工程制圖 點 直線和平面的投影

?工程制圖〔含CAD〕?第二章點、直線和平面的投影第二章第一節(jié)投影法的根本知識第二節(jié)點的投影第三節(jié)直線的投影第四節(jié)平面的投影第五節(jié)直線與平面、平面與平面的相對位置第二章點、直線和平面的投影200目錄學習要求：〔1〕了解中心投影的形成和平行投影的形成；〔2〕理解、掌握平行投影的根本性質；〔3〕掌握點的投影規(guī)律及作圖方法；〔4〕掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；〔5〕了解平面的表示法，理解平面內投影面平行線的作圖方法，掌握各種位置平面的投影特性、平面內點和直線的投影特性，及在平面內定點和直線的作圖方法。第一節(jié)投影法的根本知識問題提出：如何用二維平面圖反映三維空間物體？

解決要求：對應性直觀性度量性解決方法：將復雜的問題分解成簡單的問題將具體的問題抽象成幾何模型210第一節(jié)§2-1投影法的根本知識

投影法是專門為解決這類問題而提出的。第一節(jié)投影法的根本知識210

本節(jié)主要內容：一、投影法二、投影法的分類三、多面投影體系四、三視圖的形成與特點五、三視圖的繪制§2-1投影法的根本知識211投影法一、投影法

實例：物體在光的照射下就會在墻上產生影子。通過空間點A的直線L稱為投射線。通過空間任一點A的投射線與投影面的交點a為A點的投影。利用投射線使物體在指定面上產生圖象的方法就是投影法。那么：影子可以反映物體的實際形狀嗎？只能反映局部形狀只在特殊情況下反映真實尺寸可以通過投影想象實際物體形狀

結論：通過投影將三維物體轉換成二維平面物體，但還不能完全反映真實情況。問題：是否可以通過投影用二維平面反映三維物體？§2-1投影法的根本知識212分類投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）

斜角投影法二、投影法的分類投射中心S為一點投射中心S為無限遠§2-1投影法的根本知識212中心投影投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）

斜角投影法

物體位置改變，投影大小也改變問題:

在中心投影下,投影能否反映物體的真實大小?

當物體沿投影面的法線方向移動時,其投影大小變不變?

中心投影能否滿足繪制工程圖樣的要求?

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。§2-1投影法的根本知識投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法問題:

當物體沿投影面的法線方向移動時,其投影大小變不變?

物體的投影有否可能反映某一個面的實形?

正投影能否滿足繪制工程圖樣的要求?投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）

斜角投影法212平行投影答案:

投影大小與物體和投影面之間的距離無關，度量性較好。工程圖樣多數采用正投影法繪制。斜角投影法§2-1投影法的根本知識212投影特性1平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性直線上的點，投影仍在直線的投影上CBAacbEfFe§2-1投影法的根本知識212投影特性2平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性兩平行直線的投影仍相互平行acbdDACB§2-1投影法的根本知識212投影特性3平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性AC／CB＝ac／cb;AC／AB＝ac／abCBAacb

同一直線上的點分線段長度之比，等于點的投影分線段之比§2-1投影法的根本知識212投影特性4平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性物體的投影與其實物輪廓類示?！?-1投影法的根本知識212投影特性4平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性假設線段和平面圖形平行于投影面，那么其投影反映實長或實形?！?-1投影法的根本知識212投影特性5平行投影法的特性附屬性平行性定比性類似(顯實)性積聚性假設線段和平面的圖形垂直于投影面，其投影積聚為一點或一直線。§2-1投影法的根本知識213多面投影為什么要建立多面投影體系？單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小?！獩]有解決“對應性〞的問題。三、多面投影體系§2-1投影法的根本知識213有時二個投影面也不能夠完全確定物體的形狀和大小。——仍然沒有解決“對應性〞的問題?！?-1投影法的根本知識213三個投影面可以確定任何物體的形狀和大小?！鉀Q了“對應性〞的問題?！?-1投影法的根本知識214視圖形成四、三視圖的形成與特點ⅠⅡⅢⅣV——

正投影面；H——

水平投影面；V——

側面投影面；§2-1投影法的根本知識VWHx0yzy俯視主視左視214YXZO三視圖的形成V——

正投影面H——

水平投影面W——

側面投影面規(guī)定：V面保持不動，

H面向下向后繞OX軸旋轉900，

W面向右向后繞OZ軸旋轉900?！?-1投影法的根本知識X方向

作為度量物體長度的方向；Y方向

作為度量物體寬度的方向；Z方向

作為度量物體高度的方向。主視圖

——

長、高俯視圖

——

長、寬左視圖

——

高、寬高長寬長高長寬高寬OXYZVW

H

視圖的“度量性〞(視圖上物體的相對位置)214§2-1投影法的根本知識視圖的形成與特點三等關系主、俯視圖長相等且對正主、左視圖高相等且平齊俯、左視圖寬相等且對應

長對正寬相等高平齊(1)視圖的概念視圖就是將物體向投影面投射所得的圖形。214(2)視圖的形成(與投影的關系)

主視圖

——

實體的正面投影

俯視圖

——

實體的水平投影

左視圖

——

實體的側面投影(3)三視圖之間的度量對應關系長高寬寬主左俯§2-1投影法的根本知識

主視圖反映：上、下、左、右

俯視圖反映：前、后、左、右

左視圖反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右214(4)三視圖之間方位對應關系§2-1投影法的根本知識將物體自然放平，一般使主要外表與投影面平行或垂直，進而確定主視圖的投影方向。整體和局部都要符合三視圖的投影規(guī)律?？梢娸喞€用粗實線繪制，不可見的輪廓線用虛線繪制，當虛線與實線重合時畫實線。特別應注意俯、左視圖寬相等和前、前方位關系?！濉⑷晥D的繪制215§2-1投影法的根本知識XYZY1Y2Y1Y2例:由物體的立體圖畫三視圖主視圖前前215§2-1投影法的根本知識虛線要畫123要注意寬相等215§2-1投影法的根本知識第二節(jié)點的投影220第二節(jié)§2-2

點的投影

本節(jié)主要內容：一、點在三投影面中的投影表示法及投影規(guī)律二、兩點的相對位置與重影點

221點的投影Pb

●●AP采用多面投影

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。

點在一個投影面上的投影a

●

解決辦法？一、點在三投影面中的投影表示法及投影規(guī)律1.為什么要使用三個視圖？§2-2

點的投影221A點的水平投影——aA點的垂直投影——a

點在兩投影面體系中的投影兩投影面體系的建立ⅠⅡⅢⅣ點在兩投影面體系中的投影HVOXaAZYXa

§2-2

點的投影(1)點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸;(2)點的正面投影到OX軸的距離反映該點到H面的距離；點的水平投影到OX軸的距離反映該點到V面的距離。點的投影到相應投影軸的距離，反映空間點到相應投影面的距離。點在兩投影面體系中的投影規(guī)律221

在Z方向的位置？§2-2

點的投影HWV投影面正面投影面(簡稱正面或V面)水平投影面(簡稱水平面或H面)側面投影面(簡稱側面或W面)投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y2212.點在三投影面中的投影表示法三個投影面互相垂直§2-2

點的投影WHVoXa

●a●a

●A●ZY221空間點A在三投影面上的投影

空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a

——

點A的正面投影a

——

點A的水平投影a

——

點A的側面投影§2-2

點的投影WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動aaZaa

yayaXYYO

●●az●x221投影面展開§2-2

點的投影2213.點在三投影面中的投影規(guī)律aaZaa

yayaXYYO

●●az●xAa＝a

ax＝a

ay＝z，A到H面的距離Aa

＝aax＝a

az＝y，A到V面的距離Aa

＝a

ay＝a

az＝x，A到W面的距離a

a⊥OX軸，同時反映X坐標a

a

⊥OZ軸，同時反映Z坐標aay＝a

az，

同時反映Y坐標，●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY§2-2

點的投影

水平投影a反映A點X和Y的坐標；正面投影a

反映A點X和Z的坐標；側面投影a"反映A點Y和Z的坐標。yxzOAVHWa'aa"XZY221點的三面投影和坐標的關系§2-2

點的投影●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用分規(guī)直接量取a

az=aaxa

●221例點的兩個投影，求第三投影。§2-2

點的投影221特殊位置點§2-2

點的投影b’bcc’e’e’’c’’eb’’zxYW

YH0dd’d’’221例例：點的兩投影，求其第三投影?！?-1投影法的根本知識點的投影規(guī)律一點的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點的一個投影到某投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。221小結小結：aaZaa

yayaXYYO

●●az●xAa＝a

ax＝a

ay＝z，A到H面的距離Aa

＝aax＝a

az＝y，A到V面的距離Aa

＝a

ay＝a

az＝x，A到W面的距離

a

a⊥OX軸，同時反映X坐標a

a

⊥OZ軸，同時反映Z坐標aay＝a

az，

同時反映Y坐標，§2-1投影法的根本知識點的投影與直角坐標的關系假設把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸當作直角坐標軸，那么點的空間位置可用其〔X、Y、Z〕三個坐標來確定，點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。點的一個投影反映了點

的兩個坐標。點的兩個

投影，那么點的X、Y、Z三個

坐標就可確定，即空間點是

唯一確定的。因此一個

點的任意兩個投影即可求出

其第三投影。221小結小結：aaZaa

yayaXYYO

●●az●x§2-1投影法的根本知識各種位置點的投影空間點

點的X、Y、Z三個坐標均不為零，其三個投影都不在投影軸上。投影面上的點

點的某一個坐標為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分

別在投影軸上。投影軸上的點

點的兩

個坐標為零，其兩個投影與

所在投影軸重合，另一個投

影在原點上。與原點重合的點

點的

三個坐標為零，三個投影都

與原點重合。221小結小結：§2-1投影法的根本知識

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：x

坐標大的在左y坐標大的在前z坐標大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZ222兩點位置二、兩點的相對位置與重影點B點在A點之前、之右、之下。1.兩點的相對位置§2-1投影法的根本知識a

a

aXZYWYHOb

bb

985例題：A點在B點之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A點的投影。222例§2-1投影法的根本知識兩點的相對位置兩點的相對位置是根據兩點相對于投影面的距離遠近〔或坐標大小〕來確定的。X坐標值大的點在左；Y坐標值大的點在前；Z坐標值大的點在上。根據一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。222小結小結：§2-1投影法的根本知識空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，那么稱此兩點為該投影面的重影點。A、B為H面的重影點被擋住的投影加()A、B為哪個投影面的重影點呢？●●●●●a

a

b

b

a（b）2.重影點222§2-1投影法的根本知識重影點及可見性判別假設兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，那么這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。重影點在三對坐標值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。222小結小結：§2-1投影法的根本知識230第三節(jié)§2-3

直線的投影第三節(jié)直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。本節(jié)主要內容：一、各種位置直線的投影特性二、直線與點的相對位置三、平行、相交和交叉兩直線的投影四、一邊平行于投影面的直角的投影231直線投影直線對一個投影面的投影特性直線投影的根本特性：一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點

積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長顯實性

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

類似性ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aa

a

b

b

b●●●●●●一、各種位置直線的投影特性§2-3

直線的投影投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線〔平行于Ｖ面〕側平線〔平行于Ｗ面〕水平線〔平行于Ｈ面〕正垂線〔垂直于Ｖ面〕側垂線〔垂直于Ｗ面〕鉛垂線〔垂直于Ｈ面〕一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面231直線位置

直線在三個投影面中的位置§2-3

直線的投影1、投影面平行線水平線正平線側平線231平行§2-3

直線的投影b

a

aba

b

b

aa

b

ba

水平線側平線正平線γ與H面的夾角α；與V面的角β；與W面的夾角γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

231平行投影特性：①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。

投影面平行線的特性§2-3

直線的投影2、投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線231垂直§2-3

直線的投影鉛垂線正垂線側垂線●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)231垂直投影特性：①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。②另兩個投影，反映線段實長，且垂直于相應的投影軸。

投影面垂直線的特性§2-3

直線的投影3、一般位置直線231一般位置§2-3

直線的投影abb

a

b

a

231一般位置投影特性：三個投影都縮短。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。

一般位置直線的特性

如何求得直線實長及與三個投影面夾角的實大？§2-3

直線的投影

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO(1)求直線的實長及對水平投影面的夾角

角

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab231求線長〔附加內容〕§2-3

直線的投影ABbb

aa

CXO(2)求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

231求線長〔附加內容〕§2-3

直線的投影XZYO(3)求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbb

a

b

aa

ZXa

aaOYHYWbbb

|XA-XB||XA-XB|

231求線長〔附加內容〕§2-3

直線的投影|XA-XB|a例圖示投影中線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

ab

a

b

|yA-yB|ABAB|zA-zB|b

Xa

bAB231例§2-3

直線的投影ab232直線與點二、直線與點的相對位置直線與點的相對位置有二種：點在直線上，或不在直線上。點在直線上的情況：§2-3

直線的投影◆假設點在直線上,那么點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=ac/cb◆假設點的投影有一個不在直線的同名投影上，那么該點必不在此直線上。ABCVHbcc

b

a

a定比定理232點在直線上的判別方法：§2-3

直線的投影1.附屬性假設點在直線上，那么點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷點是否在直線上。2.定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即:

AC:CB＝ac:cb＝ac:cb＝ac:cb直線上的點具有兩個特性：ABCVHbcc

b

a

a232§2-3

直線的投影點C不在直線AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●點C在直線AB上232例例1：判斷點C是否在線段AB上。§2-3

直線的投影a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法?232例例2：判斷點K是否在線段AB上。？？？？§2-3

直線的投影b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV232例例3：點C在線段AB上，求點C的正面投影。§2-3

直線的投影bb

Xa

aBCcLABzA-zBc

ab232例例4：線段AB的投影，試定出屬于線段AB上點C的投影，使BC的實長等于長度L?！?-3

直線的投影平行相交交叉垂直相交三、平行、相交和交叉兩直線的投影233直線位置§2-3

直線的投影(1)兩直線平行aVHc

bcdABCDb

d

a

233平行空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。投影特性：空間兩直線平行，那么其各同名投影必相互平行，反之亦然?！?-3

直線的投影abcdc

a

b

d

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①233例§2-3

直線的投影b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側面投影如何判斷？233例§2-3

直線的投影HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

判別方法：假設空間兩直線相交，那么其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點233相交(2)兩直線相交§2-3

直線的投影●●cabb

a

c

d

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影233例§2-3

直線的投影d

b

a

abcdc’1

(2

)3(4)★同名投影可能相交，但“交點〞不符合空間一個點的投影規(guī)律?！铩敖稽c〞是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。12●●3

4

●●兩直線相交嗎？為什么？233交叉(3)兩直線交叉投影特性：§2-3

直線的投影例

判斷兩直線的相對位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1233例不作側視圖，如何判斷？定比定理§2-3

直線的投影判斷兩直線重影點的可見性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。233可見性§2-3

直線的投影例

判斷兩直線重影點的可見性b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)233例§2-3

直線的投影直角的投影特性：假設直角有一邊平行于投影面，那么它在該投影面上的投影仍為直角。設:直角邊BC∥H面因:BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以:

BC⊥ABba平面即:∠abc為直角因此:

bc⊥ab故:

bc⊥ABba平面又因:

BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：233垂直相交四、一邊平行于投影面的直角的投影§2-3

直線的投影

直線在H面上的投影互相垂直d

abca

b

c

●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.233例§2-3

直線的投影eee'e'c'c'例直線AB的兩面投影和C點的水平投影，試過C點作一條直線CE垂直于AB，求直線CE的兩面投影。

cbab'a'OX233例§2-3

直線的投影有無其它解？有多個解！f例過點E作線段AB、CD的公垂線EF。f

Ocb

a

abXc

d

de

e233例§2-3

直線的投影230小結0點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。定比定理。直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。本節(jié)重點§2-3

直線的投影一、各種位置直線的投影特性1.一般位置直線

三個投影與各投影軸都傾斜，三個投影都縮短。⒉投影面平行線

在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。

⒊投影面垂直線

在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。230小結1§2-3

直線的投影二、直線上的點1.點的投影在直線的同名投影上；

⒉點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比

——定比定理。230小結2§2-3

直線的投影230小結3三、兩直線的相對位置1.平行

同名投影互相平行。⒉相交

同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。⒊交叉〔異面〕

同名投影可能相交，但“交點〞不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c〞是兩直線上一對重影點的投影?！?-3

直線的投影四、相互垂直的兩直線的投影特性1.兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。

⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。230小結4直角定理§2-3

直線的投影240第四節(jié)§2-4

平面的投影第四節(jié)平面的投影本節(jié)主要內容：一、平面的表示法二、各種位置平面的投影三、在平面內作直線和點四、圓和多邊形的投影●●●●●●abca

b

c

不在同一直線

上的三個點●●●●●●abca

b

c

直線及

線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行

直線abca

b

c

●●●●●●兩相交

直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形如何才能夠確定一個平面？一、平面的表示法

用幾何元素表示平面不在一條直線上的三個點一條直線和線外的一個點相交二直線平行二直線平面圖形……241平面表示§2-4

平面的投影VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ241

用軌跡線表示平面軌跡線——

平面與投影面的交線§2-4

平面的投影平行垂直傾斜投影特性平面平行投影面

——

投影就把實形現平面垂直投影面

——

投影積聚成直線平面傾斜投影面

——

投影類似原平面顯實性類似性積聚性1.平面對一個投影面的投影特性二、各種位置平面的投影242平面投影§2-4

平面的投影平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側垂面

鉛垂面

正平面

側平面

水平面2422.平面在三投影面體系中的投影特性§2-4

平面的投影〔1〕投影面的垂直面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?42垂直面§2-4

平面的投影VWHPPH投影特性：

1.abc積聚為一條線

2.a

b

c

、

a

b

c

為

ABC的類似形

3.abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實大小ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

鉛垂面242鉛垂面§2-4

平面的投影242積聚性鉛垂面類示性類示性§2-4

平面的投影VWHQQV

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B242正垂面正垂面投影特性：

1.a

b

c

積聚為一條線

2.abc、a

b

c

為ABC的類似形

3.a

b

c

與OX、OY的夾角反映α、

角的真實大小§2-4

平面的投影VWHSWSCa

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

側垂面投影特性：

1.a

b

c

積聚為一條線

2.abc、a

b

c

為

ABC的類似形

3.a

b

c

與OX、OY的夾角反映α、β角的真實大小242側垂面§2-4

平面的投影abca

c

b

c

b

a

類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？242特性類似性§2-4

平面的投影水平面正平面?zhèn)绕矫妗?〕投影面的平行面242平行面§2-4

平面的投影242水平面?zhèn)绕矫嬲矫妗?-4

平面的投影VWHCABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

242水平水平面投影特性：

1.a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性;2.水平投影abc反映

ABC實形?！?-4

平面的投影242水平面實形積聚性積聚性§2-4

平面的投影VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA242正平投影特性：

1.abc、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性;2.正平面投影a

b

c

反映

ABC實形。正平面§2-4

平面的投影VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

242側平投影特性：

1.

abc、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性;2.側平面投影a

b

c

反映

ABC實形。側平面§2-4

平面的投影242側平面實形積聚性積聚性§2-4

平面的投影a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性水平面242特性投影特性：它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。是什么位置的平面？為什么？§2-4

平面的投影〔3〕一般位置平面242一般位置§2-4

平面的投影a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB242特性投影特性：

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形;2.不反映

、

、

的真實角度

。一般位置平面§2-4

平面的投影判斷直線在平面內的方法定理一若一直線過平面內的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面內的一點，且平行于該平面內的另一直線，則此直線在該平面內。1.平面內作直線三、在平面內作直線和點243平面內作點線§2-4

平面的投影243直線過平面內兩點

直線過平面內的一點，且平行于該平面上的另一直線§2-4

平面的投影平面內作直線abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二根據定理二根據定理一有無數解。243例例：平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。有多少解？§2-4

平面的投影n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？243例例：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm?！?-4

平面的投影243平面取點2.平面內取點§2-4

平面的投影

先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。首先面上取線例1：K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解243例1§2-4

平面的投影例2：ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

243例2

不屬于！§2-4

平面的投影bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例3：AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二243例3§2-4

平面的投影243例4a′d′e′g′f′h′1′c′2′b′defc1ag2hb例4：求作平面梯形ABCD上的梯形EFGH的水平投影。§2-4

平面的投影

一般位置平面內存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。2433.在平面內作投影面平行線水平線側平線正平線§2-4

平面的投影243§2-4

平面的投影a

b

c

bac例1：ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。m

n

nm243例1§2-4

平面的投影243例2例2：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm、在點A之前20mm處?！?-4

平面的投影a

b

c

abc15mm20mmkk′有無其他

解題方法？243例2例2：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm、在點A之前20mm處?！?-4

平面的投影a

b

c

abc15mm20mmkk′四、圓和多邊形的投影1.圓的投影244圓投影1圓的投影特性：⑴圓平面在所平行投影面上的投影反映實形；顯實性

⑵

圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長度等于圓的直徑；集聚性§2-4

平面的投影圓的投影244圓投影2圓的投影特性：⑶圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長軸是圓的平行于這個投影面的直徑的投影；短軸是圓的與上述直徑垂直的直徑的投影；類似性集聚性§2-4

平面的投影2.多邊形的投影244多邊形投影

多邊形投影是由一些點和線構成的，因此，求作多邊形的投影圖就是應用點、直線和平面的投影特性以及在平面內作點和作直線的方法作圖。§2-4

平面的投影250第五節(jié)第五節(jié)直線與平面、平面與平面的相對位置

由于工程中的形體都是由點。直線和平面圍成的，就必然存在直線與平面、平面與平面的相對位置問題。即它們之間的平行、相交和垂直等關系，也就是通常所講的線、面關系問題。本節(jié)主要內容：一、平行問題二、相交問題三、垂直平行§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面平行平面與平面平行包括1.直線與平面平行定理

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。251平行一、平行問題§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置n

●●a

c

b

m

abcmn有無數解有多少解？251例1例1：過M點作直線MN平行于平面ABC?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

251例2例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置fg

f

gb

a

abc

e

d

edc∵平面CDE內沒有平行于AB的直線∴直線AB不平行于定平面CDE251例3例3：試判斷直線AB是否平行于定平面CDE?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置①假設一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，那么這兩平面相互平行。②假設兩平面為同一投影面的垂直面，且具有積聚性的那組投影相互平行，那么這兩平面相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef251面面平行2.兩平面平行§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

251例1例1：試判斷兩平面是否平行?！連N∥ER，

AM∥DS∴兩平面平行§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k251例2例2：平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于平面?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：

(1)求直線與平面的交點。

(2)判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。252相交二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交包括1.直線與平面相交§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置252垂直面(1)平面為特殊位置直線與投影面垂直面(鉛垂面)相交§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置abcmnc

n

b

a

m

空間及投影分析①求交點②判別可見性還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●252例例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。252鉛垂線投影面垂直線(鉛垂線)與投影面相交(2)直線為特殊位置§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置km(n)b●m

n

c

b

a

ac空間及投影分析①求交點②判別可見性k

●作圖用面上取點法252例例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的

水平投影也積聚在該點上。平面ABC的空間位置：

AC在前，所以K點至AC局部平面可見，直線KN不可見。

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：⑴求兩平面的交線方法：①確定兩平面的兩個共有點。②確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。⑵判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：

判別可見性。252面面相交1.兩平面相交§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？252例(1)兩平面均為特殊位置例：求兩平面的交線MN并判別可見性?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置b

c

f

h

a

e

abcefh空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點B在上，點B至交線局部可見；點B的對面為另一平面可見，自身不可見。作圖m●n

●n●m

●(2)一個平面為特殊位置——投影面平行面252例例：求兩平面的交線MN并判別可見性?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置c

d

e

f

a

b

abcdef投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不位于ΔDEF這個圖形內。所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n

●m

●k●m●k

●252例(3)一個平面為特殊位置——投影面垂直面例：求兩平面的交線MN并判別可見性?！?-5

直線與平面、平面與平面的相對位置假設直線垂直于平面上的任意兩條相交直線，那么該直線垂直于平面內的所有直線，即垂直于平面。在此只討論直線與投影面垂直面的交點及投影作圖問題。252垂直三、垂直問題直線與平面垂直平面與平面垂直包括1.直線與平面垂直§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置253直面垂直投影特性假設直線垂直于平面，那么直線的正面投影垂直于這個平面上的正平線的正面投影；直線的水平投影垂直于這個平面上的水平線的水平投影，直線的側面投影垂直于這個平面上的側平線的側面投影。

利用直線與平

面垂直的作圖可解

決點到平面、點到

直線、平面到平面

及直線到直線間的

距離問題。直線與投影面垂直面垂直§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置253兩面垂直2.平面與平面垂直

兩平面垂直的幾何條件是：一個平面上有一條直線垂直于另一平面。

只討論兩垂直面都與某一投影面垂直時的情況。兩鉛垂面互相垂直§2-5

直線與平面、平面與平面的相對位置

小結重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內的兩組相

交直線對應平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是兩者的共有

點或共有線。解題思路：★空間及投影分析

目的是找