2024屆浙江省杭州市名校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆浙江省杭州市名校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．22．口袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從袋中一次摸出2個球，記下號碼并放回，若這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎.某人從袋中一次摸出2個球，其獲獎的概率為（）A． B． C． D．3．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種4．在數(shù)列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．815．高三某班有60名學(xué)生（其中女生有20名），三好學(xué)生占，而且三好學(xué)生中女生占一半，現(xiàn)在從該班任選一名學(xué)生參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的是三好學(xué)生的概率是（）A． B． C． D．6．甲乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．7．設(shè)p、q是兩個命題，若是真命題，那么（）A．p是真命題且q是假命題 B．p是真命題且q是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是假命題且q是假命題8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù),且,其中是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B． C． D．10．若如下框圖所給的程序運行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．11．以，為端點的線段的垂直平分線方程是A． B． C． D．12．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.14．若隨機變量，則，.已知隨機變量，則__________．15．已知甲、乙、丙3名運動員擊中目標的概率分別為，，，若他們3人分別向目標各發(fā)1槍，則三槍中至少命中2次的概率為______．16．已知球的半徑為1，、是球面上的兩點，且，若點是球面上任意一點，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項和．18．（12分）已知的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1︰2︰3，（1）這三項是第幾項？（2）若展開式的倒數(shù)第二項為112，求x的值．19．（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機抽取3株,設(shè)隨機變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費方式更便宜?20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求使對恒成立的的取值范圍.21．（12分）設(shè)實數(shù)滿足，實數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若其中且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）數(shù)列滿足）.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到a2,a4030是方程x【題目詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數(shù)f∴l(xiāng)og2【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對數(shù)運算，綜合性強，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.2、A【解題分析】分析：先求出基本事件的總數(shù)，再求出這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可.詳解：從6個球中一次摸出2個球，共有種，2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，共有：9種，獲獎的概率為.故選A.點睛：求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．3、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個計數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.4、C【解題分析】

利用題設(shè)中遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數(shù)列中，，即可得數(shù)列表示首項，公比的等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)所給的條件求出男生數(shù)和男生中三好學(xué)生數(shù)，本題可以看作一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從40名男生中選出一個人，共有40種結(jié)果，滿足條件的事件是選到的是一個三好學(xué)生，共有5種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.【題目詳解】因為高三某班有60名學(xué)生（其中女生有20名），三好學(xué)生占，而且三好學(xué)生中女生占一半，所以本班有40名男生，男生中有5名三好學(xué)生，由題意知，本題可以看作一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從40名男生中選出一個人，共有40種結(jié)果，滿足條件的事件是選到的是一個三好學(xué)生，共有5種結(jié)果，所以沒有選上女生的條件下，選上的是三好學(xué)生的概率是，故選B.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)古典概型的概率求解問題，在解題的過程中，需要首先求得本班的男生數(shù)和男生中的三好學(xué)生數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求得結(jié)果.6、A【解題分析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.7、C【解題分析】

先判斷出是假命題，從而判斷出p,q的真假即可.【題目詳解】若是真命題，則是假命題，則p,q均為假命題，故選D.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問題，在解題的過程中，首先需要利用是真命題，得到是假命題，根據(jù)“或”形式的復(fù)合命題真值表求得結(jié)果.8、A【解題分析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.9、A【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx與cosx的關(guān)系，同時求出tanx的值，化簡要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．詳解：因為函數(shù)f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，所以.所以=.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和三角函數(shù)化簡求值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化計算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是=.這里利用了“1”的變式，1=.10、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時，再執(zhí)行一次k=k+1，此時判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

求出的中點坐標，求出的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程．【題目詳解】因為，，所以的中點坐標，直線的斜率為，所以的中垂線的斜率為：，所以以，為端點的線段的垂直平分線方程是，即．故選：B【題目點撥】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，直線方程的求法，考查計算能力．12、C【解題分析】因為，所以，即，應(yīng)選答案C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

從到時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【題目詳解】假設(shè)時命題成立，則，當(dāng)時，從到時左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、0.8185【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性和特殊區(qū)間上的概率可求出和，然后求出這兩個概率的和即可．詳解：由題意得，∴，，∴．點睛：本題考查正態(tài)分布，考查正態(tài)曲線的對稱性和三個特殊區(qū)間上的概率，解題的關(guān)鍵是將所求概率合理地轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間上的概率求解．15、【解題分析】

設(shè)事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，則，，，他們3人分別向目標各發(fā)1槍，則三槍中至少命中2次的概率為：，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】解：設(shè)事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，則，，，他們3人分別向目標各發(fā)1槍，則三槍中至少命中2次的概率為：．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．16、【解題分析】分析：以球心為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)點的坐標，用來表示，進而求出答案.詳解：由題可知，則，以球心為坐標原點，以為軸正方向，平面的垂線為軸建立空間坐標系，則，，設(shè)，在球面上，則設(shè)，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值.由得故答案為點睛：本題考查了空間向量數(shù)量積的運算，使用坐標法可以簡化計算，動點問題中變量的取值范圍是解此類問題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，，，見解析；（2）【解題分析】

（1）計算，，，猜想可得，然后依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）得，然后利用裂項相消法，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，即，解得當(dāng)時，，即，解得當(dāng)時，，即，解得猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，猜想成立假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，，則當(dāng)時，，，，所以猜想成立．綜上所述，對于任意，均成立．（2）由（1）得則數(shù)列的前項和【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明方法以及裂項相消法求和，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟，同時對常用的求和方法要熟悉，屬基礎(chǔ)題.18、（1）第5、6、7項；（2）或；【解題分析】

（1）先求展開式各項的系數(shù)，由有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1︰2︰3，求出及項數(shù)；（2）再由通項公式寫出倒數(shù)第二項，由它等于112求出．【題目詳解】（1）展開式各項系數(shù)為，由題意，即，解得，∴這三項是第5、6、7項．（2）倒數(shù)第二項為，∴＝＝112，，，即，，∴或．【題目點撥】本題考查二項式定理，考查組合數(shù)公式的計算，題中難點有兩個，一個是把組合數(shù)用階乘表示出來后求解較方便，一個是解方程時要先取以2為底的對數(shù)后才能求解．19、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費更便宜.【解題分析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90，100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，分別計算按照方案一購買應(yīng)付費和按照方案二購買應(yīng)付費，比較結(jié)果即可得按照方案一付費更便宜.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，高度在內(nèi)的概率為，按照方案一購買應(yīng)付費元，按照方案二購買應(yīng)付費元，故按照方案一付費更便宜.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖、分布列和數(shù)學(xué)期望，考查能否根據(jù)頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數(shù)據(jù)計算總體，求隨機變量的分布列的主要步驟：①明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；②求每一個隨機變量取值的概率；③列成表格，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)求導(dǎo)后得,再對分三種情況討論可得;(2)先由,解得,從