內蒙集寧二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

內蒙集寧二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．2．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．3．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．4．四大名著是中國文學史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產.在某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．5．對于命題“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內切球切于四面體（）A．各正三角形內的點B．各正三角形的中心C．各正三角形某高線上的點D．各正三角形各邊的中點6．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1207．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要條件 B．充要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12C．14 D．169．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．10．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．11．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，其中點，且，則（）A． B． C． D．12．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)若有95%的把握認為是否喜歡抖音和性別有關，則男生至少有（）人．（K2≥k1）1．1511．111k13.8416.635A．12 B．6 C．11 D．18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為調査某高校學生對“一帶一路”政策的了解情況,現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個容量為500的樣本.其中大一年級抽取200人,大二年級抽取100人.若其他年級共有學生2000人,則該校學生總人數(shù)是_______..14．如果復數(shù)的實部與虛部相等，則_______.15．在中，內角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為______．16．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某拋擲骰子游戲中，規(guī)定游戲者可以有三次機會拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規(guī)則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點數(shù)為6則記為成功.用隨機變量表示該游戲者所得分數(shù).（1）求該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率;（2）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）已知函數(shù)，其中為實常數(shù).（1）若當時，在區(qū)間上的最大值為，求的值；（2）對任意不同兩點，，設直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點.（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）設直線AM與平面ABCD所成的角為α，二面角M—AC—B的大小為β，求sinα·cosβ的值.20．（12分）平面四邊形中，,為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折得到四面體，點分別為的中點.（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；（Ⅱ）當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最小值.22．（10分）2017年10月18日上午9:00,中國共產黨第十九次全國代表大會在人民大會堂開幕.代表第十八屆中央委員會向大會作了題為《決勝全面建成小康社會奪取新時代中國特色社會主義偉大勝利》的報告.人們通過手機、電視等方式關注十九大盛況.某調査網(wǎng)站從觀看十九大的觀眾中隨機選出200人,經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新型的傳媒方式PC端口觀看的人數(shù)之比為4:1.將這200人按年齡分組:第1組[15,25),第2組[25,35),第3組[35,45),第4組[45,55),第5組[55,65),其中統(tǒng)計通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示(1）求a的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡（2）把年齡在第1,2,3組的觀眾稱為青少年組,年齡在第4,5組的觀眾稱為中老年組,若選出的200人中通過新型的傳媒方式PC端口觀看的中老年人有12人,請完成下面2×2列聯(lián)表,則能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為觀看十九大的方式與年齡有關?通過PC端口觀看十九大通過電視端口觀看十九大合計青少年中老年合計附:(其中樣本容量)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．2、D【解題分析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．3、C【解題分析】

作出相關圖形，設正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【題目詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學生的轉化能力，計算能力和空間想象能力.4、A【解題分析】

通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.5、B【解題分析】四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選擇B.6、D【解題分析】

根據(jù)二項式定理，把每一項里的系數(shù)單獨寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質，化簡求值．【題目詳解】解：在的展開式中，項的系數(shù)為．故選D．【題目點撥】本題主要考查二項式定理展開以及利用組合數(shù)性質進行化簡求值．7、C【解題分析】

先利用取特殊值法判斷x?y＞0時，x＞0且y＞0不成立，再說明x＞0且y＞0時，x?y＞0成立，即可得到結論．【題目詳解】若x＝﹣1，y＝﹣1，則x?y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，則x?y＞0一定成立，故“x?y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分條件故選：C．【題目點撥】本題考查的知識點是充要條件的定義，考查了不等式的性質的應用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構成，如下圖，則該幾何體各面內只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為，故選B.點睛:三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關系、角、距離等問題相結合，解決此類問題的關鍵是由三視圖準確確定空間幾何體的形狀及其結構特征并且熟悉常見幾何體的三視圖.9、C【解題分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，化簡集合集合，再利用交集的定義求解即可.【題目詳解】因為集合，集合，所以由交集的定義可得，故選C.【題目點撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.10、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了空間向量中垂直關系的應用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運算能力.11、C【解題分析】

由已知可得，再由，即可求出結論.【題目詳解】因為拋物線的準線為，點在拋物線上，所以，.故選：C【題目點撥】本題考查拋物線的標準方程，應用焦半徑公式是解題的關鍵，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由題，設男生人數(shù)x，然后列聯(lián)表，求得觀測值，可得x的范圍，再利用人數(shù)比為整數(shù)，可得結果.【題目詳解】設男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，則列聯(lián)表如下：喜歡抖音不喜歡抖音總計男生女生總計若有95%的把握認為是否喜歡抖音和性別有關，則即解得又因為為整數(shù)，所以男生至少有12人故選A【題目點撥】本題是一道關于獨立性檢驗的題目，總體方法是運用列聯(lián)表進行分析求解，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5000【解題分析】

由題意，其他年級抽取200人，其他年級共有學生2000人，根據(jù)題意列出等式，即可求出該校學生總人數(shù).【題目詳解】由題意，其他年級抽取200人，其他年級共有學生2000人，則該校學生總人數(shù)為人，故答案是：5000.【題目點撥】該題考查的是有關分層抽樣的問題，涉及到的知識點有分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的，屬于簡單題目.14、7【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算可求得，根據(jù)實部與虛部相等可構造方程求得結果.【題目詳解】，，解得：.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據(jù)復數(shù)的實部和虛部定義求解參數(shù)值的問題，涉及到復數(shù)的除法運算問題，屬于基礎題.15、【解題分析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.16、1【解題分析】分析：根據(jù)每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結果.詳解：假設每一天只有一個人生日，則還有人，所以至少兩個人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】分析：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件．則；(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，分別求出，，，，得到的分布列及數(shù)學期望．詳解：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件．則；答：該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率為(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學期望點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用．18、(1)(2)【解題分析】

（1）討論與0，1，e的大小關系確定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化為，不妨設，整理得，設，當時，，得，分離，求其最值即可求解a的范圍【題目詳解】（1），令，則.所以在上單調遞增，在上單調遞減.①當，即時，在區(qū)間上單調遞減，則，由已知，，即，符合題意.②當時，即時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.③當，即時，在區(qū)間上單調遞增，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.綜上分析，.（2）由題意，，則原不等式化為，不妨設，則，即，即.設，則，由已知，當時，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).所以當時，，即，即恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以.故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性，不等式恒成立問題，構造函數(shù)與分離變量求最值，分類討論思想，轉化化歸能力，是中檔題19、（1）證明見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點，知O為BD的中點，再由M為PD的中點，知PB∥MO，由此能夠證明PB∥平面ACM．（2）取DO中點N，連接MN，AN，由M為PD的中點，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切值．（1）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，∵O為AC的中點，∴O為BD的中點，又∵M為PD的中點，∴PB∥MO，∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中點N，連接MN，AN，∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．考點：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解題分析】【試題分析】（1）先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據(jù)題設條件及面面垂直的性質定理證明平面，再建立空間直角坐標系，運用空間向量的數(shù)量積公式求出平面的一個法向量.進而求出直線與平面所成角的正弦值：解：（Ⅰ）∵點分別為的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形.取的中點，連結.∵為等腰直角三角形，為正三角形，∴,∴平面.又∵平面，∴，由且可得，∴四邊形為矩形.（Ⅱ）由平面分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.依題意，設，則，∴.設為平面的一個法向量，則有令，則.∴直線與平面所成角的正弦值.點睛：解答本題的第一問時，先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；解答地二問時先依據(jù)題設條件平面平面及面面垂直的性質定理證明平面，