上海市上海市三林中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

上海市上海市三林中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．根據(jù)下表樣本數(shù)據(jù)689101265432用最小二乘法求得線性回歸方程為則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為A．6.5 B．7 C．7.5 D．82．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．4．在方程（為參數(shù)）所表示的曲線上的點(diǎn)是（）A．(2,7) B． C．(1,0) D．5．三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師合影，要求每位歌手與她們的老師站一起，這六人排成一排，則不同的排法數(shù)為（）A．24 B．48 C．60 D．966．在平面直角坐標(biāo)系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．7．復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是()A．10 B．11 C．12 D．169．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A．24 B．48C．60 D．7210．若是的增函數(shù),則的取值范圍是()A． B． C． D．11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．在10個(gè)籃球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品.從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1，則函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是_____14．已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)（為半焦距）.是雙曲線的右支上的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為.則雙曲線的方程為_(kāi)____.15．在二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_______.16．若向量，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的大小為，求銳二面角的正切值.18．（12分）（1）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）用，，，，組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求滿足條件的五位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù).19．（12分）某小區(qū)所有263戶家庭人口數(shù)分組表示如下：家庭人口數(shù)12345678910家庭數(shù)20294850463619843（1）若將上述家庭人口數(shù)的263個(gè)數(shù)據(jù)分布記作，平均值記作，寫(xiě)出人口數(shù)方差的計(jì)算公式（只要計(jì)算公式，不必計(jì)算結(jié)果）；（2）寫(xiě)出他們家庭人口數(shù)的中位數(shù)（直接給出結(jié)果即可）；（3）計(jì)算家庭人口數(shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.（寫(xiě)出公式，再利用計(jì)算器計(jì)算，精確到0.01）20．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）若，，求的面積；（2）求的取值范圍．21．（12分）已知球的內(nèi)接正四棱錐,,.(1)求正四棱錐的體積；(2)求、兩點(diǎn)間的球面距離.22．（10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先根據(jù)回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中點(diǎn)求解出，然后再代入求的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，所以回歸直線方程為：，代入，則，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查依據(jù)回歸直線方程求估計(jì)值，難度較易.回歸直線方程一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心，也就是，這一點(diǎn)要注意.2、B【解題分析】當(dāng)α⊥β時(shí)，平面α內(nèi)的直線m不一定和平面β垂直，但當(dāng)直線m垂直于平面β時(shí)，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個(gè)平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．3、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性、特殊值判斷函數(shù)圖象形狀與位置即可．【題目詳解】函數(shù)y=是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A，B不正確；當(dāng)x=10時(shí)，y=＞0，圖象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，D正確；C錯(cuò)誤．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，一般利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、特殊值等方法判斷．4、D【解題分析】分析：化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，將四個(gè)點(diǎn)代入驗(yàn)證即可.詳解：方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得到將四個(gè)點(diǎn)代入驗(yàn)證只有D滿足方程.故選D.點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)分析與普通方程的互化，屬基礎(chǔ)題5、B【解題分析】

先將三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師捆綁在一起，記為三個(gè)不同元素進(jìn)行全排，再將各自女歌手和她的指導(dǎo)老師進(jìn)行全排，運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：先將三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師捆綁在一起，記為三個(gè)不同元素進(jìn)行全排，再將各自女歌手和她的指導(dǎo)老師進(jìn)行全排，則不同的排法數(shù)，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的相鄰問(wèn)題，重點(diǎn)考查了捆綁法，屬基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【題目詳解】由類(lèi)比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【題目點(diǎn)撥】平面中的定理、公式等類(lèi)比推理到空間中時(shí)，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積.類(lèi)比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時(shí)要對(duì)得到的結(jié)論證明.如本題中，可令，看是否為.7、A【解題分析】

先求得的共軛復(fù)數(shù)，由此判斷出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【題目詳解】依題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】試題分析：由題意，要組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選D.【考點(diǎn)】排列、組合【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類(lèi)和分步，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟．在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置．10、A【解題分析】

利用函數(shù)是上的增函數(shù)，保證每支都是增函數(shù)，還要使得兩支函數(shù)在分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小，即，然后列不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由于函數(shù)是的增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，即；且有，即，得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)，在求解分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：（1）確保每支函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)的單調(diào)性一致；（2）結(jié)合圖象確保各支函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系．11、B【解題分析】

由漸近線方程得出的值，結(jié)合可求得【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時(shí)要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開(kāi)來(lái)．12、A【解題分析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫(xiě)出所有的組合數(shù)計(jì)算即可.【題目詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系式解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由，可知，而的最小值為，結(jié)合離心率為2，聯(lián)立計(jì)算即可．【題目詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，則，所以，而的最小值為，所以最小值為，又，解得，于是，故雙曲線方程為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的方程，雙曲線的定義，及雙曲線的離心率，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．15、60【解題分析】

首先寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并求指定項(xiàng)的值，代入求常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，當(dāng)時(shí)，.故答案為：60【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題型.16、.【解題分析】

求出向量的坐標(biāo)后，即可求出模.【題目詳解】解：由題意知，，則.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量的模的求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）由已知條件可得是平行四邊形，從而，由已知條件能證明平面，由此能證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，求出面的一個(gè)法向量為，根據(jù)線面角可求出，在中求出，在即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則，從而，連接，則為平行四邊形，從而.∵直三棱柱中，平面，面，∴,∵，是的中點(diǎn)，∴,∵，∴面故平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由條件：不妨設(shè)，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，可取為一個(gè)法向量，過(guò)作，連，則為二面角的平面角，在中，，在中，，，則【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于中檔題.18、（1）15；（2）48.【解題分析】分析：(1）由排列組合的知識(shí)可知常數(shù)項(xiàng)為.(2）由排列組合的知識(shí)可知滿足題意的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.詳解：(1）由排列組合的知識(shí)可知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.(2）首先排列好個(gè)位，然后排列其余位數(shù)上的數(shù)字，由排列組合的知識(shí)可知滿足條件的五位數(shù)為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查排列組合與二項(xiàng)式定理知識(shí)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1）；（2）；（3）平均數(shù)4.30人，方差【解題分析】

（1）根據(jù)方差的計(jì)算公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)中位數(shù)的概念可得結(jié)果；（3）根據(jù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的公式計(jì)算即可.【題目詳解】解：（1）由方差的計(jì)算公式得：人口數(shù)方差為；（2）263戶家庭，則中位數(shù)為第戶家庭的人口數(shù)，，，所以中位數(shù)為4；（3）平均數(shù)：，標(biāo)準(zhǔn)差：【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，中位數(shù)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理和利用，得到，最后求面積；（2）由已知可得，所以，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形，得到，根據(jù)角的范圍求函數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：（1）在中，∵，∴，∵，，由正弦定理得：，∴，∴，，∴．（2）.∵，∴.∴，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等變換求函數(shù)的最值，第一問(wèn)也可利用余弦定理求邊，利用求面積.21、(1)；(2).【解題分析】

(1)設(shè)平面,利用勾股定理可以求出,最后利用棱錐的體積公式求出正四棱錐的體積；(2)利用勾股定理,先求出球的半徑,再用余弦定理可以求出的大小,最后利用球面上兩點(diǎn)間球面距離定義求出、兩點(diǎn)間的球面距離.【題目詳解】(1)設(shè)平面,如下圖所示：由四棱錐是正四棱錐,所以是底面的中心,因?yàn)槭钦叫?,所以,在中,,所以正四棱錐的體積為：；(2)由球和正四棱錐的對(duì)稱性可知：球心在高上,設(shè)球的半徑為,在中,,在中,,所以、兩點(diǎn)間的球面距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了四棱錐的體積計(jì)算,考查了球面兩點(diǎn)間的球面距離計(jì)算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明