2024屆河北省石家莊市正中實驗中學(xué)高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆河北省石家莊市正中實驗中學(xué)高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計算可得；【詳解】解：由，則，所以故選：D2．已知集合，，則滿足的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】由題知，，進而根據(jù)集合關(guān)系列舉即可得答案.【詳解】解：由題知，,所以滿足的集合有，故集合C的個數(shù)為7個.故選：B3．?dāng)?shù)列{}中，，前和為，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列通項公式求和，然后可得答案.【詳解】解：由題意得：故選：C4．已知角的始邊與軸非負半軸重合，若終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)定義可求得，由二倍角正弦公式可得結(jié)果.【詳解】角終邊過點，，，.故選：B.5．在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，是方程兩根，所以，即，在等比數(shù)列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.6．已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A選項，利用當(dāng)時，排除A選項，B選項，利用時，排除B選項，D選項，利用奇偶性排除D選項，C選項，滿足圖象要求.【詳解】A選項，，其中當(dāng)時，恒成立，故A選項錯誤；B選項，，當(dāng)時，，不合要求，B錯誤；C選項，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且為非奇非偶函數(shù)，故符合要求.D選項，，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，不合題意，D錯誤.故選：C7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（

）A．0 B． C． D．3【答案】A【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，將在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，再參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立，即求出的最小值即可得.【詳解】由題意可得，因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時，，時,,故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，但，時，，故當(dāng)0時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.故選：A.8．已知拋物線：的焦點為F，C的準(zhǔn)線與對稱軸交于點D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為∠DFA的角平分線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，然后利用，得到，進而利用，化簡，可求出的值【詳解】：，則，所以．過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，因為FB為∠DFA的平分線，則，又，所以，所以，又，所以．故選：B二、多選題9．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先將兩邊平方，結(jié)合，得出，結(jié)合得出，再計算出，即可求出和，根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，二倍角的余弦公式和正切公式，兩角的余弦公式分別計算即可判斷各選項．【詳解】由得，，則，因為，，所以，所以，由，解得，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，則，，即，解得或（舍去），故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：BC．10．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)大小的比較及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，由B知，，故D正確；故選：BCD.11．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項公式為B．為等差數(shù)列C．的取值范圍是D．?dāng)?shù)列的通項公式【答案】BCD【分析】根據(jù)題目求出的通項公式，即可判斷A、B選項的正誤；求出數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷C、D選項的正誤.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，兩式相減得：，則，所以是以首項為，公比為3的等比數(shù)列.，所以A錯；又因為，，所以是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以B對.，,，D對；，，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，故，C對.故選：BCD.12．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點(含邊界)，則下列說法中正確的是(

)A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段B．存在Q點，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點的軌跡長度為【答案】ACD【分析】A：取、中點，連接、、PF，證明平面∥平面，則點的軌跡為線段；B：以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，根據(jù)求出x、z即可判斷；C：的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時，三棱錐的體積最大；D：可求為定值，即可判斷Q的軌跡，從而求其長度.【詳解】取、中點，連接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，則點的軌跡為線段，A選項正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則即得取，則.若平面，則∥，即存在，使得，則，解得，故不存在點使得平面，B選項錯誤；的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯xd最大時，三棱錐的體積最大.，，，則當(dāng)時，d有最大值1；②，，則當(dāng)時，d有最大值；綜上，當(dāng)，即和重合時，三棱錐的體積最大，C選項正確；平面，，，，Q點的軌跡是半徑為，圓心角為的圓弧，軌跡長度為，D選項正確.故選：ACD.【點睛】本題綜合考察空間里面的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，需熟練運用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，需掌握運用空間直角坐標(biāo)系和空間向量來解決垂直問題，掌握利用空間向量求點到平面的距離，利用幾何關(guān)系判斷空間里面的動點的軌跡，考察知識點較多，計算量較大，屬于難題.三、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù).【答案】【分析】由向量垂直關(guān)系可得，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又，.故答案為：.14．若函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】由題意可得在區(qū)間上有變號零點，則可得，從而可求得a的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上有極值點，所以在區(qū)間上有變號零點．且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，解得．故答案為：．15．如圖，在梯形ABCD中，，將沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且，則三棱錐外接球的表面積是.【答案】【分析】先證明出面，作出的外心，過作，判斷出三棱錐外接球的球心必在直線上，設(shè)外接球的半徑為，利用球的性質(zhì)列方程求出，即可求出三棱錐外接球的表面積.【詳解】在梯形ABCD中，，所以梯形ABCD為等腰梯形，.因為，所以，所以，即.所以，.因為,所以，所以.又面,面,,所以面.在中，作出其外心如圖所示：所以,.過作，由球的性質(zhì)可知，三棱錐外接球的球心必在直線上.設(shè)外接球的半徑為，由球的性質(zhì)可得：，即，解得：.所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，分別過，作斜率為2的直線交C在x軸上半平面部分于P，Q兩點．記面積分別為，若，則雙曲線C的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，，面積分別為，且，由于，所以，設(shè)，由雙曲線的定義可知，由，可解得，故在三角形和三角形，分別由余弦定理得，整理得，兩式相減得.故答案為：【點睛】求解雙曲線與焦點三角形有關(guān)的問題，可結(jié)合雙曲線的定義來進行考慮.求解雙曲線的離心率，可利用直接法求得來求，也可以根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，通過化簡來求得離心率.四、解答題17．每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值；(2)為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在(12，14]，(14，16]，(16，18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人.記日平均閱讀時間在(14，16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及.【答案】(1)；(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，利用頻率分布直方圖，概率和為1求a；（2）由分層抽樣知，從閱讀時間在，，中分別抽取5，4，1人，則的可能取值為0,1,2,3，計算概率，列出分布列，計算期望【詳解】（1）由概率和為1得：，解得：；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，由分層抽樣性質(zhì)知，從閱讀時間在中抽取5人，從閱讀時間在中抽取4人，從閱讀時間在中抽取1人，從該10人中抽取3人，則的可能取值為0,1,2,3，，，，，則的分布列為0123所以18．在中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求；(2)若，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將切化弦后利用正弦定理和余弦定理進行邊角互化，即可得進而求得角；（2）利用正弦定理將角化邊，由余弦定理可得再利用不等式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由可得，由正弦定理可得，整理得，又，即可得，所以；又，所以（2）利用正弦定理由可得，即；所以的面積利用余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；解得，所以，即面積的最小值為.19．已知數(shù)列的前項和為，，且滿足(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)可得，整理變形得，結(jié)合等比數(shù)列定義即可證結(jié)論；（2）根據(jù)的關(guān)系求通項公式，進而可得，在上放縮，結(jié)合裂項求和證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，即，而，故是首項與公比都為的等比數(shù)列.（2）由（1），即，當(dāng)時，，顯然滿足上式，所以，則，則，又時，所以且，故.20．如圖，四棱錐的底面為矩形，，，點在底面上的射影在上，是的中點．(1)證明：平面(2)若，且與面所成的角的正弦值為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)證明，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理結(jié)合面面證明面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線PA的方向向量，平面PBD的法向量，由直線與平面的夾角公式求OP，再利用二面角公式求二面角的余弦值．【詳解】解：(1)在矩形中，，且是的中點，，，，，即．由題可知面面，且交線為，面．(2)：令與交于點，，且是的中點，．面面，面．取中點，連接，，因為底面為矩形，所以．設(shè)OP=a，建立如圖所示的空間直角標(biāo)系：，，，，，，，，，，0，，設(shè)面的法向量為，由，令，面的法向量為由與面所成的角的正弦值為，，設(shè)平面的法向量為，，由令設(shè)平面的法向量為，由，令，結(jié)合圖像觀察可得二面角的余弦值為21．已知橢圓C的下頂點M，右焦點為F，N為線段MF的中點，O為坐標(biāo)原點，，點F與橢圓C任意一點的距離的最小值為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若存在過點M的直線，使得點A與點B關(guān)于直線對稱，求的面積的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，再根據(jù)即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意得：的中垂線過點，聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得的中點坐標(biāo)為，從而可求的中垂線方程，代入點的坐標(biāo)得.由弦長公式求出，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，故可得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，由題意可得，又N為線段MF的中點，，所以，即.因為點F與橢圓C任意一點的距離的最小值為，所以，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意得：的中垂線過點，由，消去并化簡得，.設(shè)，則，所以，所以的中點坐標(biāo)為.因為，所以的中垂線方程為，代入點的坐標(biāo)得：，即，所以且，解得.所以，.又點到直線的距離為，所以.因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線求三角形的面積：1.設(shè)出交點的坐標(biāo)：；2.聯(lián)立方程組，根據(jù)已知，得出關(guān)于或的方程，根據(jù)韋達定理，得出兩根之和以及兩根之積；3.根據(jù)點到直線的距離公式求出；4.根據(jù)弦長公式，整理化簡得出弦長；5.代入面積公式，整理即可得出面積.22．已知，其中.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)已知是的兩個零點，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）若，求得，分和，兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意得到，要證，轉(zhuǎn)化為，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，得出，再設(shè)，求得，得到，即可求解.【詳解】（1）解：若，即，可得，①若，則，即在單調(diào)遞減；②若，令有，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)，在單調(diào)遞減；當(dāng)，