，那么長方形的短邊是（10-4）+2=3（分米）.

【答案】21、3

【鞏固】如圖，4個相同的長方形和1個小正方形拼成一個大正方形，已知其中小正方形的面

積為4平方厘米，大正方形的面積為400平方厘米，則其中長方形的長為厘

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】陳省身杯

【解析】大正方形的邊長是20厘米，小正方形邊長是2厘米，所以長方形寬為Q0-2）+2=9

（厘米）,長為20-9=11（厘米）.

【答案】長11、寬9

【例29】街心花園里有一個正方形花壇，四周有一條寬1米的甬道（如圖），假如甬道的面積

是12平方米，那么中間花壇的面積是多少平方米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】把甬道的部分分成四個同樣大的長方形，每個長方形的面積是12+4=3（平方米）.由

于水泥路寬1米，所以小長方形長是3+1=3（米），而正方形花壇的邊長是小長方

形長與寬的差，即2米，中間花壇的面積是：（3-l）x（3-l）=4（平方米）.

【答案】4

【鞏固】在一個正方形的小花園四周，環(huán)圍著寬5米的水池，水池面積為300平方米，那么正

方形花園的面積是多少平方米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】要想求出花園的面積，必需知道小正方形的邊長或大正方形的面積，所以解題關(guān)鍵就

在于依據(jù)水池的面積求出小正方形邊長或大正方形的面積（或邊長）

方法一：如圖所示，水池中四個小正方形的面積為：5*5x4=100（平方米），水池

中四個長方形面積為：300-100=200（平方米）

一個長方形面積為：200+4=50（平方米），長方形的長即花園邊長為：

50+5=10（米），花園面積為：10x10=100（平方米），

綜合算式為：（300—5x5x4）+4+5=200+4+5=10（米），10x10=100

（平方米）.

方法二：將水池面積進行適當(dāng)?shù)姆指?，不難求出正方形花園的邊長.

如圖所示，將環(huán)帶形水池切割成四個面積相等的長方形，長方形的寬是5米，

長等于花園的邊長加5米，一個長方形的面積為：300+4=75（平方米），長

方形的長為75+5=15（米），花園邊長為15-5=10（米），花園面積為

10x10=100（平方米）.

【答案】100

【鞏固】有大、小兩個長方形（如圖），對應(yīng)邊的距離均為1cm,已知兩個長方形之間部分的面

積是16cm，且小長方形的長是寬的2倍，求大長方形的面積.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】由于長方形之間的部分是不規(guī)章的，所以可以進行分割，這樣分割后，A+3的面

積是16+2=8（cm?）,則知小長方形的長與寬之和是8+1—1—1=6（cm）,小長方

形的寬是6+（2+D=2（cm）,長是2x2=4（cm）,那么有大長方形的長是

6（cm）,寬是4（cm）,面積是4x6=24（cm?）.

【答案】24

【例30】已知大正方形比小正方形邊長多4厘米，大正方形面積比小正方形面積大96平方

厘米.問大、小正方形面積各是多少？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】接受分割法：圖8面積為：4x4=16（平方厘米），圖A或圖。的面積為:

（96-16）+2=40（平方厘米），圖C的邊長為：40+4=10（厘米），所以圖C的面積

為：10x10=100（平方厘米）大正方形的面積為：100+96=196（平方厘米）.

【答案】196

【鞏固】兩個正方形的面積相差9cm2,邊長相差1cm.求兩個正方形的面積和.

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】假如把這兩個正方形重合在一起，則知相差的面積是：A+B+C=9（cm2）,C=1cm2,

推知A=B=4cm2,小正方形（陰影部分）的邊長為4cm,則陰影正方形的面積是

4x4=16（cm2）,大正方形的面積是16+9=25（cnf）,面積之和是41cmL

【答案】41

【鞏固】有一大一小兩個正方形，它們的周長相差20厘米，面積相差55平方厘米.小正方

形的面積是多少平方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】小數(shù)報、決賽

【解析】大正方形的邊長比小正方形的邊長多20+4=5（厘米）.

將下圖下方的陰影部分移至右方，形成面積為55平方厘米的長方形，這長方形的長

為55+5=11（厘米），即兩個正方形邊長的和是11厘米，而大正方形的邊長=小正

方形的邊長+5厘米，所以小正方形的邊長是⑴-5）+2=3（厘米），小正方形的面積

是3x3=9（平方厘米）.

【答案】9

【例31】在一個正方形中放入一個四個頂點與大正方形相接的一個小正方形（如圖），假如兩

個正方形的周長相差16厘米，面積相差96平方厘米，求小正方形的面積是多少平

方厘米？

【考點】不規(guī)章圖形的面積【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：本題就此圖來看計算起來比較麻煩，但是我們可以把圖⑴經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后變成圖

⑵這樣我們就可以依據(jù)我們學(xué)過的學(xué)問來解決這道題了.八條虛線的長度正好是大

小兩個正方形的周長差，空白處即為兩個正方形的面積差，所以虛線長為：16+8=2

（厘米）從圖中可以看出上、下、左、右四個長方形的面積相等為：（96-2x2x4）

乂=20（平方厘米），所以小正方的邊長為：20+2=10（厘米），即小正方形的面積為：

10x10=100（平方厘米）