2024屆青海西寧二十一中數學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆青海西寧二十一中數學高二下期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．12．一個盒子里裝有大小、形狀、質地相同的12個球，其中黃球5個，藍球4個，綠球3個.現從盒子中隨機取出兩個球，記事件為“取出的兩個球顏色不同”，事件為“取出一個黃球，一個綠球”，則A． B．C． D．3．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A． B． C． D．4．已知m∈R，若函數f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-95．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．326．若函數的圖象的頂點在第一象限，則函數的圖像是（）A． B．C． D．7．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12288．設，則z的共軛復數為A． B． C． D．9．全國高中聯賽設有數學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則不同的報名種數是（）A． B． C． D．10．若曲線，在點處的切線分別為，且，則的值為（）A． B．2 C． D．11．已知集合，則()A． B．C． D．12．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A．960種 B．984種 C．1080種 D．1440種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖像在處的切線方程為_______.14．已知冪函數的圖象經過點，則實數α的值是_______.15．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且,則_______．16．若則的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（Ⅰ）當時，求函數在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，討論函數的零點個數.18．（12分）設函數，其中.（1）當時，求函數的極值；（2）若，成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，橢圓經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.（l）求橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標原點，求證：三點共線．20．（12分）已知數列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法予以證明.21．（12分）畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？22．（10分）已知函數f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．（1）設g（x）＝f′（x），求g（x）的單調區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求證：x1+x2＞2．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

(a+b)n展開式中所有項的二項系數和為【題目詳解】(a+b)n展開式中所有項的二項系數和為2(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數之和為2故答案選B【題目點撥】本題考查了二項系數和，屬于基礎題型.2、D【解題分析】分析：先求取出的兩個球顏色不同得概率，再求取出一個黃球，一個綠球得概率可，最后根據條件概率公式求結果.詳解：因為所以,選D.點睛：本題考查條件概率計算公式，考查基本求解能力.3、A【解題分析】本題考查極坐標與直角坐標的互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A4、B【解題分析】

通過參變分離、換元法，把函數f(x)的零點個數轉化成直線y=m與拋物線的交點個數.【題目詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數f(x)在-1<x≤0有兩個不同零點?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個不同的根?y=m∴-【題目點撥】通過換元把復雜的分式函數轉化為熟知的二次函數，但要注意換元后新元的取值范圍.5、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結果,即可得到所求輸出值．【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結構,難度較易.6、A【解題分析】

求導，根據導函數的性質解題?！绢}目詳解】，斜率為正，排除BD選項。的圖象的頂點在第一象限其對稱軸大于0即b<0,選A【題目點撥】本題考查根據已知信息選導函數的大致圖像。屬于簡單題。7、C【解題分析】

根據正態(tài)曲線的對稱性，以及，可得結果.【題目詳解】，故選：C【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，重點把握正態(tài)曲線的對稱性，屬基礎題.8、D【解題分析】試題分析：的共軛復數為，故選D．考點：1.復數的四則運算；2.共軛復數的概念．9、C【解題分析】分析：利用分布計數乘法原理解答即可.詳解：全國高中聯賽設有數學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則每位同學都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報名種數是故選C.點睛：本題考查分布計數乘法原理，屬基礎題.10、A【解題分析】試題分析：因為，則f′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1）?g′（1）=-1，即，所以a=-1．故選A．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．11、D【解題分析】，所以，故選B．12、A【解題分析】分五類：（1）甲乙都不選：；（2）選甲不選乙：；（3）選乙不選甲：；（4）甲乙都選：；故由加法計數原理可得，共種，應選答案A。點睛：解答本題的關鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數、組合數公式及分步計數原理和分類計數原理兩個基本原理。求解依據題設條件將問題分為四類，然后運用排列數、組合數公式及分步計數原理和分類計數原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對函數求導，把分別代入原函數與導數中分別求出切點坐標與切線斜率，進而求得切線方程?！绢}目詳解】，函數的圖像在處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查導數的幾何意義和直線的點斜式，關鍵求出某點處切線的斜率即該點處的導數值，屬于基礎題。14、【解題分析】

由冪函數的定義，把代入可求解.【題目詳解】點在冪函數的圖象上，，，故答案為：【題目點撥】本題考查冪函數的定義.冪函數的性質:(1)冪函數在上都有定義；(2)冪函數的圖象過定點；(3)當時，冪函數的圖象都過點和，且在上單調遞增；(4)當時，冪函數的圖象都過點，且在上單調遞減；(5)當為奇數時，冪函數為奇函數；當為偶數時，冪函數為偶函數．15、0.01【解題分析】

根據正態(tài)分布的對稱性，求得的值.【題目詳解】根據正態(tài)分布的對稱性有.【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.16、【解題分析】

由排列數和組合數展開可解得n=6.【題目詳解】由排列數和組合數可知，化簡得，所以n=6,經檢驗符合，所以填6.【題目點撥】本題考查排列數組合數方程，一般用公式展開或用排列數組合公式化簡，求得n,注意n取正整數且有范圍限制。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，求得，，由點斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得，分類討論，，，四種情況下的零點個數.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴切線方程為.（Ⅱ）∵，當時，，即在上為增函數，∵，，∴在上有一個零點.當時，，∵，，∴在上有一個零點.當時，在上為增函數，上為減函數，∵，，此時在上有一個零點.當時，易知在上為增函數，上為減函數，∵，，又有，當，即時，在上有一個零，當時，在上有兩個零.綜上所述，當時，函數在上有一個零；當時，函數在上有兩個零點.【題目點撥】本題考查了用導數求過曲線上一點的切線方程和討論函數零點個數問題，考查了分類討論的思想，屬于難題.18、（1），（2）【解題分析】

（1）求導，分析導函數零點和正負，即得解.（2）由于，轉化為：，成立，參變分離，分，，三種情況討論，即得解.【題目詳解】解：（1）當時，，或在和上單調增，在上單調減（2）設函數，，要使，都有成立，只需函數函數在上單調遞增即可，于是只需，成立，當時，令，，則；當時；當，，令，關于單調遞增，則，則，于是.又當時，，，所以函數在單調遞減，而，則當時，，不符合題意；當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，，于是，當時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了函數與導數綜合，考查了學生綜合分析，分類討論，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.19、(1)(2)見解析【解題分析】分析：(1)根據橢經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為，結合性質，，列出關于、的方程組，求出、，即可得橢圓的標準方程；(2)可設直線的方程為，聯立得，設點，根據韋達定理可得，所以點在直線上，又點也在直線上，進而得結果.詳解：（1）因為點到橢圓的兩焦點的距離之和為，所以，解得.又橢圓經過點，所以.所以.所以橢圓的標準方程為.證明：（2）因為線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為-2.所以可設直線的方程為.據得.設點，，.所以，.所以，.因為，所以.所以點在直線上.又點，也在直線上，所以三點共線.點睛：用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.20、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

1利用代入計算，可得結論；2猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【題目詳解】1，且，當時，，，當時，，，或舍，當時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，，顯然成立，②假設時，結論成立，即，則當時，由，有，，，或舍，時結論成立，由①②知當，均成立．【題目點撥】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）利用插空法可求出排法種數；（2）利用捆綁法可求出排法種數；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數，由加法原理計算可得出答案.【題目詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復合元素和其他人去安排，因此，排法種數為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數.【題目點撥】本題考查了排列、組合的應用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.22、（1）g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）見解析【解題分析】

（1）先得到解析式，然后對求導，分別解和，得到其單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導數證明在（0，1）上單調遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.【題目詳解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），∴g'（x）令g'（x）＝0，則x＝1，∴當x＞1時，g'（x）＜0；當0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是g（x）的兩零點，則g（x1）＝g（x2）＝0，不妨設0＜x1＜