2024屆遼寧省撫順德才高級中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆遼寧省撫順德才高級中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上有小于的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)至少有1個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．3．若實數(shù)x、y的取值如表，從散點圖分析，y與x線性相關，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．174．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋45．如圖，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．126．設函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．7．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．8．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．若隨機變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.810．已知實數(shù)成等差數(shù)列,且曲線取得極大值的點坐標為,則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．211．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件12．已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)且，則____．14．已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上任意一點，點的坐標為，則取最大值時，點的坐標為．15．將三項式展開，當時，得到以下等式：……觀察多項式系數(shù)之間的關系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0）之和，第k行共有2k+1個數(shù).若在的展開式中，項的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為.16．如圖，在棱長為的正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點（包括邊界），且，則的最小值為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若不等式在上有解，求的取值范圍；（2）若對任意的均成立，求的最小值.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，短軸長為1．（1）求橢圓的標準方程；（1）若圓：的切線與曲線相交于、兩點，線段的中點為，求的最大值．19．（12分）若的展開式中，第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？20．（12分）橢圓過點，離心率為，左右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的方程；（2）當?shù)拿娣e為時，求直線的方程．21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C:，直線：，直線：以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線，的極坐標方程；（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點，直線與曲線C交于O、B兩點，求△AOB的面積.22．（10分）已知復數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先對函數(shù)求導，令導函數(shù)等于0，在上有小于的極值點等價于導函數(shù)有小于0的根．【題目詳解】由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎題．2、C【解題分析】

令，則函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點，對函數(shù)求導，討論和時，函數(shù)的單調(diào)性，以及最值的情況，即可求出滿足題意的實數(shù)的取值范圍。【題目詳解】由題可得函數(shù)的定義域為；令，則，函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點；；（1）當時，則在上恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，，當時，，由零點定理可得當時，函數(shù)在有且只有一個零點，滿足題意；（2）當時，令，解得：，令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，所以要使函數(shù)至少有1個零點，則，解得：綜上所述：實數(shù)的取值范圍是：故答案選C【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)的問題，由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值是解題的關鍵，屬于中檔題。3、D【解題分析】

計算出樣本的中心點x,y，將該點的坐標代入回歸直線方程可得出【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【題目點撥】本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關的問題時，熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點x,4、A【解題分析】

根據(jù)題意，先利用定積分性質(zhì)可得，，然后利用微積分基本定理計算，利用定積分的幾何意義計算，即可求出答案?！绢}目詳解】因為，，，所以，故選A?！绢}目點撥】本題主要考查利用定積分的性質(zhì)、幾何意義以及微積分基本定理計算定積分。5、C【解題分析】

以AB,AC作為基底表示出【題目詳解】∵P，N分別是∴AP=又AP=mAB+【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運算，意在考查學生的邏輯推理能力．6、B【解題分析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因為，所以所以選B.點睛：求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.7、B【解題分析】由于,故排除選項.,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,排除選項.,排除選項,故選B.8、D【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【題目點撥】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.9、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！绢}目詳解】解：據(jù)題設分析知，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可得，所求概率，故選A.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.10、B【解題分析】由題意得，，解得由于是等差數(shù)列，所以，選B.11、D【解題分析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．12、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項.由得，即，排除B選項.由得，即，排除C，選項.由得，即，D選項正確，故選D.【題目點撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導數(shù)的概念，考查函數(shù)導數(shù)運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分別令和代入函數(shù)解析式，對比后求得的值.【題目詳解】依題意①，②，由①得，代入②得.故填-2【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)求值，考查對數(shù)運算，考查分子有理化，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解題分析】試題分析：橢圓的左焦點為，右焦點為，根據(jù)橢圓的定義，，∴，由三角形的性質(zhì)，知，當是延長線與橢圓的交點時，等號成立，故所求最大值為．考點：橢圓的定義，三角形的性質(zhì)．15、2【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知的展開式為，所以的展開式中項是由兩部分構(gòu)成的，即，所以，解得：?？键c：二項式定理及其應用。16、【解題分析】

根據(jù)題意，可知，即求的最小值.在側(cè)面內(nèi)找到滿足平面且最小的點即可.【題目詳解】由題得，取中點H，中點G，連結(jié)，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，則點F在兩平面交線直線GH上，那么的最小值是時，，則為最小值.【題目點撥】本題考查空間向量以及平面之間的位置關系，有一定的綜合性.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先求的最大值，然后通過不等式尋找的范圍．（2）由（1）知當時，,這樣可得，于是由且，得，可放大為，放縮的目的是為了和可求．因此的范圍可得．【題目詳解】（1），由定理可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.故，由題意可知，當，解得，故；當，由函數(shù)的單調(diào)性，可知在恒單調(diào)增，且恒大于零，故無解；綜上：；(2)當時，,,，且，，，，的最小值為.【題目點撥】本題考查用導數(shù)研究證明不等式，研究不等式恒成立問題．解題中一要求有較高的轉(zhuǎn)化與化歸能力，二要求有較高的運算求解能力．第（1）小題中在解不等式時還要用到分類討論的思想，第（2）小題用到放縮法，而且這里的放縮的理論根據(jù)就是由第（1）小題中函數(shù)的性質(zhì)確定的，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力在這里要求較高，本題難度較大．18、（1）；（1）【解題分析】試題分析:(1)待定系數(shù)法求橢圓方程;(1)借助韋達定理表示的最大值,利用二次函數(shù)求最值.試題解析:（I），所以,又，解得．所以橢圓的標準方程．（II）設，，，易知直線的斜率不為，則設．因為與圓相切，則，即；由消去，得，則，，，，即，，設，則，，當時等號成立，所以的最大值等于．19、【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)二項式定理可知，展開式中的每一項系數(shù)即為二項式系數(shù)，所以第二項系數(shù)為，第三項系數(shù)為，第四項系數(shù)為，由第二、三、四項系數(shù)成等差數(shù)列可有：，即，整理得：，解得：，因此，；（2）的展開式中的通項公式為，展開式中的常數(shù)項即，所以，與不符，所以展開式中不存在常數(shù)項。本題主要考查二項式定理展開式及通項公式。屬于基本公式的考查，要求學生準確掌握公式，并能熟練運用公式解題。試題解析：（1）由，得：；化簡得：，解得：，因此，（2）由，當時，，所以此展開式中不存在常數(shù)項．考點：1．二項式定理；2．等差中項。20、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）由已知條件推導出，由此能求出橢圓C的方程．

（2）由（1）知F1（-1，0），①當l的傾斜角是時，,不合題意；當l的傾斜角不是時，設l的方程為，由消去y得：，設A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韋達定理能求出直線l的方程．【題目詳解】（1）橢圓過點離心率為又,解得橢圓C的方程.（2）由（1）知，①當l的傾斜角是時，l的方程為，交點，此時,不合題意；②當l的傾斜角不是時，設l的斜率為k,則其直線方程為，由消去y得：，設，則，，又已知,解得，故直線l的方程為，即或．【題目點撥】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和函數(shù)與方程思想的合理運用．21、（1）：，：.（2）【解題分析】分析：（1）直接根據(jù)圓的參數(shù)方程求出曲線C的參數(shù)方程，利用極坐標公式求出直線，的極坐標方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面積公式求的面積.詳解：（1）依題意，曲線：，故曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），因為直線：，直線：，故，的極坐標方程為：，：.（2）易知曲線的極坐標方程為，把代入，得，所以.把代入，得，所以.所以.點睛：（1）本題主要考查直角坐標方程、參數(shù)方程和極坐標的互化，考查極坐標的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)第2問，化成直角坐標也可以解答，但是利用極坐標解答效率更高