2024屆江蘇省泰州市興化市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省泰州市興化市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在《九章算術(shù)）方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，這可以通過(guò)方程確定出來(lái)，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．3．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．4．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．46．已知，取值如下表：從所得的散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且，則等于（）A． B． C． D．7．閱讀下圖所示程序框圖，若輸入，則輸出的值是（）A.B.C.D.8．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．809．拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為()A． B． C． D．10．函數(shù)f(x)=lnxA． B． C． D．11．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．9012．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，其漸近線夾角為_(kāi)_________.14．已知函數(shù)，若函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.15．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)______.16．某學(xué)校高三年級(jí)700人，高二年級(jí)700人，高一年級(jí)800人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級(jí)抽取80人，則全?？偣渤槿_____人.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，R，矩陣的兩個(gè)特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．18．（12分）已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）已知點(diǎn)O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若點(diǎn)C滿足，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求k．20．（12分）已知函數(shù)（1）若在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有零點(diǎn)，求的最大值21．（12分）（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說(shuō)明理由；（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點(diǎn).（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)，可得，求解即可.【題目詳解】設(shè)，則，即，解得，取.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的解析式，判斷大于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，以及小于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，對(duì)比選項(xiàng)排除即可.詳解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)，故選B.點(diǎn)睛：本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.3、B【解題分析】分析：先求曲線交點(diǎn)，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因?yàn)?，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點(diǎn)睛：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．4、B【解題分析】

由題意得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可作出解答.【題目詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)坐標(biāo)的表示，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

由橢圓方程得出即可【題目詳解】由可得，即所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是由橢圓的方程得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，較簡(jiǎn)單6、B【解題分析】

計(jì)算平均數(shù)，可得樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【題目詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過(guò)中心點(diǎn)(),即點(diǎn)(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)是關(guān)鍵．7、A【解題分析】試題分析：由程序框圖可知該算法是計(jì)算數(shù)列的前2016項(xiàng)和，根據(jù)，所以。考點(diǎn)：1.程序框圖；2.數(shù)列求和。8、A【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】分析：設(shè)拋物線上點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式，得點(diǎn)A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求最小距離.詳解：設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)點(diǎn)A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，最小距離.故選B.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.10、A【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)B,D，再利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值判斷即可．【題目詳解】函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B,D；當(dāng)-1<x<0,f（x）<0，排除選項(xiàng)C故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的變化趨勢(shì)是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．11、B【解題分析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角。【題目詳解】直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點(diǎn)撥】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見(jiàn)的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。12、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量中垂直關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60°．【解題分析】

計(jì)算出的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.【題目詳解】由題意知，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，得，所以，雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為、，因此，兩漸近線的夾角為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關(guān)鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用分類討論思想的應(yīng)用和分類討論思想的應(yīng)用求出的取值范圍．【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，解得或，在，上是增函數(shù)，且，，所以在上有零點(diǎn)，由題意知，由故或，又．當(dāng)時(shí)，解得有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為和且，當(dāng)時(shí)，則由單調(diào)性及極值可知，有唯一零點(diǎn)，但零點(diǎn)大于0，當(dāng)時(shí)，則有三個(gè)零點(diǎn)，∴無(wú)論正負(fù)都不合適．所以．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系式的的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．15、1【解題分析】

先根據(jù)側(cè)面展開(kāi)是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)求解.【題目詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)，所以，故圓錐的底面半徑.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計(jì)算.主要依據(jù)側(cè)面展開(kāi)的扇形的弧長(zhǎng)即底面圓的半徑，扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算公式.16、220.【解題分析】分析：根據(jù)學(xué)生的人數(shù)比，利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．詳解：設(shè)全校總共抽取n人，則：故答案為220人.點(diǎn)睛：本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【題目詳解】解：（1）設(shè)矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，則，則．（2）因，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2）函數(shù)在上遞增，在上遞減【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，值為0，解得.（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)橛郑李}有，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得，（舍）當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減；所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的切線，函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用終點(diǎn)減起點(diǎn)坐標(biāo)求得和的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算坐標(biāo)公式，得到滿足的條件求得結(jié)果；（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求得，，利用向量垂直的條件，得到等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．由，得解得，，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2），，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量坐標(biāo)運(yùn)算公式及法則，向量垂直的條件，數(shù)量積坐標(biāo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.20、（1）；（2）最大值為【解題分析】

（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，利用參數(shù)分離得到答案.（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依次判斷每個(gè)區(qū)間的零點(diǎn)情況，綜合得到答案.【題目詳解】解：（1）的定義域?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ醇磳?shí)數(shù)的取值集合是（2）時(shí)，，即在區(qū)間和單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減.在最小值為且在上沒(méi)有零點(diǎn).要想函數(shù)在上有零點(diǎn)，并考慮到在區(qū)間上單調(diào)且上單減，只須且，易檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，且時(shí)均有，即函數(shù)在上有上有零點(diǎn).的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，參數(shù)分離法，零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)難度大，需要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)各個(gè)知識(shí)點(diǎn).21、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個(gè)數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計(jì)數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個(gè)，個(gè)，從而可得到解的情況共有個(gè)，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng).由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng).當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以數(shù)列的所有項(xiàng)都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，有①當(dāng)時(shí)，②又對(duì)任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦?、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問(wèn)考查對(duì)集合新定義的理解；第（2）問(wèn)考查等比數(shù)列的控究性問(wèn)題；第（3）問(wèn)考查類比推理與計(jì)數(shù)原理相