江蘇省百校大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

江蘇省百校大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)導(dǎo)數(shù)是()A． B． C． D．2．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象大致是（）A． B．C． D．3．如圖，已知函數(shù)，則它在區(qū)間上的圖象大致為（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．或5．下列命題是真命題的是（）A．，B．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是6．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．87．某校派出5名老師去?？谑腥袑W(xué)進(jìn)行教學(xué)交流活動(dòng)，每所中學(xué)至少派一名教師，則不同的分配方案有（）A．80種 B．90種 C．120種 D．150種8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過(guò)程中，由到時(shí)，不等式的左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)9．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4×100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙?，我就不跑第一棒.老師聽(tīng)了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)順序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或11．雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為（）A． B． C． D．12．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，某個(gè)大小為銳角的二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為和，則該二面角的大小為_(kāi)_______（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．14．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．15．己知，集合中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.16．甲、乙兩位射擊愛(ài)好者在某次射擊比賽中各射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,則射擊更穩(wěn)定的愛(ài)好者成績(jī)的方差為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.（1）求證：四棱錐為陽(yáng)馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請(qǐng)寫(xiě)出各個(gè)面的直角（要求寫(xiě)出結(jié)論）.（2）若，當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.18．（12分）已知，R，矩陣的兩個(gè)特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．19．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）若，，求的面積；（2）求的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.21．（12分）已知在中，，，.（1）求邊的長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且的面積為，求.22．（10分）已知，，求及的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)即可．【題目詳解】，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

首先求得導(dǎo)函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可排除，再根據(jù)，可排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可排除又當(dāng)時(shí)，，可排除本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】此題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，考查對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性和特殊位置的符號(hào)來(lái)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，屬于中檔題．3、D【解題分析】

首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A，根據(jù)排除B，再根據(jù)時(shí)，，故排除C，即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故排除A.，故排除B.當(dāng)時(shí)，，故排除C.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)函數(shù)圖象選取解析式，熟練掌握函數(shù)的奇偶性和利用函數(shù)的特值檢驗(yàn)為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、B【解題分析】分析：根據(jù)角的范圍利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos（α）的值，再根據(jù)sinα=sin[（α）+]，利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．詳解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題關(guān)鍵根據(jù)角的取值范圍對(duì)cos（）的值進(jìn)行取舍，屬于中檔題．5、B【解題分析】

取特殊值來(lái)判斷A選項(xiàng)中命題的正誤，取特殊數(shù)列來(lái)判斷B選項(xiàng)中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關(guān)系來(lái)判斷C選項(xiàng)命題的正誤，取特殊向量來(lái)說(shuō)明D選項(xiàng)中命題的正誤．【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項(xiàng)中的命題正確；對(duì)于C選項(xiàng)，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但與不一定垂直，所以，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤．故選B.6、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計(jì)算出最值與取最值時(shí)的x值?！绢}目詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即【題目點(diǎn)撥】在使用均值不等式時(shí)需注意“一正二定三相等”缺一不可。7、D【解題分析】

不同的分配方案有(C8、C【解題分析】解：n=k時(shí)，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時(shí)，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C9、C【解題分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．【題目詳解】由題意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．故跑第三棒的是丙．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查推理論證，考查簡(jiǎn)單的合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、分析判斷能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】試題分析：設(shè)，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義11、B【解題分析】

根據(jù)漸近線得到，得到離心率.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，則，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、B【解題分析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)銳二面角的大小為，利用空間向量法求出的值，從而可求出的值.【題目詳解】設(shè)銳二面角的大小為，則，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量法計(jì)算二面角，同時(shí)也考查了反三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】依題意可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上且．因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以，則，所以，解得，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為15、【解題分析】

首先分析出集合里面必有元素1，再討論集合為，，三種情況討論，求的取值范圍.【題目詳解】，，所以集合里的元素一定有1，集合有3個(gè)元素，當(dāng)集合是時(shí)，有，集合是空集；當(dāng)集合是時(shí)，有，解得：；當(dāng)集合是時(shí)，有，集合是空集；綜上：的取值范圍是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)集合的元素個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，意在考查分類，轉(zhuǎn)化，和計(jì)算求解能力，屬于中檔題型.16、2【解題分析】

分別計(jì)算出甲，乙的方差，較小的更加穩(wěn)定，故為答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，，同理，，故更穩(wěn)定的為乙，方差為2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查統(tǒng)計(jì)量方差的計(jì)算，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；是，，，，；（2）.【解題分析】

（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，推導(dǎo)出，，從而B(niǎo)C⊥平面，由此能證明四棱錐為陽(yáng)馬，四面體是否為鱉臑;（2）陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積：陽(yáng)馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，二面角的余弦值．【題目詳解】證明：（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱錐為陽(yáng)馬，四面體為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是，，，.（2），由（1）知陽(yáng)馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，二面角的平面角為，則，當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征的運(yùn)用，直線與平面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，二面角的向量求法，關(guān)鍵在于熟練掌握空間的線面、面面關(guān)系，二面角的向量求解方法，屬于中檔題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【題目詳解】解：（1）設(shè)矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，則，則．（2）因，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理和利用，得到，最后求面積；（2）由已知可得，所以，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形，得到，根據(jù)角的范圍求函數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：（1）在中，∵，∴，∵，，由正弦定理得：，∴，∴，，∴．（2）.∵，∴.∴，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等變換求函數(shù)的最值，第一問(wèn)也可利用余弦定理求邊，利用求面積.20、(1)見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)二次方程=0根得情況分類討論：當(dāng)時(shí)，.∴在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩根大小再分類討論對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間，(2)先化簡(jiǎn)不等式消m得，再利用導(dǎo)數(shù)研究，單調(diào)性，得其最小值大于-1，即證得結(jié)果.詳解：（1）由，得，.設(shè)，.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，.∴在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得，，.當(dāng)時(shí)，，在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，∴由（1）知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，此時(shí)，，要證明，只要證明.∵，∴只要證明成立.∵，∴.設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且時(shí)，.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.21、（1）3；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形內(nèi)角和定理，將轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)已知條件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的長(zhǎng).（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【題目詳解】解：（1