2024屆湖南省衡陽(yáng)縣數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆湖南省衡陽(yáng)縣數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列參數(shù)方程可以用來(lái)表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）2．已知?jiǎng)ta，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a3．已知函數(shù)，若，則的最大值是（）A． B．- C． D．--4．七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，現(xiàn)從該正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B．C． D．5．若過(guò)點(diǎn)可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用表示所選3人中女生的人數(shù)，則為（）A．0 B．1 C．2 D．37．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.458．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．9．“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”?！疤旄伞币浴凹住弊珠_(kāi)始，“地支”以“子”字開(kāi)始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得?0個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無(wú)窮無(wú)盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年10．函數(shù)的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．11．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則這2個(gè)球中有白球的概率是A． B． C． D．12．已知雙曲線C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___.14．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，且在第一象限交于點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_(kāi)_________．15．從雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為16．某地區(qū)共有4所普通高中，這4所普通高中參加2018年高考的考生人數(shù)如下表所示：學(xué)校高中高中高中高中參考人數(shù)80012001000600現(xiàn)用分層抽樣的方法在這4所普通高中抽取144人，則應(yīng)在高中中抽取的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.18．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，極坐標(biāo)方程分別為，．（Ⅰ）和交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與軸的交點(diǎn)為，且與交于，兩點(diǎn)，求.20．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大?。?1．（12分）中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開(kāi)采權(quán)，集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分兒口井，取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時(shí)期后，集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來(lái)布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費(fèi)用．勘探初期數(shù)據(jù)資料見(jiàn)如表：（Ⅰ）1～6號(hào)舊井位置線性分布，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a，并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值；（Ⅱ）現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7(1,25)，若通過(guò)1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的b,a的值（b,a精確到0.01）相比于（Ⅰ）中（參考公式和計(jì)算結(jié)果：b=（Ⅲ）設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探并稱為優(yōu)質(zhì)井，那么在原有井號(hào)1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.22．（10分）已知矩陣，.(1)求；(2)在平面直角坐標(biāo)系中,求直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

選項(xiàng)A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)D：利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【題目詳解】選項(xiàng)A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項(xiàng)B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項(xiàng)C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項(xiàng)D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個(gè)參數(shù)方程中橫坐標(biāo)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

對(duì)于看成冪函數(shù)，對(duì)于與的大小和1比較即可【題目詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，由因?yàn)椋?，，所以，所以選擇D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)之間大小的比較，常用的方法：1、通常看成指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)比較．2、和0、1比較．3、A【解題分析】

設(shè)，可分別用表示，進(jìn)而可得到的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性可求出的最大值.【題目詳解】設(shè)，則,則，，故.令，則，因?yàn)闀r(shí)，和都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由于，故時(shí)，；時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，取得最大值，.即的最大值為.故答案為A.【題目點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力與計(jì)算能力，屬于難題.4、A【解題分析】設(shè)，則.∴，∴所求的概率為故選A.5、D【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，寫(xiě)出切線方程為，把代入，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由方程根的分布知識(shí)可求解.【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的分布問(wèn)題。由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)取值范圍，可采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。6、B【解題分析】

先由題意得到的可能取值為，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可求出其期望.【題目詳解】由題意，的可能取值為，由題中數(shù)據(jù)可得：，，，所以.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記期望的概念，會(huì)求每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率即可，屬于?？碱}型.7、A【解題分析】

試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．8、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是選C.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

按照題中規(guī)則依次從2019年列舉到2026年，可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于中等題。10、C【解題分析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【題目詳解】依題意，，函數(shù)的振幅為，在中令求得初相為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數(shù)周期的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.其中表示的是振幅，是用來(lái)求周期的，即，要注意分母是含有絕對(duì)值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數(shù).11、B【解題分析】

先計(jì)算從中任取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，然后計(jì)算這2個(gè)球中有白球包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2個(gè)球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，將4紅球編號(hào)為1，2，3，4；2個(gè)白球編號(hào)為5，1．從中任取2個(gè)球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個(gè)球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個(gè)，這2個(gè)球中有白球的概率是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求出?！绢}目詳解】令x216雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線漸近線方程的求法。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解題分析】

根據(jù)方差的線性變化公式計(jì)算：方差為，則的方差為.【題目詳解】因?yàn)榉讲顬?，則的方差為,【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的線性變化，難度較易.如果已知方差為，則的方差為，這可用于簡(jiǎn)便計(jì)算方差.14、.【解題分析】分析：通過(guò)橢圓與雙曲線的定義，用和表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理建立的關(guān)系式；根據(jù)離心率的定義表示出兩個(gè)離心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。詳解：，所以解得在△中，根據(jù)余弦定理可得代入得化簡(jiǎn)得而所以的最小值為點(diǎn)睛：本題考查了圓錐曲線的綜合應(yīng)用。結(jié)合余弦定理、基本不等式等對(duì)橢圓、雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行逐步分析，主要是對(duì)圓錐曲線的“交點(diǎn)”問(wèn)題重點(diǎn)分析和攻破，屬于難題。15、b-a【解題分析】試題分析：如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，OM，OT，則PF-PF1=2a，在RtΔFTO中，OF=c，OT=a，所以FT=OF2所以，所以MO=12PF1=考點(diǎn)：1.雙曲線的定義；2.直線與圓相切；3.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.16、24【解題分析】

計(jì)算出高中人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，乘以得到在高中抽取的學(xué)生人數(shù).【題目詳解】應(yīng)在高中抽取的學(xué)生人數(shù)為．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分層抽樣，考查頻率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的范圍即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，則可證當(dāng)時(shí)，在上，有，即.將代入上面不等式中即可證明.詳解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則須有．（嚴(yán)格來(lái)講，還需補(bǔ)充兩處變化趨勢(shì)的說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）.（2）構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，但因式的符號(hào)不容易看出，引出輔助函數(shù)，則，得在上，當(dāng)時(shí)，，即，則，即，，得在上，有，即.將代入上面不等式中得，又，，在上，故，.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．18、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，從而可得結(jié)果；（2）在內(nèi)有極大值和極小值，等價(jià)于在內(nèi)有兩不等實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列不等式求解即可.詳解：，（1）∵在處取得極值，∴，∴，∴，∴，令，則，∴，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵在內(nèi)有極大值和極小值，∴在內(nèi)有兩不等實(shí)根，對(duì)稱軸，∴，即，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見(jiàn)解法有兩個(gè)：一是對(duì)于未知量為不做限制的題型可以直接運(yùn)用判別式解答（本題屬于這種類型）；二是未知量在區(qū)間上的題型，一般采取列不等式組（主要考慮判別式、對(duì)稱軸、的符號(hào)）的方法解答.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：（1）聯(lián)立，極坐標(biāo)方程，解出，反代得，即得和交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）先利用將極坐標(biāo)方程化為直接坐標(biāo)方程，再由直線參數(shù)方程幾何意義得，因此將直線的參數(shù)方程代入直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理得，且，因此.試題解析：（Ⅰ）（方法一）由，極坐標(biāo)方程分別為，’化為平面直角坐標(biāo)系方程分為.得交點(diǎn)坐標(biāo)為.即和交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.（方法二）解方程組所以，化解得，即，所以和交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.（II）（方法一）化成普通方程解得因?yàn)?，所?（方法二）把直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），代入得，，所以.20、（1）（2）【解題分析】

（1）是與底面所成的角,所以,可得,在用柱體體積公式即可求得答案;（2）因?yàn)檎睦庵?可得,所以是異面直線與所成的角.【題目詳解】（1）如圖,連接正四