江蘇省連云港市贛榆區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

江蘇省連云港市贛榆區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．7．下棋可以鍛煉腦部，促進(jìn)腦細(xì)胞新陳代謝，鍛煉腦力發(fā)育，開發(fā)智力.圍棋擁有的超大棋盤，成為狀態(tài)空間復(fù)雜度最高的棋類運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)空間復(fù)雜度上限約為，而中國(guó)象棋的狀態(tài)空間復(fù)雜度上限為，則下列各數(shù)中與最接近的是（

）A． B． C． D．8．已知對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義，設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．10．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B． C． D．211．“若對(duì)任意的都成立，則在上是增函數(shù)”為假命題，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．在上是減函數(shù) D．在上的最小值為三、填空題13．已知，則.14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．15．若不等式的一個(gè)必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、計(jì)算題17．計(jì)算下列各式的值.(1)；(2).五、作圖題18．已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域.六、問(wèn)答題19．已知命題：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，命題.(1)若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.七、證明題20．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.八、問(wèn)答題21．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn).當(dāng)矩形的寬為多少時(shí)，的面積最大？并求出這個(gè)最大值.22．設(shè)函數(shù)，其中.(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，的最大值記為，最小值記為，求的解析式.參考答案：1．B【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意知集合，故，故選：B2．D【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，則命題“”的否定是“”，故選：D.3．A【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要條件．故選：A．4．A【分析】令，求出的值，再將的值代入即可.【詳解】令，則，所以.故選：A.5．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)，判斷對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意知函數(shù)在上單調(diào)遞減，而圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D6．C【分析】根據(jù)題意，分別求得當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)，的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，.故選：C7．B【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由題意知，，所以，可得，所以.故選：B.8．D【分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以只需要考慮，若存在使得成立，則需要，分類討論的對(duì)稱軸與的位置確定最小值求解即可.【詳解】，，的函數(shù)圖象如下圖所示:

是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，所以只需要考慮，此時(shí).（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

若存在使得成立，需要，即，即，則存在使得成立，故;（2）當(dāng)時(shí)，在上是先減后增的函數(shù)，

需要，即，解得或，又，故；（3）當(dāng)時(shí)，在上是的減函數(shù)，

需要即，綜上所述，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)定義，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，故需要，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題即可.9．CD【分析】根據(jù)已知條件利用作差法可得A錯(cuò)誤，C正確，取特殊值可知B錯(cuò)誤，利用不等式性質(zhì)可得D正確.【詳解】對(duì)于A，易知，且，所以，可得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，易知，可得B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，易知，可得，即，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，即可得D正確；故選：CD10．ABC【分析】根據(jù)題意，先將集合化簡(jiǎn)，再由集合子集的定義求解，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，則或，解得或；綜上所述，或或.故選：ABC11．AD【分析】判斷每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的單調(diào)性，看其是否滿足對(duì)任意的都成立，即可判斷該選項(xiàng)是否符合題中條件，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，圖象的對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞增，在上遞減，，故滿足，但在上不是增函數(shù)，A符合；對(duì)于B，圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則在上是增函數(shù)，故對(duì)任意的都成立，且在上是增函數(shù)，故B不符合條件；對(duì)于C，，，令，則在上單調(diào)遞增，即滿足對(duì)任意的都成立，在上是增函數(shù)，C不符合條件；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，即滿足對(duì)任意的都成立，但在上不是增函數(shù)，故D符合條件，故選：AD12．AD【分析】根據(jù)賦值法即可求解AB，根據(jù)單調(diào)性的定義即可求證C，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合賦值法即可求解D.【詳解】，令，則，解得，故A正確，令，，則，因?yàn)?，解得；故B錯(cuò)誤，令，，且，則，即因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以，故，所以在上是增函數(shù)；故C錯(cuò)誤，令，則令得由于在上是增函數(shù)，故在單調(diào)遞增，故最小值為，故D正確，故選：AD13．【分析】求出集合B的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案?！驹斀狻坑深}意知，則,則，故答案為：14．(－∞，1)，(1，＋∞)【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)，設(shè)x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)閤1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)．故答案為：(－∞，1)，(1，＋∞)15．【分析】當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由絕對(duì)值的幾何意義求出不等式的解，再根據(jù)必要條件的定義得出參數(shù)滿足的條件，求得結(jié)論．【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椴坏仁降囊粋€(gè)必要條件為，所以，無(wú)解.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分析可知當(dāng)時(shí)，都有，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)解析式先求得，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性可得.【詳解】

的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，都有，因當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，其對(duì)稱軸為，故在單調(diào)遞增，令，得或（舍去）故由得，綜上可知對(duì)任意都有，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算求解；【詳解】（1）原式.（2）原式.18．(1)圖像見解析，增區(qū)間為和，減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式，直接畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到其值域.【詳解】（1）作圖函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以又因?yàn)椋C上，的值域?yàn)?19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的判別式求解即可；（2）設(shè)，，由是的充分條件可得，進(jìn)而分和兩種情況求解即可.【詳解】（1）若命題是真命題，故，即，解得，所以的取值范圍為.（2）設(shè)，，因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以.當(dāng)時(shí)，則有，解得；當(dāng)時(shí)，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．(1)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).證明：在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則因?yàn)?，所以，所以，即，故在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).（2）解：由（1）知在區(qū)間上是單調(diào)遞減，又，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．，【分析】（法一）由題意證得，則，設(shè)，則，由基本不等式求出的最大值，即可求解.（法二）由題意證得，則，設(shè)，則，在中，結(jié)合勾股定理，列出方程求得，進(jìn)而得到，表示出的面積結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：（法一）設(shè)翻折后，點(diǎn)的落點(diǎn)為，則，所以在和中，有，所以，所以，設(shè)，則，因矩形周長(zhǎng)為，所以所以，由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.此時(shí).故，所以當(dāng)矩形的寬為時(shí)，的最大值為（法二）設(shè)翻折后，點(diǎn)的落點(diǎn)為，則，所以在和中，有，所以，所以.設(shè)，則，則在中，，即，化簡(jiǎn)得：，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)矩形的寬為時(shí)，的最大值為22．(1)答案見解析(2)【分析】（1）將化為，確定的解，討論的大小關(guān)系，即可得答案；（2）分類討論，討論函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和所給定區(qū)間