復(fù)合函數(shù)的零根探究

復(fù)合函數(shù)的零根探究例1.已知函數(shù)

f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x))+1的零根個(gè)數(shù)。例2.已知函數(shù)y=（k≠0）,若函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4，則k的取值范圍為例3.已知定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對(duì)任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為例4.已知函數(shù)f(x)=x+-2，如果關(guān)于x的方程f(||)+t()=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求t的范圍。例5．已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意m，n∈R都滿足f(mf(m)+f(n))=+n，若關(guān)于x的方程|f(f(x))-3|=1-(a>0，a≠1)恰有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍。例6。已知函數(shù)y=f(x)是定義域R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，若關(guān)于x的方程式[f(x)]2+af(x)+=0，a,b∈R有且僅有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是例7.(2015年南通二模第19題第三問）設(shè)，函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．8。設(shè)定義在R上的函數(shù)＝若關(guān)于x的方程＋＋c＝0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，則＋＋＝．復(fù)合函數(shù)的零根探究對(duì)于函數(shù)y=f(x)與y=g(x)稱函數(shù)y=f(g(x))為函數(shù)y=f(x)對(duì)y=g(x)的復(fù)合函數(shù),可以看作由函數(shù)y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成，對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。復(fù)合函數(shù)和零點(diǎn)都是高中函數(shù)的重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容一直是學(xué)生難以理解和難以掌握的內(nèi)容，下面就復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題作一探究。已知函數(shù)

f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x))+1的零根個(gè)數(shù)。分析一：函數(shù)y=f(x)為分段函數(shù)，用分段方法求出y=f(f(x))的表達(dá)式，進(jìn)而求解。解法一：(1)當(dāng)x0時(shí)f(x)=x+1,y=f(f(x))+1=f(x+1)+1,①當(dāng)x+1≤0即x≤－1時(shí)y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以＝－2；②當(dāng)x+1>0即-1<x≤0時(shí)，y=f(x+1)+1＝+1＝0，所以＝。110xy圖（1）-1（2）當(dāng)x>0時(shí)f(x)=,y=f(f(x))+1=f()+1,①當(dāng)0即0＜x≤1時(shí)y=f()+1=+2=0,所以＝；②當(dāng)＞0即x>1時(shí)y=f()+1=+1=0,所以。綜上所述函數(shù)y=f(f(x))+1的零根有4個(gè)。110xy圖（1）-1分析二：可以作出y=f(x)圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法解決此問題。解法二：作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖（1）所示由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1，由圖象知：f(x)=-1時(shí)x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=結(jié)合圖象知各有兩個(gè)解，綜上所述函數(shù)y=f(f(x))+1的零根有4個(gè)。1k0x圖（2）-1y1k0x圖（2）-1y的取值范圍為分析：由于本題為填空題，可采用圖象法解決。解：（1）先畫出k>0時(shí)y=f(x)的圖象，如圖（2）所示，①若，其中，當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸，，且，所以方程有2個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸，，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根，從而方程有3個(gè)不同的實(shí)根；②若，其中，由①知，方程有3個(gè)不同的實(shí)根；③若，當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸，，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸，，且，，14分記，則故為上增函數(shù)，且，，所以有唯一解，不妨記為，且，若，即，方程有0個(gè)實(shí)根；若，即，方程有1個(gè)實(shí)根；若，即，方程有2個(gè)實(shí)根，所以，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)