2024屆四川省成都航天中學數(shù)學高二下期末質量檢測模擬試題含解析

2024屆四川省成都航天中學數(shù)學高二下期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)滿足，則下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．2．設實數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．3．定義運算，，例如，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．4．函數(shù)圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）5．命題“”的否定是（）A． B．C． D．6．若角為三角形的一個內角，并且，則（）A． B． C． D．7．設則（）A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于28．已知將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．9．推理“①圓內接四邊形的對角和為；②等腰梯形是圓內接四邊形；③”中的小前提是（）A．① B．② C．③ D．①和②10．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）11．設有個不同顏色的球，放入個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種12．函數(shù)（，e是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在復數(shù)范圍內，方程的根為________.14．如圖，矩形中曲線的方程分別為，，在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為____.15．若一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的總體方差為3，則另一組數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的總體方差為_____．16．北緯圈上有A，B兩點，該緯度圈上劣弧長為（R為地球半徑），則A，B兩點的球面距離為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)/(x.（1）當時，求在最小值；（2）若存在單調遞減區(qū)間，求的取值范圍；（3）求證：.18．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個球,至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.19．（12分）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨即抽取該流水線上件產品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為，，……，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過克的產品數(shù)量．（2）在上述抽取的件產品中任取件，設為重量超過克的產品數(shù)量，求的分布列．（3）從流水線上任取件產品，求恰有件產品合格的重量超過克的概率．20．（12分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面面圓周上的點.（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大??；（結果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值.21．（12分）設且，函數(shù).（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點．22．（10分）已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設，證明單調遞增，得到，構造函數(shù)根據(jù)單調性到正確，取，，則不成立，錯誤，得到答案.【題目詳解】設，則恒成立，故單調遞增，，即，即，.取，，則不成立，錯誤；設，則恒成立，單調遞增，故，就，正確；同理可得：正確.故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)的單調性比較式子大小，意在考查學生對于函數(shù)性質的綜合應用.2、D【解題分析】

對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【題目詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯；當0＜c＜1時，ca＜cb；當c＝1時，ca＝cb；當c＞1時，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯．，D對；故選D．【題目點撥】本題考查不等式的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．3、D【解題分析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當1≤2x時，即x≥0時，函數(shù)y=1*2x=1當1＞2x時，即x＜0時，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域為：（0，1]．故選D．點睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應用題型時，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡解析式，求函數(shù)解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質．4、C【解題分析】

試題分析：設的零點在區(qū)間與圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是，故選C．考點：曲線的交點．【方法點晴】本題考曲線的交點，涉及數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想和轉化化歸思想，以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、綜合程度高，屬于較難題型．5、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定形式可知“”的否定是“”.故選A.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定形式，屬于簡單題型.6、A【解題分析】分析：利用同角關系，由正切值得到正弦值與余弦值，進而利用二倍角余弦公式得到結果.詳解：∵角為三角形的一個內角，且，∴∴故選：A點睛：本題考查了同角基本關系式，考查了二倍角余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【題目詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個不小于2；當，，都等于2時，選項A，B錯誤，都等于3時，選項D錯誤．選C.【題目點撥】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個互為倒數(shù)的項，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據(jù)題目要求解題．8、B【解題分析】解析：因，故，因，故，則，所以，應選答案B．9、B【解題分析】

由演繹推理三段論可知,①是大前提；②是小前提；③是結論．【題目詳解】由演繹推理三段論可知,①是大前提；②是小前提；③是結論，故選B．【題目點撥】本題主要考查演繹推理的一般模式．10、D【解題分析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關系應用及利用導數(shù)求切線方程。11、D【解題分析】

要求每個盒子中至少有一個球，可將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．【題目詳解】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D【題目點撥】將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D12、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，的單調，根據(jù)單調性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，即可解得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，，，，解得，又，實數(shù)的范圍為．故選：．【題目點撥】本題主要考查了零點問題，以及函數(shù)單調性，解題的關鍵是把唯一零點轉化為兩個函數(shù)的交點問題，通過圖象進行分析研究，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)復數(shù)范圍求根公式求解【題目詳解】因為，所以方程的根為故答案為：【題目點撥】本題考查復數(shù)范圍解實系數(shù)一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解題分析】

運用定積分可以求出陰影部分的面積，再利用幾何概型公式求出在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.【題目詳解】解:陰影部分的面積為，故所求概率為【題目點撥】本題考查了幾何概型，正確運用定積分求陰影部分的面積是解題的關鍵.15、12【解題分析】

先設這組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，再根據(jù)已知方差以及方差公式可得答案.【題目詳解】設這組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則另一組數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均數(shù)為，依題意可得，所以所求方差.故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用方差公式求一組數(shù)據(jù)的方差，關鍵是根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的關系解決，屬于基礎題.16、【解題分析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對應的圓心角，得到線段的長，設地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長公式求、這兩地的球面距離．【題目詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應的劣弧長等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對應的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．【題目點撥】本題考查球的有關經緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性，利用其單調性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在單調遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結論，當x＞1時，，即.，再構造函數(shù)，令，有，從而，問題可解決；（法二）可用數(shù)學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；設時，命題成立，即，，再去證明n=k+1時，即可（需用好歸納假設）．詳解：（1），定義域為.∵∴在上是增函數(shù)..（2）因為因為若存在單調遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.即有有解.①當時，明顯成立.②當時，開口向下的拋物線，總有有解；③當時，開口向上的拋物線，即方程有正跟.當時，；，解得.綜合①②③知：.綜上所述：的取值范圍為.（3）（法一）根據(jù)（1）的結論，當時，，即.令，則有，∴.∵，∴.（法二）當時，.∵，∴，即時命題成立.設當時，命題成立，即.∴時，根據(jù)（1）的結論，當時，，即.令，則有，則有，即時命題也成立.因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立.點睛：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，考查最值的求法，數(shù)學歸納法的應用，考查轉化思想以及計算能力．函數(shù)在一個區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)的導函數(shù)大于等于0恒成立，函數(shù)在一個區(qū)間上存在單調增區(qū)間，則函數(shù)的導函數(shù)在這個區(qū)間上大于0有解.18、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

數(shù)學期望；(Ⅱ).【解題分析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

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P

.或因為，所以.即的數(shù)學期望為4.7分(Ⅱ)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.考點：1.二項分布；2.離散型隨機變量的分布列與期望；3.隨機事件的概率.19、（1）件；（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到超過克的頻率，再求出產品數(shù)量；（2）先得到可取的值，再分別計算每個值的概率，寫出分布列；（3）根據(jù)題意得到所取的件產品中，件超過克，件不超過克，從而得到所求的概率.【題目詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知：重量超過克的頻率為：，所以重量超過克的產品數(shù)量為（件）（2）可取的值為，，，，所以的分布列為：（3）利用樣本估計總體，該流水線上重量超過克的概率為，令為任取5件產品中重量超過克的產品數(shù)量，則所以所求概率為.【題目點撥】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求頻數(shù)，隨機變量的分布列，求隨機事件的概率，屬于簡單題.20、（1）詳見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)圓柱性質可得,由圓的性質可得,即可證明平面;（2）先判斷當三棱錐體積最大時的位置.過底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關系解三角形即可求得,進而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉到使其共面,且在的反向延長線上,結合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【題目詳解】（1）證明:因為是圓柱的母線,平面所以又因為是圓柱的底面直徑所以,即又因為所以平面（2）當三棱錐體積最大時,底面積最大,所以到的距離最大,此時為設底面圓的圓心為,連接則,又因為所以平面因為,所以取中點,則過O作,垂足為則,所以為中點連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中,,,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉到使其共面,且在的反向延長線上,如下圖所示:因為,,,,在中,由余弦定理可知則所以的最小值為【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法,綜合性較強,屬于中檔題.21、(1).(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們則求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點．試題解析：(1)由已知得x>0.當a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a