2024屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是A． B．C． D．2．函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．一個四面體各棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．4．某班班會準備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（）A．720種 B．520種 C．360種 D．600種5．在極坐標系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標系是A． B． C．(1,0) D．(1，)6．若，則（）A． B． C． D．7．已知命題R，使得是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．命題：“R，”的否定是“R，”，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．8．設函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．310．直線與圓有兩個不同交點的充要條件是（）A． B． C． D．11．某個幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式的各二項式系數(shù)和為16，則展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為______.14．雙曲線的虛軸長為，其漸近線夾角為__________.15．已知，向量滿足，則的最大值為________．16．設a、b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一個數(shù)大于1”的條件是：_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“中國人均讀書4.3本（包括網(wǎng)絡文學和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計結果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了一天40名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學期望.18．（12分）對某種書籍的成本費（元）與印刷冊數(shù)（千冊）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中.為了預測印刷20千冊時每冊的成本費，建立了兩個回歸模型：.（1）根據(jù)散點圖，擬認為選擇哪個模型預測更可靠?（只選出模型即可）（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中的模型選擇，求關于的回歸方程，并預測印刷20千冊時每冊的成本費.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.19．（12分）已知橢圓經(jīng)過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩個不同的點是坐標原點，求的面積．20．（12分）某公園設有自行車租車點，租車的收費標準是每小時元(不足一小時的部分按一小時計算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為，一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為，兩人租車時間都不會超過三小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望．21．（12分）如圖,已知正四棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,,垂足為,交于點.(1)求證:⊥平面;(2)記直線與平面所成的角,求的值.22．（10分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的值.（3）已知數(shù)列滿足，其前項和為，求證：（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由求導公式和法則求出，由條件和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系分類討論，分別列出不等式進行分離常數(shù)，再構造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍．【題目詳解】由題意得，，因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以或在上恒成立，當時，則在上恒成立，即，設，因為，所以，當時，取到最大值為0，所以；當時，則在上恒成立，即，設，因為，所以，當時，取到最小值為，所以，綜上可得，或，所以數(shù)a的取值范圍是，故選B.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)研究函數(shù)的的單調(diào)性，恒成立問題的處理方法，二次函數(shù)求最值的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、B【解題分析】

因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點【題目詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點又，，，即函數(shù)在上有一個零點答案選B【題目點撥】零點問題可根據(jù)零點存在定理進行判斷，也可采用構造函數(shù)法，根據(jù)構造的兩新函數(shù)函數(shù)交點個數(shù)來確定零點個數(shù)3、A【解題分析】試題分析：正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點：球內(nèi)接多面體4、D【解題分析】

分別計算甲乙只有一人參加、甲乙都參加兩種情況下的發(fā)言順序的種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理加和求得結果.【題目詳解】甲、乙只有一人參加，則共有：C2甲、乙都參加，則共有：C5根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有：480+120=600種發(fā)言順序本題正確選項：D【題目點撥】本題考查排列組合綜合應用問題，關鍵是能夠通過分類的方式，分別計算兩類情況的種數(shù)，屬于?？碱}型.5、B【解題分析】

由題圓，則可化為直角坐標系下的方程,，，，圓心坐標為（0，-1），則極坐標為，故選B.考點：直角坐標與極坐標的互化.6、C【解題分析】分析：由題意根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，再分別求得的值，從而可得結果.詳解：由常數(shù)項為零，根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，且，，，故選C.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.7、C【解題分析】

利用復合命題的真值表進行判斷即可，注意中的冪函數(shù)的系數(shù)為1，而中的小于的否定是大于或等于．【題目詳解】命題令，解得，則為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因此是真命題，命題“，”的否定是“，”，因此是假命題，四個選項中的命題為真命題的是，其余的為假命題，故選C．【題目點撥】（1）冪函數(shù)的一般形式是，而指數(shù)函數(shù)的一般形式是；（2）我們要熟悉常見詞語的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”等．8、B【解題分析】

由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求得f（x）的定義域，再由在f（x）的定義域內(nèi)求解x的范圍得答案．【題目詳解】由2﹣2x≥0，可得x≤1．由，得x≤2．∴函數(shù)f（）的定義域為（﹣∞，2]．故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，關鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎題．9、B【解題分析】分析：利用復數(shù)的除法求出，進而得到.詳解：由題故選B.點睛：本題考查復數(shù)逇除法運算及復數(shù)的模，屬基礎題.10、A【解題分析】

由已知條件計算圓心到直線的距離和半徑進行比較，即可求出結果【題目詳解】圓，圓心到直線的距離小于半徑，由點到直線的距離公式：，，故選【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，然后和半徑進行比較，較為基礎．11、A【解題分析】

試題分析：由三視圖可知該幾何體的體積等于長方體體積和半個圓柱體積之和，．考點：三視圖與體積．12、C【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)三棱錐體積公式直接求得結果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為高為的三棱錐三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠根據(jù)三視圖確定幾何體的底面積和高，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、353【解題分析】分析：由題意可得，由此解得，分別令和，兩式相加求得結果．詳解：由題意可得，由此解得，即則令得令得，兩式相加可得展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為即答案為353.點睛：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和，解題時注意賦值法的應用，屬于中檔題．14、60°．【解題分析】

計算出的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.【題目詳解】由題意知，雙曲線的虛軸長為，得，所以，雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為、，因此，兩漸近線的夾角為，故答案為.【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【解題分析】試題分析：由題意得，由若滿足知，，當且僅當與同向且時，取等號，所以，而有基本不等式知，，所以，當且當即時取等號，故的最大值為．考點：1.向量加法的平行四邊形法則；2.基本不等式.【方法點睛】本題主要考查的是向量模的運算性質(zhì)，向量的平行四邊形法則及其向量垂直的性質(zhì)，屬于難題，向量的模的最值運算，一般要化為已知量的關系式，常用的工具，在平行四邊形中，再結合基本不等式可得當時，,,即取最大值.16、③【解題分析】試題分析：若a＝，b＝，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1．[來源:Z§考點：不等式性質(zhì)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)30;(2)54,55;(3)的分布列如下：012數(shù)學期望【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10，進而得出40

名讀書者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．（2）40

名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．計算頻率為處所對應的數(shù)據(jù)即可得出中位數(shù)．（3）年齡在[20，30）的讀書者有2人，年齡在[30，40）的讀書者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超幾何分布列計算公式即可得出．試題解析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在的頻率為，所以40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)為.（2）40名讀書者年齡的平均數(shù)為.設中位數(shù)為，則解得，即40名讀書者年齡的中位數(shù)為55.（3）年齡在的讀書者有人，年齡在的讀書者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012數(shù)學期望.18、（1）模型更可靠.（2），1.6【解題分析】分析:(1)根據(jù)散點圖的形狀得到選擇模型更可靠.(2)令，則建立關于的線性回歸方程，求得關于的線性回歸方程為，再求出求關于的回歸方程，令x=20，求出的值，得到印刷20千冊時每冊的成本費.詳解：（1）由散點圖可以判斷，模型更可靠.（2）令，則建立關于的線性回歸方程，則，∴∴關于的線性回歸方程為，因此，關于的回歸方程為當時，該書每冊的成本費元.點睛：（1）本題主要考查線性回歸方程的求法，考查非線性回歸方程的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非線性回歸模型的基本步驟：①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；③由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型等）；④通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；⑥消去新元，得到非線性回歸方程；⑦得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.19、(I)(II)【解題分析】

(I)將兩點坐標代入橢圓方程中，求出的值，而后求出橢圓的方程；(II)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標，設直線與軸交于點，利用S＝|OP||y1－y2|進行求解．【題目詳解】解：(1)由題意得:,解得:即軌跡E的方程為＋y2＝1.(2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，故可設AB的方程為x＝y(tǒng)＋1.由消去x得5y2＋2y－3＝0，所以設直線與軸交于點S＝|OP||y1－y2|S＝.【題目點撥】本題考查了求橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關系．20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）兩人所付租車費用相同的情況有2,4,6三種，分別算出對應概率，相加得到答案.（2）的可能取值為，分別計算概率，寫出分布列計算數(shù)學期望.【題目詳解】解：（1）甲、乙兩人所付租車費用相同即為元．都付元的概率為，都付元的概率為；都付元的概率為，故所付費用相同的概率為（2）依題意知，的可能取值為，；