河北省保定市定州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

河北省保定市定州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知直線的傾斜角的余弦值為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．3．已知，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．4．一條光線從點(diǎn)射出，與y軸相交于點(diǎn)且被軸反射，則反射光線所在直線在x軸上的截距為（

）A． B． C． D．5．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．開普勒第一定律也稱橢圓定律，軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的個(gè)焦點(diǎn)上．將某行星H看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲，行星H在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離．若行星H的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（

）A． B． C．34 D．887．已知圓M：與圓N：有兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)A，B是橢圓C的長軸頂點(diǎn)，直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，記，分別為直線AP和直線BQ的斜率，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．直線與直線之間的距離是B．已知空間向量，，且，則實(shí)數(shù)C．已知，，若直線l：與線段AB有公共點(diǎn)，則D．與圓相切，且在x軸、y軸上的截距相等的直線有兩條10．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．11．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動點(diǎn).直線的方程為.下列說法正確的是（

）A．的蒙日圓的方程為B．對直線上任意點(diǎn)，C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為12．在棱長為2的正方體中，下列結(jié)論正確的有（

）A．若為的中點(diǎn)，則B．點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動（含邊界），若，則的最小值為C．點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動（含邊界），若，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為D．已知過點(diǎn)的平面，為的中點(diǎn)，且，若，且，則Q點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題13．已知直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為．14．已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）的軸截面是邊長為的等邊三角形，，，為底面圓周上三點(diǎn)，空間一動點(diǎn)，滿足，則的最小值為．15．某休閑廣場呈橢圓形，在該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及中心處分別安裝有三盞景觀燈A，B，C，其中燈B位于燈A的正東400m處.小王沿著該休閑廣場的邊沿散步，在散步的過程中，他與燈B的最短距離為50m.當(dāng)小王行走到點(diǎn)M處時(shí)，他與燈A，B的距離之比為，則此時(shí)他與燈C的距離為m.16．已知A，B是圓M：上不同的兩個(gè)動點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是．四、問答題17．已知三條直線：，：，：．(1)若，且過點(diǎn)，求a、b的值；(2)若，且、、三條直線能圍成三角形，求a的取值范圍．五、證明題18．如圖，在四棱錐中，底面，，底面ABCD為直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PA上，且．(1)證明：平面EBD；(2)求直線PD與平面EBD所成角的余弦值．六、問答題19．已知圓C：，．(1)證明：圓C過定點(diǎn)．(2)當(dāng)時(shí)，過作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程；(3)當(dāng)時(shí)，若直線l：與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求k的取值范圍．20．橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(2)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，且NP與x軸平行，求直線MP恒過的定點(diǎn)．七、證明題21．2023年9月23日，杭州第19屆運(yùn)動會開幕式現(xiàn)場，在AP技術(shù)加持下，寄托著古今美好心愿的燈籠升騰而起，溢滿整個(gè)大蓮花場館，融匯為點(diǎn)點(diǎn)星河流向遠(yuǎn)方，繪就了一幅萬家燈火的美好圖景．燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品，經(jīng)過數(shù)千做年的發(fā)展，燈籠也發(fā)展出了不同的地域風(fēng)格，形狀也是千姿百態(tài)，每一種燈籠都具有獨(dú)特的藝術(shù)表現(xiàn)形式．現(xiàn)將一個(gè)圓柱形的燈籠切開，如圖所示，用平面表示圓柱的軸截面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，E為母線的中點(diǎn)，已知為一條母線，且．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．八、問答題22．已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓外，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP與橢圓交于點(diǎn)Q，過Q作橢圓的切線l，切線斜率為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為k的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段AB的中點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求證：的面積為定值．參考答案：1．C【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱直接得解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C．2．A【分析】根據(jù)直線傾斜角求出直線斜率，利用斜率求.【詳解】由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線傾斜角為α，則斜率為，由，得，因此．故選：A．3．D【分析】根據(jù)空間投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以．因?yàn)?，所以，故在上的投影向量為．故選：D.4．B【分析】由入射光線和反射光線對稱求出反射光線方程，進(jìn)而求出截距.【詳解】關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線為，因?yàn)?，所以反射光線所在直線的方程為，令，解得，所以反射光線所在直線在x軸上的截距為．故選：B5．B【分析】由空間共面向量定理求解即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，共面，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)，則，此方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)x，y，使得，，共面，所以，，不共面，故B正確．對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，共面，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，共面，故D錯(cuò)誤；故選：B．6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的方程和幾何性質(zhì)，求得近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和距離之積，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由曲線的方程為橢圓，可得長半軸，則半焦距，近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是，解得，，則．故選：C7．D【分析】由題意可得圓M與N圓相交，求出圓M與N圓的圓心和半徑，由，解不等式即可得出答案.【詳解】圓M：與圓N：有兩條公切線，所以圓M與N圓相交，圓M的圓心為，半徑為，圓N的圓心為，半徑為．依題意可得，即，即，解得．故選：D8．C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合基本不等式即可求解最值.【詳解】由題意，不妨設(shè)，，不妨設(shè)，，則，所以則，，，故，同號，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為，故選：C9．BC【分析】根據(jù)兩平行線間的距離公式，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，求得的值，可判定B正確；根據(jù)直線過定點(diǎn)，再求得和，結(jié)合圖象，得出不等式，求得的范圍，可判定C正確；根據(jù)切線方程的求法，求得切線的方程，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對于A中，直線，可化為，由兩平行直線的距離，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由空間向量，，因?yàn)?，可得，解得，所以B正確；對于C中，由，可得，則直線l恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，，結(jié)合圖象，可得，所以，所以C正確；

對于D中，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，顯然切線存在斜率，設(shè)方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以直線方程為或，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，此時(shí)直線方程為，綜上所述，與圓相切，且在x軸、y軸上的截距相等的直線有四條，所以D錯(cuò)誤．故選：BC10．AC【分析】由空間向量的運(yùn)算法則和空間向量的夾角公式、模長公式、數(shù)量積的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，故A正確；因?yàn)?，，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．AD【分析】由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)恰為切點(diǎn)時(shí)，，知B錯(cuò)誤；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時(shí)，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯(cuò)誤；由題意知蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確.【詳解】對于A，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，在蒙日圓上，蒙日圓方程為：；由得：，的蒙日圓方程為：，A正確；對于B，由方程知：過，又滿足蒙日圓方程，在圓上，過，當(dāng)恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對于C，在橢圓上，，；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時(shí)，蒙日圓為矩形的外接圓，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為，則，矩形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即矩形面積的最大值為，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個(gè)選項(xiàng).12．ABD【分析】對于選項(xiàng)A，法一，先用等體積法求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)E到平面的距離，從而得到，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；法二，利用幾何法，選擇以作為底面，根據(jù)幾何關(guān)系得出平面，進(jìn)而有，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；對于B選項(xiàng)，找出動點(diǎn)在正方體底面內(nèi)的運(yùn)動軌跡，利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值求解即可；對于選項(xiàng)C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過條件得到，，從而得到，即可求解；對于選項(xiàng)D選項(xiàng)，求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求得截面圓的半徑可求點(diǎn)的軌跡長度，從而判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，（法一）平面，，在正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，得，則點(diǎn)E到平面的距離為：，而，，，，故A正確；（法二）都以作為底面，三棱錐的高即為點(diǎn)B到平面距離，三棱錐的高即為點(diǎn)到平面距離，，平面，平面，所以平面，即，得，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，連接DP，平面ABCD，則為直角三角形，又∵，∴，即點(diǎn)P在以D為圓心，DP為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡為弧，∴，故B正確；對于C選項(xiàng)，按照A選項(xiàng)的建系方法，連接AC，BD，，，則，，，，設(shè)，x，，則，，當(dāng)，有，則，此時(shí)，又∵，，設(shè)直線與直線所成角為θ，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，故C錯(cuò)誤．對于D選項(xiàng)，按照A選項(xiàng)的建系方法，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴∴Q的軌跡是以為球心，為半徑的球面，由，，則是平面α的一個(gè)法向量，又因?yàn)?，，∴球心E到平面α的距離，∴平面α截球面的截面圓的半徑為，∴Q點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：動點(diǎn)在立體幾何中的軌跡問題常轉(zhuǎn)化成平面軌跡來處理，空間角及距離常利用空間向量法來解決.13．【分析】結(jié)合題設(shè)可知直線l過定點(diǎn)，曲線為原點(diǎn)為圓心，3為半徑的上半圓，結(jié)合圖形及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由，即，所以直線l過定點(diǎn)，由，即，所以曲線為原點(diǎn)為圓心，3為半徑的上半圓，如圖所示，設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，則，由，解得，可得，要使直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則或，即k的取值范圍為.故答案為：．14．【分析】根據(jù)空間向量基本定理可判斷，，共面，又平面，所以.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，共面，又，，為底面圓周上三點(diǎn)，所以點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，由已知平面，所以，又圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，所以的最小值為，故答案為：.15．【分析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由橢圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)橢圓定義可得，，利用余弦定理結(jié)合向量運(yùn)算求解.【詳解】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為，且，由小王與燈B的最短距離為50m，得，又因?yàn)椋瑒t，由于點(diǎn)M與燈A，B的距離之比為，可設(shè)點(diǎn)M與燈A，B的距離分別為3k，2k，，由橢圓的定義可知，解得，即，，由余弦定理可得，因?yàn)镃為AB的中點(diǎn)，則，可得得，即，所以此時(shí)小王與燈C的距離為.故答案為：.

16．【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則，求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以圓M的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)圓心到直線AB的距離為d，由圓的弦長公式，可得，即，解得，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，，所以點(diǎn)N的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)N的軌跡方程為，則，又因?yàn)椋?，即，即的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則，求出點(diǎn)的軌跡為圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值問題，是解決本題的關(guān)鍵.17．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)垂直滿足的關(guān)系，結(jié)合直線經(jīng)過的點(diǎn)，即可聯(lián)立方程求解.（2）根據(jù)任意兩條直線平行不可構(gòu)成三角形，以及三條直線交于一點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，結(jié)合兩直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系，以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，：，且，所以，又直線過點(diǎn)，所以，所以，即，即，解得或所以或；（2）因?yàn)?，則：，：，①當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)為，為，為，都與相交，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)為，為，為，都與相交，不能構(gòu)成三角形；③當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)為，為，為，都與相交，不能構(gòu)成三角形；④當(dāng)，，交于一點(diǎn)時(shí)，，則由,解得所以與的交點(diǎn)，將M代入到方程得，解得；綜上所述：時(shí)，，，三條直線能圍成三角形時(shí)a的取值范圍為．18．(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接，則，連接AC，EG，則，根據(jù)相似三角形可以證得平行關(guān)系，即可證得線面平行.(2)在點(diǎn)處建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EBD的法向量，代入公式即可求得.【詳解】（1）∵底面ABCD，底面ABCD，∴，∵，，PB，平面PBD，∴平面PBD，∵平面PBD，∴，∵底面ABCD為直角梯形，，，，∴在直角三角形ABD中，，，在直角三角形CBD中，，，設(shè)，連接AC，EG，則，∴，∴又平面，平面EBD，∴平面EBD；（2）∵底面ABCD，BC，底面ABCD，∴，，∵底面ABCD為直角梯形，∴以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，，∴，設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，∴，取，則，，則平面EBD的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PD與平面EBD所成角大小為θ，，∵，∴，得，故直線PD與平面EBD所成角的余弦值為．19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）化簡圓的方程為，令，即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，得到過作圓C的兩條切線的切點(diǎn)，都在以為直徑的圓上，求得以為直徑的圓方程，結(jié)合圓與圓的公共弦方程的解法，即可求解；（3）將代入圓，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，根據(jù)以，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，得出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由圓的方程，可得，即，令，可得，解得，所以圓C過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）解：當(dāng)時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得,且，根據(jù)切線的性質(zhì)知，過作圓C的兩條切線的切點(diǎn)，都在以為直徑的圓上，設(shè)PC中點(diǎn)為D，即為圓心，因?yàn)榍?，可得，且，則以為直徑的圓方程為，即，又因?yàn)闉閳A和圓的公共弦，兩圓方程相減得直線得方程為．（3）解：當(dāng)時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，將代入，整理得，則恒成立，設(shè)，，則，，所以，整理得，解得，所以的取值范圍是.20．(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為C：，離心率為(2)【分析】（1）法一：由題意可得，解方程即可求出，可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；法二：由橢圓的定義求出，再結(jié)合求出，可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線MN方程和橢圓的方程可得，表示出直線MP方程，對稱性可知直線MP恒過的定點(diǎn)在x軸上，令，將代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）法一：由題意，可得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：，離心率為；法二：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義知，所以，又，得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：，離心率為；（2）因?yàn)橹本€MN過點(diǎn)且斜率不為0，所以設(shè)直線MN方程為，，，則，聯(lián)立，消去x得，，所以，所以，直線MP方程為，由對稱性可知直線MP恒過的定點(diǎn)在x軸上，所以令，得，且，所以，可得，直線MP恒過的定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求