湖北省天門仙桃潛江2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

湖北省天門仙桃潛江2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞2．已知雙曲線與雙曲線，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等3．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現(xiàn)將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，設(shè)二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π44．在區(qū)域內(nèi)任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．5．“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件6．已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fA． B．C． D．7．等差數(shù)列{}中，，則前10項和()A．5 B．25 C．50 D．1008．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．11．已知集合，則A． B．C． D．R12．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)D．在時，取極大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為______．14．已知棱長為的正方體中，，分別是和的中點，點到平面的距離為________________．15．某小組共8人，若生物等級考成績?nèi)缦拢?人70分、2人67分、3人64分、1人61分，則該小組生物等級考成績的中位數(shù)為______.16．要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為．（以數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且曲線與在坐標(biāo)原點處的切線相同.（1）求的最小值；（2）若時，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓C:經(jīng)過點,是橢圓的兩個焦點，，是橢圓上的一個動點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點在第一象限，且,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍；19．（12分）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，是過點且傾斜角為的直線.以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）時，求在點處的函數(shù)切線方程；（2）時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．22．（10分）某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶液全部不含有細(xì)菌；若檢驗結(jié)果含有細(xì)菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數(shù)總共為.(1)假設(shè)，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；(2)現(xiàn)對瓶溶液進(jìn)行檢驗，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據(jù)：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．2、D【解題分析】

根據(jù)題意，由兩個雙曲線的方程計算出兩個雙曲線的焦點坐標(biāo)，焦距，漸近線方程以及離心率，進(jìn)而分析選項即可得到答案。【題目詳解】根據(jù)題意，雙曲線，其中，，則，則焦距，焦點坐標(biāo)，漸近線方程為，離心率；雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，，則，則焦距，焦點坐標(biāo)，漸近線為，離心率；據(jù)此依次分析選項：兩個雙曲線的焦距均為，故A正確；雙曲線的焦點坐標(biāo)，雙曲線的焦點坐標(biāo)，都在圓上，故B正確；漸近線方程均為，故C正確；雙曲線的離心率，雙曲線的離心率，離心率不相等，故選D【題目點撥】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，解題時要注意將雙曲線的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，屬于基礎(chǔ)題。3、C【解題分析】

由題意畫出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說明A，B，D錯誤．【題目詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時α<θ，故A錯誤；當(dāng)PC與平面ABC垂直時，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設(shè)AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當(dāng)θ無限接近0時，β無限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項是C．故選：C．【題目點撥】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．4、C【解題分析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型的計算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的圖形的面積，進(jìn)而由其公式計算．5、A【解題分析】

畫出曲線和的圖像，根據(jù)圖像觀察即可得結(jié)果.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中畫出曲線和的圖像，如圖：表示的點是圖中圓上及圓內(nèi)部的點，表示的點是圖中正方形上及正方形內(nèi)部的點，所以“”是“”的充分非必要條件，故選：A.【題目點撥】本題考查充分性和必要性的判斷，找出集合包含關(guān)系是快速判斷的重點，可以數(shù)形結(jié)合畫出曲線圖像，通過圖像觀察包含關(guān)系，本題是中檔題.6、D【解題分析】

根據(jù)f'x的正負(fù)與f【題目詳解】因為f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f'x>0時，函數(shù)A中，直線對應(yīng)f'x，曲線對應(yīng)B中，x軸上方曲線對應(yīng)fx，x軸下方曲線對應(yīng)fC中，x軸上方曲線對應(yīng)f'x，x軸下方曲線對應(yīng)D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對應(yīng)f'x時，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于常考題型.7、B【解題分析】試題分析：因為.考點：等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)．點評：等差數(shù)列的性質(zhì)之一：若,則．8、D【解題分析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結(jié)果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設(shè)，則，，即，，故選D.點睛：本題考查題意的簡單性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸、等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.9、D【解題分析】

直接把給出的復(fù)數(shù)寫出代數(shù)形式，得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為位于第一象限，故選A．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【題目詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標(biāo)原點的距離最大，即．故選：．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

先解出集合與，再利用集合的并集運(yùn)算得出.【題目詳解】，，，故選D.【題目點撥】本題考查集合的并集運(yùn)算，在計算無限數(shù)集時，可利用數(shù)軸來強(qiáng)化理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，判斷導(dǎo)數(shù)值的符號從而可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在上先減后增，錯；在上先增后減，錯；在上是增函數(shù)，對；在時，取極小值，錯，故選C.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，意在考查對基本性質(zhì)掌握的熟練程度以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，設(shè)正方體的邊長為，則，解得該圓柱的側(cè)面積為，故答案為.14、1【解題分析】

以D點為原點，的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可求解．【題目詳解】以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設(shè)點在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點到平面的距離．【題目點撥】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、65.5【解題分析】

把8人的生物等級考成績從小到大排列,最后按照中位數(shù)的定義可以計算出該小組生物等級考成績的中位數(shù).【題目詳解】8人的生物等級考成績從小到大排列如下：,所以該小組生物等級考成績的中位數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查了中位數(shù)的計算方法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、288.【解題分析】解：∵數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，∴先排數(shù)學(xué)課有種排法，再排最后一節(jié)有種排法，剩余的有種排法，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知共有=288種排法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由于曲線與在坐標(biāo)原點處的切線相同，即它們在原點的導(dǎo)數(shù)相同，，，且切點為原點，，解得.所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值為；（2）由（1）知，，即，從而，即.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并對分類討論的圖象與性質(zhì)，由此求得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）因為，，依題意，，且，解得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.∴當(dāng)時，取得最小值為0.（2）由（1）知，，即，從而，即.設(shè)，則，（1）當(dāng)時，因為，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）此時在上單調(diào)遞增，從而，即.（2）當(dāng)時，由于，所以，又由（1）知，，所以，故，即.（此步也可以直接證）（3）當(dāng)時，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，，即，不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、恒成立問題．【方法點晴】第一問是跟切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵點在于切點和斜率，切點是坐標(biāo)原點，由于兩條曲線在原點的切線相同，故兩個函數(shù)在原點的導(dǎo)數(shù)值相等，利用這兩個條件聯(lián)立方程組就能求出的值.第二問是利用導(dǎo)數(shù)來求解不等式，我們構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究的圖象與性質(zhì)，含有參數(shù)，我們就需要對進(jìn)行分類討論.18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）由焦距得出焦點坐標(biāo)，求出點M到兩焦點的距離之和即為，從而可得；（2）用參數(shù)方程，設(shè)（），然后計算向量的數(shù)量積，可求得范圍．詳解：（1）由已知得，，∴，，同理，∴，，∴，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，，∴，∴，即點橫坐標(biāo)取值范圍是．點睛：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，能用定義的就用定義，如已知曲線上一點坐標(biāo)，兩焦點坐標(biāo)，可先求得此點到兩焦點距離之和得出，再由求得，從而得標(biāo)準(zhǔn)方程．這種方法可減少計算量，增加正確率．19、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：（1）要證線面平行，只需在面內(nèi)找一線與已知線平行即可，連接，根據(jù)中位線即可得即可求證；（2）求線面角則可直接建立空間直角坐標(biāo)系，寫出線向量和面的法向量，然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.詳解：（1）連接，∵是正方形，是的中點，∴是的中點，∵是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)與平面所成角為，則.點睛：考查立體幾何的線面平行證明，線面角的求法，對定理的熟悉和常規(guī)方法要做到熟練是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.20、（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）;；（2）【解題分析】

分析：(1)先根據(jù)傾斜角寫直線的參數(shù)方程，根據(jù)，將曲線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.由曲線的極坐標(biāo)方程，得，把，，代入得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）把代入圓的方程得，化簡得，設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，∴，，則.點睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3