直線的點(diǎn)斜式方程

【課題：】直線的點(diǎn)斜式方程

【教學(xué)目的：】

知識(shí)目標(biāo)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已

知直線上一點(diǎn)和直線的斜率或已知

直線上兩點(diǎn)，會(huì)求直線的方程;

給出直線的點(diǎn)斜式方程，

能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過

的定點(diǎn)

陵向3斜月截標(biāo)占方：通程過的直過線渡的，點(diǎn)訓(xùn)斜練學(xué)式生方由程

一般到特殊的處理問題方法;

通過直線的方程特征觀察直

線的位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)

形結(jié)合能力.

德育目標(biāo)：通過直線方程的幾

種形式培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)意識(shí)?

【教學(xué)重點(diǎn)：】由于斜截式方程

是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，教學(xué)

重點(diǎn)應(yīng)放在

推導(dǎo)直線的斜截式方程

上?實(shí)質(zhì)上它也是整個(gè)直線方程

理論

的基礎(chǔ)。

【教學(xué)難點(diǎn)：】在推導(dǎo)出直線的

點(diǎn)斜式方程后，說明得到的就是

直線的方程，

即直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都

是方程的解；反過來，以這個(gè)方

程

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線

上.

【授課類型：】新授課

【課時(shí)安排：】1課時(shí)

【教具：1

【教學(xué)過程：】

iC復(fù)習(xí)引入:

iC講解新課:

(1)點(diǎn)斜式

點(diǎn)P1（X1，y）直線是確定的，也

就是可求的，怎樣求直線1的方程

（圖1-24）?

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線1上小同十

Pi(X],yj的任意一■點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過

兩點(diǎn)的斜率公式得

r-H

即y-yi二k(X-xJ(2)

程(2),因此，點(diǎn)Pi不在方程(1)表

示的圖形上而在方程(2)表示的圖

形上，方程(1)不能稱作直線1的

方程.

/IJ|，/7—PL1_|H<Jp-7

明以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都

在直線1上，所以這個(gè)方程就是過

點(diǎn)P「斜率為k的直線1的方

程.（實(shí)質(zhì)上是證明了直線的方程

與方程的直線的關(guān)系）

這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和直線

的斜望確定的，叫做直線方程的

點(diǎn)斜式.

注：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)（圖1.

25）,k=0,直線的方程是y=y「

直線的斜率不存在，它的方程不

能用點(diǎn)斜式表示.但因1上每一點(diǎn)

的橫坐標(biāo)都等于X1，所以它的方

程是x二x「

已知直線1在y軸上的截距為b,斜

率為b,求直線的方程.

\rJ7'll------1Q—I1-J-l-I---IA^^4—

一點(diǎn)(0,b)及直線的斜率k,求直

線的方程，是點(diǎn)斜式方程的特殊

情況，代入點(diǎn)斜式方程可得：

也就是y=kx+b

—P-MI1/I1-1-?I1^^I—115I/I

程.為什么叫斜截式方程？因?yàn)?/p>

它是由直線的斜率和它在y軸上

的截距確定的.

-------1/

的表小形式，這樣一1次函數(shù)中k

和b的幾何意義就是分別表示直

線的斜率和在y軸上的截距.

中有十分重要的運(yùn)用，但上述兩

種直線方程的形式都要求有斜率,

故運(yùn)用它們時(shí)往往要先對(duì)斜率的

存在與否進(jìn)行討論，而這正是最

容易錯(cuò)的地方。

典型范例

錯(cuò)例剖析

4、課后作業(yè):

5、能力提高:

?￡?已知直線y=kx+b(kWO)經(jīng)過點(diǎn)(』)，求證直

線不可能經(jīng)過兩個(gè)

有理點(diǎn)_（所謂的有理點(diǎn)即橫縱坐

標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）

6、高考鏈結(jié):

【板書設(shè)計(jì)：】

【課后反思：】

【課題：】直線的兩點(diǎn)式方程

磔

玲

r-

P2(X2,y2),(x^x2),直線的位置

是確定的，也就是直線的方程是

可求的，請(qǐng)同學(xué)們求直線1的方

程.

當(dāng)丫1制2時(shí)，為了便于記憶，我

們把方程改寫成

這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的,

故叫做直線的兩點(diǎn)式方程.

HI—IA^^41I—Q_17'FPd|IU

（X1=X2或丫產(chǎn)丫2）時(shí)，可直接寫出方

程；（2）要記住兩點(diǎn)式方程，只要

記住左邊就行了，右邊可由左邊

見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律

完全一樣.

ird

試用兩點(diǎn)式求方程:

已知直線1在x軸和y軸上的截距分

別是a和b(a/),b^O),求直線1的

方程.

線的方程問題,由學(xué)生自己完

成

解：因?yàn)橹本€1過A(a,0)和B(0,

b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩

點(diǎn)式，得

也就是

學(xué)生也可能用先求斜率，然后用

點(diǎn)斜式方程求得截距式.

這個(gè)方程是由直線在X軸和y軸上

的截距確定的，叫做直線方程的

截距式.

程；(2)將直線的方程化為截距式

后，可以觀察出直線在x軸和y軸

上的截星巨，這一點(diǎn)常被用來作圖;

(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線

不能用截距式表示即如果有一個(gè)

的截距為零則不能用截距式.

典型范例

錯(cuò)例剖析

4、課后作業(yè):

5、能力提高:

⑴已知直線過點(diǎn)P(3,4)且與

x,y軸的正半軸相交于A、B,求

使AAOB面積最小時(shí)的直線方程。

6、高考鏈結(jié):

【板書設(shè)計(jì)：】

【課后反思：】

【課題：】直線的一般式方程

【教學(xué)目的：】

知識(shí)目標(biāo)：掌握直線方程的一

般形式及其運(yùn)用

）。八/q1-1-VI?JI1/7/—L/、/J、7

進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的對(duì)應(yīng)概念；通

過對(duì)幾個(gè)典型例題的研究，培養(yǎng)

學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、簡化運(yùn)算的

能力.

WLLPI<I_Iz，7|一，7r|1▲Iy

幾種形式的特點(diǎn)的分析，培養(yǎng)學(xué)

生看問題一分為二的辯證唯物主

義觀點(diǎn).

ATI、IQ八、、孑71=—'I—IA

線有一定的局限性，只有直線的

一般式能表示所有的直線，教學(xué)

中要講清直線與二元一次方程的

對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【教學(xué)難點(diǎn)：】

【授課類型：】新授課

【課時(shí)安排：】1課時(shí)

【教具：1

【教學(xué)過程：】

一工復(fù)習(xí)引入：

―17rFH|7HI—IA^^49—79UI

能表示與坐標(biāo)軸平行的直線，又

不能表示過原點(diǎn)的直線.與X軸

垂直的直線可表示成X=Xo，與X軸

平行的直線可表示成y=yo。它們

都是二元一次方程.

我”問：直線的方程都可以寫成

二元一次方程嗎？反過來，二元

7訴你禮程都表示直線嗎？

JI<，，口z|—―I—L/7——>~*'17'/Q、I/~丁

一條直線都有傾斜角a.當(dāng)

(#90°時(shí)，直線有斜率，方程可

寫成下面的形式：y=kx+b

當(dāng)a=90°時(shí)，它的方程可以寫成

X=x0的形式.

看成是二元一次方程.這樣，對(duì)

于每一條直線都可以求得它的一

個(gè)二元一次方程，就是說，直線

的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一

次方程.

反過來，對(duì)十X、y的一次方程的

一般形式Ax+By+C=O其中A、B

不同時(shí)為零.

(1)當(dāng)B，0時(shí)，方程(1)可化為即為

直線的斜截式方程

(2)當(dāng)BHW，由十A、B不同時(shí)可

零，必有A#),方程可化為它

表示一條與y軸平行的直線?

這樣，我們乂有：關(guān)十X和y的一

次方程都表示一條直線.我們把

方程寫為：Ax+By+C=O

這個(gè)方程（其中A、B不全為零）叫

做直線方程的一般式?

引導(dǎo)學(xué)生思考：直線與二元一次

方程的對(duì)應(yīng)是什么樣的對(duì)應(yīng)？

直線與二元一次方程是一對(duì)多的,

同一條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次

方程是同解方程.

注：如果求解直線的方程沒有特

別說明要寫成一般式。

典型范例

解：直線的點(diǎn)斜式是

化成一般式得

?

0

H

3

I—

"

E

+

x寸

把常數(shù)次移到等號(hào)右邊，再把方

程兩邊都除以12,就得到截距式

IJIF，7

般式也是不唯一的，因?yàn)榉匠痰?/p>

兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)后得到

的方程與原方程同解，一般方程

可作為最終結(jié)果保留，但須化為

各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù)；

⑶直線方程的斜截式與截距式如

果存在的話是唯一的，如無特別

要求，可作為最終結(jié)果保留.

例2把直線1的方程x-2y+6=0化

成斜截式，求出直線1的科率和在

x軸與y軸上的截距，并畫圖.

解：將原方程移項(xiàng)，得2y=x+6,

兩邊除以2得斜截式：

4

II

根據(jù)直線過點(diǎn)A(-6,0)、B(0,3),

在平面內(nèi)作出這兩點(diǎn)連直線就是

所要作的圖形(圖1-28).

I—IA^^47々、I—IA^^4.Qk-L-l/、/QrQ，］L

它上面的一點(diǎn)確定，也可由直線

上的兩點(diǎn)確定，利用前一點(diǎn)作圖

比較麻煩，通常我們是找出直線

在兩軸上的截距，然后在兩軸上

找出相應(yīng)的點(diǎn)連線.

例3證明：三點(diǎn)A(l,3)、B(5,

7)、C(10,12)在同一條直線上.

證法一直線AB的方程是:

化簡得y=x+2.

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程,

等式成立.

???A、B、C三點(diǎn)共線.

所以A、B、C三點(diǎn)共線.

VIABI+IBCI=IACb

???A、C、C三點(diǎn)共線.

講解本例題可開拓學(xué)生思路，培

養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的

能力.

例4直線x+2y-10=0與過A(1，

3)、B(5,2)的直線相交于C,

所成的