山東省新泰中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

山東省新泰中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)可導，則等于（）A．B．C．D．2．已知(為虛數(shù)單位)，則A． B． C． D．3．二項式的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．24．歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（）A．1 B． C． D．5．“”是“對任意恒成立”的A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知復數(shù)且，則的范圍為（）A． B．C． D．7．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A． B． C． D．8．已知，，，則（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.99．已知集合，，則（）A． B． C． D．10．已知為拋物線上的不同兩點，為拋物線的焦點，若，則（）A． B．10 C． D．611．在中，，，分別為角，，所對的邊，若，則（）A．一定是銳角三角形 B．一定是鈍角三角形C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則__________．14．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．15．圓：在矩陣對應的變換作用下得到了曲線，曲線的矩陣對應的變換作用下得到了曲線，則曲線的方程為__________．16．展開式中，項的系數(shù)為______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（且），.（1）函數(shù)的圖象恒過定點，求點坐標；（2）若函數(shù)的圖象過點，證明：方程在上有唯一解.18．（12分）設(shè)函數(shù)（其中）,且的圖像在軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為（1）求的值；（2）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點.（1）求證：底面；（2）求直線與平面所成的角的值；（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數(shù)表示）21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）記函數(shù)的最小值為，若為正實數(shù)，且，求的最小值.22．（10分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是的兩個零點，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】，故選C.2、B【解題分析】

由題得，再利用復數(shù)的除法計算得解.【題目詳解】由題得，故答案為：B【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.3、A【解題分析】

利用二項式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【題目詳解】二項式（ax+）6的展開式中通項公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【題目點撥】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應的解析式，分別求出積分值相加4、B【解題分析】

由題意將復數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復數(shù)的運算化簡即可得答案．【題目詳解】由得故選B．【題目點撥】本題考查歐拉公式的應用，考查三角函數(shù)值的求法與復數(shù)的化簡求值，是基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合判別式的解法進行判斷即可．【題目詳解】解：對任意恒成立，推不出，，“”是“對任意恒成立”的必要不充分條件．故選：C．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)判別式的解法是解決本題的關(guān)鍵．6、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化為，設(shè)，即直線和圓有公共點，聯(lián)立，即得解.【題目詳解】由于設(shè)聯(lián)立：由于直線和圓有公共點，故的范圍為故選：C【題目點撥】本題考查了直線和圓，復數(shù)綜合，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.7、D【解題分析】

首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．【題目詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得．詳解：由題意，

∵隨機變量，，

∴故選：D．點睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對稱性的應用等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】因為所以.故選：B【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

設(shè)，根據(jù)，可求得這些坐標間的關(guān)系，再結(jié)合兩點在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故選C．【題目點撥】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點弦問題．掌握焦點弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對拋物線而言，，是拋物線的過焦點的弦，則．11、C【解題分析】分析：由已知構(gòu)造余弦定理條件：，再結(jié)合余弦定理，化簡整理得，即一定為直角三角形.詳解：由已知，得①由余弦定理：②將①代入②整理得一定為直角三角形故選C點睛：判斷三角形形狀（1）角的關(guān)系：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．①若；則A=B；②若；則A=B或（2）邊的關(guān)系：通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．①若，則；②若，則；③若，則．12、C【解題分析】

先求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】依題意，函數(shù)的定義域為，，故當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1【解題分析】分析：隨機變量服從正態(tài)分布，且，利用正態(tài)分布的性質(zhì)，答案易得．詳解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布，且，，

故答案為：0.1．點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的重點及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是正確正態(tài)分布曲線的重點及曲線所表示的意義，由曲線的對稱性求出概率，本題是一個數(shù)形結(jié)合的題，識圖很重要．14、25【解題分析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當且僅當?shù)忍柍闪?5、【解題分析】分析：詳解：，設(shè)為曲線上任意一點，是圓：上與P對應的點，，得，，是圓上的點，的方程為，即.故答案為：.點睛：本題考查了幾種特殊的矩陣變換，體現(xiàn)了方程的數(shù)學思想.16、【解題分析】∴二項式展開式中，含項為∴它的系數(shù)為1．故答案為1．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象恒過定點；(2)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）解：∵當時，，說明的圖象恒過點.（2）證明：∵過，∴，∴，∵分別為上的增函數(shù)和減函數(shù)，∴為上的增函數(shù)，∴在上至多有一個零點，又，∴在上至多有一個零點，而，，∴在上有唯一解.18、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a.依題意得2ω·＋＝，解得ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a.又當x∈時，x＋∈，故≤sin≤1，從而f(x)在上取得最小值＋＋a.由題設(shè)知＋＋a＝，故a＝.考點：和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．點評：中檔題，本題較為典型，即首先利用和差倍半的三角函數(shù)公式，將三角函數(shù)式“化一”，進一步研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)．本題（2）給定了自變量的較小范圍，應注意確定的范圍，進一步確定函數(shù)的最值．19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).【解題分析】

(1)根據(jù)當時直接求導，令與,即可得出單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù),使函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于,等價于,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求出的最小值,即可得出的范圍.【題目詳解】(1)當時,,令,則或,令,則,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).函數(shù).要使函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,令,則當時,在上單調(diào)遞減,當時,在上單調(diào)遞增,是的極小值點，也是最小值點,且存在,滿足題設(shè).【題目點撥】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學思想,等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識,難度較難.20、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）由已知中四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點O，根據(jù)平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理，我們易得到結(jié)論；

（2）以O(shè)為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線

PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.【題目詳解】（1）證明：因為ABCD為菱形，

所以O(shè)為AC，BD的中點

因為PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

建立如圖所示空間直角坐標系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以則，

設(shè)平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直線與平面所成的角的值為；（3）設(shè)平面的法向量,因為

有，所以，令

得，，

由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，.【題目點撥】本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點及坐標軸方向，建立空間坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為一個向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵.21、（1）（2）【解題分析】

（1）利用絕對值的幾何意義，去絕對值轉(zhuǎn)化為或或求解.（2）由（1）函數(shù)的最小值為2，得到，再由柯西不等式求的最小值.【題目詳解】（1）原不等式等價于：或或，解得或，所以不等式的解集是.（2）由（1）函數(shù)的最小值為2，所以，所以，所以，所以，當且僅當時，取等號.所以的最小值是.【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法和柯西不等式求最值，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）求導，對參數(shù)分兩種情況進行討論，令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，分離參數(shù)得，令，研究函數(shù)的性質(zhì)，可將證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明成立，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當時，，則在上單調(diào)遞增．當時，令