2024屆河北省衡中清大教育集團(tuán)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆河北省衡中清大教育集團(tuán)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在R上的偶函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升4．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．5．已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．6．若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B． C． D．7．下列命題:①在一個(gè)列聯(lián)表中,由計(jì)算得,則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)②若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)是③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則④若正數(shù)滿足，則的最小值為其中正確命題的序號(hào)為()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④8．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則()A． B． C． D．10．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．11．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如，）.對(duì)于給定的，定義，.若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是（），則的最小值是（）A． B． C． D．12．設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，且，則的最大值為_________．14．已知直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；15．某地球儀上北緯緯線長度為，則該地球儀的體積為_______.16．現(xiàn)在“微信搶紅包”異常火爆．在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若所發(fā)紅包的總金額9元，被隨機(jī)分配為元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于5元的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求:工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線是否會(huì)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值，并求定點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積.22．（10分）已知函數(shù)(為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出，得到，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及余弦函數(shù)單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，即，即，所以，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.2、D【解題分析】

試題分析：由，，可知3、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【題目詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問題，列不等式組求解.5、B【解題分析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.6、A【解題分析】由函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上為單調(diào)遞減，排除B,C,D又因?yàn)閥＝loga|x|為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確.故選A.7、B【解題分析】

根據(jù)可知①正確；代入可求得，利用展開式通項(xiàng)，可知時(shí)，為含的項(xiàng)，代入可求得系數(shù)為，②錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知③正確；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正確.【題目詳解】①，則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)，①正確；②令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：則其展開式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時(shí)，可得系數(shù)為：，②錯(cuò)誤；③由正態(tài)分布可知其正態(tài)分布曲線對(duì)稱軸為，③正確；④，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），④正確.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假性的判斷，涉及到獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和與指定項(xiàng)系數(shù)的求解、正態(tài)分布曲線的應(yīng)用、利用基本不等式求解和的最小值問題.8、D【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值即可．【題目詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問題等價(jià)于時(shí)，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，故而，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.9、D【解題分析】,解得，即，，所以，故選D.10、D【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，因此，的展開式中的系數(shù)為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是充分利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、B【解題分析】

先根據(jù)的定義化簡的表達(dá)式為,再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在兩段上的值域,結(jié)合已知條件列不等式即可解得.【題目詳解】①當(dāng)時(shí)，.在上是減函數(shù)，；②當(dāng)時(shí)，.在上是減函數(shù)，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)的值域,屬于中檔題.12、C【解題分析】因?yàn)椤鳛殇J角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?；由，即，所以，令，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域?yàn)椋蔬xC點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯(cuò)點(diǎn)是限制角的取值范圍.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以．所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于?？碱}.14、【解題分析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角。【題目詳解】直線的一個(gè)法向量，則直線的一個(gè)方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。15、【解題分析】

地球儀上北緯緯線的周長為，可求緯線圈的半徑，然后求出地球儀的半徑，再求體積．【題目詳解】作地球儀的軸截面，如圖所示：因?yàn)榈厍騼x上北緯緯線的周長為，所以，因?yàn)椋裕缘厍騼x的半徑，所以地球儀的體積，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題地球儀為背景本質(zhì)考查線面位置關(guān)系和球的體積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

分析：基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出其中甲、乙二人搶到的金額之和不低于元的情況種數(shù)，能求出甲、乙二人搶到的金額之和不低于元的概率.詳解：所發(fā)紅包的總金額為元，被隨機(jī)分配為元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人搶，每人只能搶一次，基本事件總數(shù)，其中甲、乙二人搶到的金額之和不低于元的情況有，種，甲、乙二人搶到的金額之和不低于元的概率，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于簡單題.在解古典概型概率題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，從而可得結(jié)果；（2）在內(nèi)有極大值和極小值，等價(jià)于在內(nèi)有兩不等實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列不等式求解即可.詳解：，（1）∵在處取得極值，∴，∴，∴，∴，令，則，∴，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵在內(nèi)有極大值和極小值，∴在內(nèi)有兩不等實(shí)根，對(duì)稱軸，∴，即，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見解法有兩個(gè)：一是對(duì)于未知量為不做限制的題型可以直接運(yùn)用判別式解答（本題屬于這種類型）；二是未知量在區(qū)間上的題型，一般采取列不等式組（主要考慮判別式、對(duì)稱軸、的符號(hào)）的方法解答.18、見解析【解題分析】分析：先求P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900)，再求工期延誤天數(shù)Y的均值與方差.詳解：由已知條件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列為:Y02610P0.30.40.20.1于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題解題的關(guān)鍵是求出P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900).19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）中點(diǎn)為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接和，如圖所示，在中，，為中點(diǎn)，所以，又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以；因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以，即二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面垂直的判定、由線面垂直求線線垂直和利用空間向量求二面角，考查學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）由拋物線的定義知得值即可求解（