天津市和平區(qū)名校2022年高考仿真模擬數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列｛%｝中，若S,為前〃項和，2%=3+12,則幾的值是（）

A.156B.124C.136D.180

2.若直線），=米一2與曲線y=l+31nx相切，貝!|%=（）

1I

A.3B.-C.2D.-

32

3.已知A43C中內(nèi)角ARC所對應的邊依次為a,b,c,若2a=b+l,c=幣,C=三,則AABC的面積為（）

A.挈B.6C.3+D.2g

4.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

（a-2）x,x>2

5.已知函數(shù)/（x）=，1丫，滿足對任意的實數(shù)玉K々，都有‘C"）<0成立，則實數(shù)a的取值范

l-l-l,x<2玉一勺

圍為（）

A.（1，+°°）B.卜8，￡C,卜D.K+00）

6.如圖，圓。的半徑為1,A，B是圓上的定點，OBVOA,尸是圓上的動點，點P關于直線08的對稱點為P，

角x的始邊為射線。4,終邊為射線0P,將師-麗表示為x的函數(shù)/（x）,則y=〃x）在［（）,句上的圖像大致

為（）

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8,則框圖中①處可以填（）.

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.5>36?

8.某中學有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個容量為〃的樣本.若樣本中高中生恰有3()人，貝IJ〃的值為()

A.20B.50C.40D.60

2

9,復數(shù)4在復平面內(nèi)對應的點為(2,3)0=-2+i,則」=()

z2

10.設機，〃是兩條不同的直線。，，是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()

A.若〃2//a,則a///B.若機J_a,〃2_1_力，則〃_La

C.若機則〃_LaD.若a則加/〃？

11.已知拋物線。：、2=2胡(〃>0)的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線。交于A，5兩點(設點A位于第一象

限)，過點A，B分別作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為點A,用，拋物線C的準線交x軸于點K,若若=2,

I4KI

則直線/的斜率為

A.1B.0C.2A/2D.6

2

12.已知集合4={g％-2工一3<()},集合B={x|x-1NO},則3k(AcB)=().

A.(-<X),1)U[3,4<O)B.y/]U[3,”)

C.(-8』)U(3,+W)D.(1,3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在AA5C中，AB=4,。是A3的中點，E在邊AC上，AE=2EC,CD與BE交于息O,若OB=叵OC,

則4ABC面積的最大值為.

冗

14.已知AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.。=4,b=娓,A=§則cos2B=.

3y+2x-l>0

15.平面區(qū)域y+4x—740的外接圓的方程是.

y-x-2<0

16.如圖，在體積為V的圓柱9。2中，以線段上的點。為項點，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為匕，

匕，則鋁全的值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱柱AOF-BCE中，平面ABC。，平面/WER,側面ABCD為平行四邊形，側面他瓦■為

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,M為ED的中點.

(1)求證：FB//平面ACM；

(2)求二面角M—AC-廠的大小.

18.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶

降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：°C)有關.如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過30()瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的

所有可能值，并估計y大于零的概率.

19.(12分)已知三棱錐尸-ABC(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形A3CZ)為邊長等于血的正方形，^ABE

和△8CF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

圖一圖二

(1)證明：平面平面ABC；

(2)若點M在棱以上運動，當直線BM與平面E1C所成的角最大時，求直線K4與平面M8C所成角的正弦值.

20.(12分)古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀，建設書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計

學生一周課外讀書的時間，從全校學生中隨機抽取“名學生進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位：h)

的數(shù)據(jù)如下：

一周課外

合

讀書時間(0,2](2,4](4，可(6網(wǎng)(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

計

/h

頻數(shù)4610121424a4634n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(D根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求“，P,〃的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).

(2)如果讀書時間按(0,6],(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從〃名學生中抽取20人.

①求每層應抽取的人數(shù)；

②若從(0,6],(6/2]中抽出的學生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.

21.(12分)在直角坐標平面中，已知AABC的頂點A(—2,0),5(2,0),C為平面內(nèi)的動點，且sinAsin8+3cosC=0.

<1)求動點C的軌跡Q的方程；

(2)設過點尸(1,0)且不垂直于x軸的直線/與。交于P,R兩點,點P關于x軸的對稱點為S,證明：直線RS過x

軸上的定點.

22.(10分)在平面直角坐標系直力中，以。為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程

X=-2H-----1

2

為夕=2sine+2acos0(a>0)；直線/的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),直線/與曲線C分別交于M,N

6

y

2

兩點.

(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線/的普通方程;

(2)若點P的極坐標為(2,萬)，\PM\+\PN\=5y/2,求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

因為%+41=2。9=61+12,可得%=12,根據(jù)等差數(shù)列前”項和，即可求得答案.

【詳解】

?.?％+4]=2%=4]+12,

a?=12,

兀13%=13x12=156.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前〃項和，解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前〃項和公式，考查了分析能力和計

算能力，屬于基礎題.

2.A

【解析】

3,3

設切點為(朝，3)-2),對y=l+3ku求導，得到了=巳，從而得到切線的斜率4=一，結合直線方程的點斜式化簡

x/

得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結果.

【詳解】

設切點為（工，區(qū)0-2）,

3—=女①，

vy=-,.-Jx0

kx0-2=l+31nx（）②,

由①得線=3,

代入②得l+31n/=l,

則%=1,k=3,

故選A.

【點睛】

該題考查的是有關直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單

題目.

3.A

【解析】

由余弦定理可得片+/一〃。=7,結合2a=。+1可得a,b,再利用面積公式計算即可.

【詳解】

=a1+h2-ahfa=2

由余弦定理，得7=/+從—2abcosC=a2+〃_ab，由＜,解得。,

I2a=h+\\o=3

而廠百

Mc1163

所以,'MBC~5absinC=—x2x3x---=———?

故選：A.

【點睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.

4.A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結果S的值.

【詳解】

i=lW8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2W8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=—1+(—1)2x22=3,i=2+l=3；

32

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán),S=3+(—1)x3=—6,z=3+1=4；

i=4?8成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，S=-6+(-1)4X42=10,i=4+l=5；

i=5W8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，5=10+(-1)5X52=-15,i=5+l=6；

i=6<8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，S=-15+(-1)6X62=21,i=6+l=7；

i=7W8成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，S=21+(-1)7X72=-28,i=7+l=8；

i=8W8成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，S=-28+(-1)8X82=36,i=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等

題.

5.B

【解析】

、2

]_

由題意可知函數(shù)y=/(x)為R上為減函數(shù)，可知函數(shù)y=(a—2)x為減函數(shù)，且2(a—2)4-1,由此可解得實

27

數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

a-2<0

,13

由題意知函數(shù)y=/(x)是R上的減函數(shù)，于是有＜l-f解得心京,

2(a-2)<I

因此，實數(shù)。的取值范圍是1一應￡

故選：B.

【點睛】

本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關系,

考查運算求解能力，屬于中等題.

6.B

【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當x=0時，P與A重合，則P與B重合，

所以"-珂=|麗|=2,故排除C,D選項；

當0<x4時，戶—麗|=|尸/|=24嗚—x)=2cosx,由圖象可知選B.

故選：B

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.

7.C

【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結果，直到輸出結果是8時.

【詳解】

第一次循環(huán)：S=O,i=l

第二次循環(huán)：S=l,i=2

第三次循環(huán)：S=3"=3

第四次循環(huán)：S=6,i=4

第五次循環(huán)：5=10,/=5

第六次循環(huán)：S=15,i=6

第七次循環(huán)：S=21,1=7

第八次循環(huán)：S=28,1=8

所以框圖中①處填S228?時，滿足輸出的值為8.

故選：C

【點睛】

此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結果即可解決，屬于簡單題目.

8.B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x--------------,解得“=50.

1500+1000

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.

9.B

【解析】

z.

求得復數(shù)4,結合復數(shù)除法運算，求得」的值.

Z2

【詳解】

z.2+3z(2+3z)(-2-z)(2+3z)(-2-z)-1-8/8.

易知4=2+3"則叫W=(一2+i)(-2二)=-5——z

555

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數(shù)及其坐標的對應，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.

10.C

【解析】

在A中，a與￡相交或平行；在B中，〃//a或〃ua；在c中，由線面垂直的判定定理得〃_La；在D中，加與

少平行或加u〃.

【詳解】

設以〃是兩條不同的直線，/小是兩個不同的平面，貝!J：

在A中，巖ml/a,mlIp,則a與4相交或平行，故A錯誤；

在B中，若mX.nt則凡//a或〃ua,故B錯誤；

在C中，若m//n,則由線面垂直的判定定理得〃_Le,故C正確；

在D中，若mla,則優(yōu)與/平行或機（=尸，故D錯誤.

故選C.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得

IAEHA4J,\BF\=\BBt\,

又M//FK〃叫所以理=四』，W1M1=1MI=2,

11

入m614Kl\BF\\BBX\

設|BB,|=m(m>0),貝!]|AA|=2m,貝!jcosAAFx=cosZBAA,=L14J_=4?_—=L

|AB\1""2m+m3

所以疝4&=迪，所以直線/的斜率％=tanZAFx=2后.故選C.

3

12.A

【解析】

算出集合A、8及再求補集即可.

【詳解】

由d-2x-3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={x|xNl},

所以AcB={x[l?x<3},故"(Ac3)={尤[x<l或xN3}.

故選：A.

【點睛】

本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.872

【解析】

先根據(jù)點共線得到OC=OD,從而得到。的軌跡為阿氏圓，結合三角形ABC和三角形30。的面積關系可求.

【詳解】

——一.2—A.—?32—■A—

設CO=/IC￡)=—C4+—C6==C￡+—CB

2222

344i

B,o,E共線，則于+：=i,解得2=5,從而。為co中點，故OB=6OC=EOD.

在△80。中，BD=2,OB=COD,易知。的軌跡為阿氏圓，其半徑r=2血，

故SAABC=4sAg。。<2BD-r=80.

故答案為：872.

【點睛】

本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】

利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【詳解】

4V6

由正弦定理得正一sin6,

T

.?3>/218_7

..sinB=---fcos2B—1—29x—.

86416

7

故答案為：—.

16

【點睛】

本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.

2211912c

15.x+y----x——y----=0

55-5

【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域為三角形，求出三角形的三個頂點坐標，設三角形的外接圓方程為

22

x+y+Dx+Ey+F=0,將三角形三個頂點坐標代入圓的一般方程，求出。、E、尸的值，即可得出所求圓的方程.

【詳解】

3y+2x-l>0

作出不等式組y+4x-740所表示的平面區(qū)域如下圖所示:

y-x-2<0

尤=]

0,解得，）「3,則點A（l，3），

同理可得點8（2,-1）、C（-l,l）,

設AMC的外接圓方程為/+卡+5+取+尸=0,

力+3E+F+10=0

11912

由題意可得'20-E+F+5=0,解得0=-一，E=--,F=――,

-D+E+F+2=Q35'

11Q17

因此，所求圓的方程為x2+y2—〈x—]y—M=o.

故答案為：x2+y2-y-x-^y-^=O.

【點睛】

本題考查三角形外接圓方程的求解，同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結合思想以

及運算求解能力，屬于中等題.

1

16.-

3

【解析】

根據(jù)圓柱QQ的體積為V,以及圓錐的體積公式，計算即得.

【詳解】

1111V4-V1

由題得，v,+K=-5oOi-00,+-5^OO2=-5^O,O2=-V,得'7上=§?

故答案為：

【點睛】

本題主要考查圓錐體的體積，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)連接BD,交AC與。，連接由MO//EB,得出結論；

(2)以A為原點，AC,AB,A尸分別為x,z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACM的法向量，利用夾角

公式求出即可.

【詳解】

(1)連接BD,交AC與。，連接M0,

在垃)FB中,MO//FB,

又E6U平面ACM,M。u平面ACM,

所以我B//平面ACM；

（2）由平面A3C￡）_L平面A8EF,ACLAB,AB為平面ABC。與平面A3￡F的交線，故AC_L平面ABE/，故

AFA.AC,又AFJ_/W,所以AR_L平面ABC。，

以A為原點，AC,AB,Ab分別為x,>,二軸建立空間直角坐標系，

A（0,0,0）,C（4,0,0）,3（0,2,0）,D（4,-2,0）,F（0,0,2）,M（2,-l,l）,

設平面4cM的法向量為而=（x,y,z）,而=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

in-AC=4x=0

由1---,得石=（0,1,1）,

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量為麗=（0,1,0）,

由cos（A8,,

故二面角M-AC-F的大小為45°.

【點睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

34

18.（1）—.（2）—.

55

【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出

六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.

（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500,求出￥=900元；當溫度在［20,25）℃時，需求量為300,求出丫=

300元；當溫度低于20℃時，需求量為200,求出丫=-100元，從而當溫度大于等于20時，7>0,由此能估計估

計y大于零的概率.

【詳解】

解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,

根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：°C）有關.

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶，

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

543

...六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率？=盂=j.

(2)當溫度大于等于25℃時，需求量為500,

￥=450x2=900元，

當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,

y=300x2-(450-300)x2=300元，

當溫度低于20℃時，需求量為200,

y=400-(450-200)X2=-100元，

當溫度大于等于20時，y>o,

由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當溫度大于等于2(rc的天數(shù)有：

90-(2+16)=72,

???估計Y大于零的概率尸=蕓72=g4.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎知識，考查推理論證能力、運

算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

19.(1)見解析(2)2叵

11

【解析】

(1)設AC的中點為。，連接8O,PO.由展開圖可知===AO=BO=CO=1.。為AC的

中點，則有POAC,根據(jù)勾股定理可證得POA.OB,

則PO_L平面4BC,即可證得平面PAC，平面ABC.

(2)由線面成角的定義可知ABMO是直線BM與平面PAC所成的角，

RC1

且tanNBMO=ZBMO最大即為OM最短時，即M是Q4的中點

OMOM

|加同

建立空間直角坐標系，求出AM與平面MBC的法向量m利用公式sin6=即可求得結果.

\AM\\m\

【詳解】

(1)設AC的中點為O,連接BO,PO.

由題意，得PA=PB=PC=PO=1,AO=BO=CO^1.

??,在AR4c中，PA=PC,O為AC的中點，:.PO±AC,

?.在APOB中，PO=1,OB=1,PB=y/2>PO2+OB2=PB2，：.PO±OB.

-.?ACC\OB=O,AC,03u平面，.?.PO,平面ABC,

?.?POu平面PAC,二平面B4C_L平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BO1AC,80J_平面PAC,

ZBMO是直線BM與平面PAC所成的角,

BO1

且tanZ.BMO

~0M~~0M

???當OM最短時，即M是PA的中點時，NBMO最大.

由PO_L平面ABC,OBA.AC,

:.POVOB,PO±OC,

于是以OC,OB,OD所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標系,

(1

則0(0,0,0),C(1,0,0),8(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),M--,0,-,

I22)

BC=(1,-1,O),PC=(1,O,-1),MC=IAM=f11,O,1|L

22

設平面MBC的法向量為m=（玉，y,zj,直線MA與平面MBC所成角為8,

m-BC-0W

則由，

m-MC-03%一4二0

令玉=1,得％=1,z,=3,即汾=(1,1,3).

.八\AM-m\22V22

esm9=--------=?=-------

則\AM\\m\J7而11?

直線MA與平面MBC所成角的正弦值為其H.

11

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，考查線面成角問題，借助空間向量是解決線面成角問題的關鍵，難度一般.

20.(1)71=200,a=50,P=Q.23,中位數(shù)13.2h；⑵①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13；②好

21

【解析】

4

(D根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得〃===20(),得到a=50,p=0.23,再結合中位數(shù)的計算方法，

0.02

即可求解.

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；

②由①知，設(0,6］內(nèi)被抽取的學生分別為x,y,(6,12］內(nèi)被抽取的學生分別為a,0,c,d,e,利用列舉法得到基本事件

的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.

【詳解】

446

(1)由題意，可得〃=——=200,所以a=0.25x2(X)=50,p=——=0.23.

0.02200

設一周課外讀書時間的中位數(shù)為x小時，

則0.17+0.23+(14—x)xO.125=O.5,解得x=13.2,

即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為13.2小時.

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為士，

又因為(0,6］,(6,12］,(12,18］的頻數(shù)分別為20,50,130,

所以從(0,6］,(6,12］,(12,18］三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.

②由①知，在(0,6］,(6,12］兩層中共抽取7人，設(0,6］內(nèi)被抽取的學生分別為(6,12］內(nèi)被抽取的學生分別為

a,b,c,d,e,

若從這7人中隨機抽取2人，則所有情況為孫，xb9xc9xd9xe9ya9yb,

yd,ye,ab,ac,ad,ae,be,bd,be9cd,ce，de,共有21種,

其中2人不在同一層的情況為xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有10種.

設事件M為“這2人不在同一層”，

由古典概型的概率計算公式，可得概率為P(M)=W.

21

【點睛】

本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用，著重考查了分

析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.

2

Y丫2

21.(1)—+^-=1(y^O)；(2)證明見解析.

43

【解析】

yV

(1)設點。(羽》),分別用表示sinA、表示sin3和余弦定理表示cosC,將sinAsinB+3cosc=0表

IAC|InC|

示為X、丁的方程，再化簡即可；

(2)設直線方程代入。的軌跡方程，得(3>+4)V+6陽_9=0,設點P(%,y),R(Z，%)，5(%，一乂)，表示

出直線RS,取y=0,得尤=4,即可證明直線RS過x軸上的定點.

【詳解】

(1)設C(%,y),由已知sin4sin3+3cosc=0,

.V|AC|2+|BC|2-|AB|2_

?