2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破講義：配套熱練 特別策劃2　微切口3　體育比賽與闖關(guān)問題

微切口3體育比賽與闖關(guān)問題1．甲、乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10∶10平后，先多得2分者為勝方．在10∶10平后，雙方實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球．若在某局比賽中，甲發(fā)球時甲得分的概率為eq\f(3,5)，乙發(fā)球時甲得分的概率為eq\f(1,3)，各球的結(jié)果相互獨立，在雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，則甲以13∶11贏下此局的概率為(C)A．eq\f(4,25) B．eq\f(2,25)C．eq\f(8,75) D．eq\f(2,75)【解析】由題意，此局分兩種情況：(1)后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為eq\f(3,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,25)；(2)后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為eq\f(2,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,75)，所以所求概率為eq\f(2,25)＋eq\f(2,75)＝eq\f(8,75)．2．甲、乙、丙、丁進行足球單循環(huán)小組賽(每兩隊只進行一場比賽)，每場小組賽結(jié)果相互獨立．已知甲與乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p1＞p2＞p3＞0．記甲連勝兩場的概率為p，則(A)A．甲在第二場與乙比賽，p最大B．甲在第二場與丙比賽，p最大C．甲在第二場與丁比賽，p最大D．p與甲和乙、丙、丁的比賽次序無關(guān)【解析】因為甲連勝兩場，則第二場甲必勝，①設(shè)甲在第二場與乙比賽，且連勝兩場的概率為P1，則P1＝2(1－p2)p1p3＋2(1－p3)p1p2＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3；②設(shè)甲在第二場與丙比賽，且兩場連勝的概率為P2，則P2＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p3)p1p2＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3；③設(shè)甲在第二場與丁比賽，且兩場連勝的概率為P3，則P3＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p2)p1p3＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3．所以P1－P2＝2p3(p1－p2)＞0，P1－P3＝2p2(p1－p3)＞0，P2－P3＝2p1(p2－p3)＞0，所以P1＞P2＞P3，因此甲在第二場與乙比賽，p最大，A正確，B，C，D錯誤．3．剪刀石頭布又稱“猜丁殼”，古老而簡單，游戲規(guī)則中，石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭，三者相互制約，因此不論平局幾次，總會有決出勝負(fù)的時候．現(xiàn)A，B兩位同學(xué)各有3張卡片，以“剪刀、石頭、布”的形式進行游戲：輸方將給贏方一張卡片，平局互不給卡片，直至某人贏得所有卡片，游戲終止．若A，B一局各自贏的概率都是eq\f(1,3)，平局的概率為eq\f(1,3)，各局輸贏互不影響，則恰好5局時游戲終止的概率是(B)A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,27)C．eq\f(2,81) D．eq\f(4,81)【解析】設(shè)恰好5局時游戲終止的事件為M，輸方第5局必輸，前4局平兩局輸兩局的事件為M1，第4局必輸，前3局輸2局贏1局的事件為M2，則M＝M1＋M2，M1與M2互斥，顯然游戲終止時A可以是輸方，B也可以是輸方，于是得P(M1)＝2Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,81)，P(M2)＝2Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(2,81)，P(M)＝P(M1＋M2)＝P(M1)＋P(M2)＝eq\f(6,81)＝eq\f(2,27)，所以恰好5局時游戲終止的概率為eq\f(2,27)．4．(2023·蘇州期末)(多選)為弘揚中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊(分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”)進行單循環(huán)比賽(即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽)，最后按各隊的積分排列名次(積分多者名次靠前，積分同者名次并列)，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為eq\f(1,3)，則在比賽結(jié)束時(ACD)A．四支球隊的積分總和可能為15分B．甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為eq\f(2,35)C．可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D．丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為eq\f(8,35)【解析】四支球隊共6場比賽，例如甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平，則甲得9分，乙、丙、丁各得2分，A，C均正確；每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為eq\f(1,3)，則甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,35)，B錯誤；丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．若丙全贏eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(概率是\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2))時，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時甲乙、甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有平或輸，一平一輸，概率為Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率為eq\f(2,3)，兩場均平，概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意，兩場甲都輸，概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，乙丁這場比賽只能平，概率是eq\f(1,3)．綜上，概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\f(1,3)))＝eq\f(8,35)，D正確．5．(2023·黃石一模)(多選)乒乓球比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽選手甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結(jié)束．每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響．假設(shè)甲在任一局贏球的概率為p(0≤p≤1)，實際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為f(p)，則下列說法正確的是(ABD)A．三局就結(jié)束比賽的概率為p3＋(1－p)3B．f(p)的常數(shù)項為3C．函數(shù)f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(33,8)【解析】設(shè)實際比賽局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為3,4,5，所以P(X＝3)＝p3＋(1－p)3，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2，因此三局就結(jié)束比賽的概率為p3＋(1－p)3，則A正確；故f(p)＝3[p3＋(1－p)3]＋4[Ceq\o\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3]＋5×Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＝6p4－12p3＋3p2＋3p＋3，由f(0)＝3知常數(shù)項為3，故B正確；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝6×eq\f(1,16)－12×eq\f(1,8)＋3×eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＋3＝eq\f(33,8)，故D正確；由f′(p)＝24p3－36p2＋6p＋3＝3(2p－1)(4p2－4p－1)，因為0≤p≤1，所以4p2－4p－1＝(2p－1)2－2＜0，所以令f′(p)＞0，則0≤p＜eq\f(1,2)；令f′(p)＜0，則eq\f(1,2)＜p≤1，故函數(shù)f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，則C不正確．6．(2023·十堰調(diào)研)某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過初賽，進入決賽．決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，直到一人累計獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為eq\f(1,2)，且每局比賽相互獨立．(1)求比賽進行四局結(jié)束的概率；【解答】比賽進行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝，第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率P1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,16)，第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,16)，故比賽進行四局結(jié)束的概率P＝P1＋P2＝eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,8)．(2)求甲獲得比賽勝利的概率．【解答】設(shè)甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，丙獲勝為事件C，比賽進行三局，甲獲勝的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，比賽進行五局，有以下6種情況：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲獲勝的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×6＝eq\f(3,16)，比賽進行七局，有以下8種情況：AABCCBA，BCABCAA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCCBAAA．甲獲勝的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×8＝eq\f(1,16)，故甲獲得比賽勝利的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(3,8)．7．(2023·梅州一模)甲、乙、丙、丁四支球隊進行單循環(huán)小組賽(每兩支隊比賽一場)，比賽分三輪，每輪兩場比賽，第一輪第一場甲乙比賽，第二場丙丁比賽；第二輪第一場甲丙比賽，第二場乙丁比賽；第三輪甲對丁和乙對丙兩場比賽同一時間開賽，規(guī)定：比賽無平局，獲勝的球隊記3分，輸?shù)那蜿犛?分．三輪比賽結(jié)束后以積分多少進行排名，積分相同的隊伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊伍小組出線．假設(shè)四支球隊每場比賽獲勝概率以近10場球隊相互之間的勝場比為參考．隊伍近10場勝場比隊伍甲7∶3乙甲5∶5丙甲4∶6丁乙4∶6丙乙5∶5丁丙3∶7丁(1)三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X，求P(X＝3)；【解答】設(shè)甲的第i場比賽獲勝記為Ai(i＝1,2,3)，根據(jù)表格可知甲對乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為eq\f(7,10)，eq\f(1,2)，eq\f(4,10)，則有P(X＝3)＝P(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)＝eq\f(7,10)×eq\f(1,2)×eq\f(6,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,2)×eq\f(6,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,2)×eq\f(4,10)＝eq\f(9,25)．(2)若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四支球隊積分分別為3,3,0,6，求甲隊能小組出線的概率．【解答】分以下三種情況：(i)若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙勝丙，則甲、乙、丙、丁四個球隊積分變?yōu)?,6,0,6，此時甲、乙、丁三支球隊積分相同，要抽簽決定排名，甲抽中前兩名的概率為eq\f(2,3)，所以這種情況下，甲出線的概率為P1＝eq\f(4,10)×eq\f(4,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,75)．(ii)若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙輸丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?,3,3,6，此時甲一定出線，甲出線的概率為P2＝eq\f(4,10)×eq\f(6,10)＝eq\f(6,25)．(iii)若第三輪甲輸丁，另一場比賽乙輸丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?,3,3,9，此時甲、乙、丙三支球隊要抽簽決定排名，甲抽到第二名的概率為eq\f(1,3)，所以這種情況下，甲出線的概率為P3＝eq\f(6,10)×eq\f(6,10)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,25)．綜上，甲出線的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(8,75)＋eq\f(6,25)＋eq\f(3,25)＝eq\f(7,15)．8．學(xué)校將舉行心理健康知識競賽．第一輪選拔共設(shè)有A，B，C三個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當(dāng)答完三題，若累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局，若累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對問題A，B，C回答正確的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)求在甲同學(xué)進入下一輪的條件下，答了兩題的概率；【解答】(1)記答對A，B，C分別為事件D1，D2，D3，甲同學(xué)進入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，則P(E)＝P(D1D2＋D1eq\x\to(D2)D3＋eq\x\to(D1)D2D3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×e