2024屆河南省南陽中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆河南省南陽中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運動到處（單位，則力所做的功為（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦2．在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．63．已知復數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．54．已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．105．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7．函數(shù)在定義域內(nèi)可導，若，且當時，，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．二項式展開式中的常數(shù)項為（）A． B．C． D．9．已知面積為的等腰內(nèi)接于拋物線，為坐標原點，，為拋物線的焦點，點.若是拋物線上的動點，則的最大值為（）A． B． C． D．10．已知命題p：?x∈R，x2-x+1≥1．命題q：若a2＜b2，則a＜b，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．12．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)＝____________.14．在極坐標系中，點(2，π6)到直線ρsinθ=2的距離等于15．從2，4，8中任取2個數(shù)字，從1，3，5中任取2個數(shù)字，一共可以組成_______個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）16．已知，則展開式中項的系數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在等腰梯形中，，，，，梯形的高為，是的中點，分別以為圓心，，為半徑作兩條圓弧，交于兩點.（1）求的度數(shù)；（2）設(shè)圖中陰影部分為區(qū)域，求區(qū)域的面積.18．（12分）在中，角，，的對邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）已知等差數(shù)列的公差不為零，若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19．（12分）在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．20．（12分）已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，點與點分別為橢圓的上頂點與左焦點，且的面積為（點為坐標原點）.（1）求的方程；（2）直線過且與橢圓交于兩點，點關(guān)于的對稱點為，求面積的最大值.21．（12分）如圖，,是經(jīng)過小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域.(1)設(shè)，,求三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域，求該開發(fā)區(qū)域的面積.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當a>0時,對于任意x1,x

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

本題是一個求變力做功的問題，可以利用積分求解，由題意，其積分區(qū)間是，，被積函數(shù)是力的函數(shù)表達式，由積分公式進行計算即可得到答案【題目詳解】由題意得：．故選：C．【題目點撥】本題考查定積分的應(yīng)用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用，正確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對應(yīng)．2、B【解題分析】在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2，則3、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..4、C【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查概率的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理的進行等價轉(zhuǎn)化.5、B【解題分析】

對參數(shù)進行分類討論，當為二次函數(shù)時，只需考慮對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系即可.【題目詳解】當時，，滿足題意；當時，要滿足題意，只需，且，解得.綜上所述：.故選：B.【題目點撥】本題考查由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，故選：D．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

x∈（-∞，1）時，x-1＜0，由（x-1）?f'（x）＜0，知f'（x）＞0，所以（-∞，1）上f（x）是增函數(shù)．∵f（x）=f（2-x），∴f（3）=f（2-3）=f（-1）所以f（-1）＜（0）＜，因此c＜a＜b．故選B．8、B【解題分析】

求出二項展開式的通項，使得的指數(shù)為，即可得出常數(shù)項.【題目詳解】通項為常數(shù)項為故選：B【題目點撥】本題主要考查了利用二項式定理求常數(shù)項，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

根據(jù)題意求得兩點關(guān)于對稱，得到直線的方程為，由的面積為，求得，再把過點N的直線方程為，代入，求得判別式求得，最后利用拋物線的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)等腰直角三角形的頂點，且，由，得，所以，即，因為，所以，即兩點關(guān)于對稱，所以直線的方程為，由，解得或，故，所以，因為的面積為，所以，過點N的直線方程為，代入可得，所以由，可得，此時直線的傾斜角為，過M作準線的垂線，垂足為A，則，所以，所以直線的傾斜角為或時，此時的最大值為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中求得兩點關(guān)于對稱，合理利用拋物線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10、B【解題分析】

先判定命題的真假，再結(jié)合復合命題的判定方法進行判定.【題目詳解】命題p：?x=1∈R，使x2-x+1≥1成立．故命題p為真命題；當a=1，b=-2時，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命題q為假命題，故命題p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均為假命題；命題p∧￢q為真命題，故選：B．【題目點撥】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復合命題，特稱命題，不等式與不等關(guān)系，難度中檔．11、C【解題分析】

根據(jù)題意，表示出展開式的項對應(yīng)次數(shù)，由二項式定理展開式的性質(zhì)即可求得各項對應(yīng)的系數(shù)，即可求解.【題目詳解】由題意記項的系數(shù)為，可知對應(yīng)的項為；對應(yīng)的項為；對應(yīng)的項為；對應(yīng)的項為；而展開式中項的系數(shù)為；對應(yīng)的項的系數(shù)為；對應(yīng)的項的系數(shù)為;對應(yīng)的項的系數(shù)為;所以，故選：C.【題目點撥】本題考查了二項式定理展開式及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因為所以b<a所以b<a<c.故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1【解題分析】隨機變量服從正態(tài)分布，且，故答案為.14、1【解題分析】試題分析：在極坐標系中，點（2，π6）對應(yīng)直角坐標系中坐標（3考點：極坐標化直角坐標15、【解題分析】

先選后排，由分步計數(shù)原理可求得方法數(shù)?！绢}目詳解】從2，4，8中任取2個數(shù)字共有方法數(shù)種，從1，3，5中任取2個數(shù)字共有方法數(shù)種，排成四位數(shù)共有種，由分步計數(shù)原理方法數(shù)為。填216.【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，本題是典型的先選后排分步計數(shù)原理題型。16、-2【解題分析】

利用定積分可求=2，則二項式為，展開式的通項：．令5-2r=-1，解得r=1．繼而求出系數(shù)即可．【題目詳解】∵=2，則二項式的展開式的通項：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展開式中x-1的系數(shù)為.故答案為：-2．【題目點撥】本題考查二項式定理通項的應(yīng)用，根據(jù)通項公式展開即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)梯形的高為，求得，在中，由正弦定理求得，即可得到.（2）由（1），在中，由余弦定理，列出方程，解得，利用面積公式，即可求解.【題目詳解】（1）設(shè)梯形的高為，因為，所以.在中，由正弦定理，得，即，解得.又，且，所以.（2）由（1）得.在中，由余弦定理推論，得，即，解得（舍去）.因為，所以.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解題分析】

1）首先利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出C的值．（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【題目詳解】（1）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosC．利用正弦定理sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，所以sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosC，由于0＜C＜π，解得C．（2）設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a1cosC＝1，則a1＝2，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，所以，解得d＝1．故an＝2+n﹣1＝n+1．所以，所以，，．【題目點撥】本題考查的知識要點：正弦定理的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、；證明見解析【解題分析】

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長為2的棱為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C），于是問題轉(zhuǎn)化為對棱長分別為（I）（II）（III）的四面體來計算體積的最大值（或估計）.【題目詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長為2為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C）.對情形（I）（A）與（B），四邊形沿AB折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，∴體積為；對情形（II）（A）與（C）四邊形沿AB折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，∵，∴為鈍角，與平面斜交，∴；對情形（III），（B）與（C），這樣的四面體也有兩個，體積也相等，記為，.∴最大體積為.【題目點撥】本題考查四面體的體積，解題關(guān)鍵是找到以棱長為2的棱為突破點，分析以它為邊的兩個三角形的邊長可能有哪些情形，然后一一求出它們的體積（可估計體積大小），再比較.難度較大.20、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，，即可求出答案；（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達定理表述出，，又，化簡整理即可.詳解：（1）∵的面積為，∴，即.又∵橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，∴，即.∴，∴∴，∴的方程為.（2）由題意可知，點為的中點，則.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，∴，∴∴設(shè)，則∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，取得最大值.點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法(1)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．(2)面積問題常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底．有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達形式．若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進行求解．(3)在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．21、（1）（2）開發(fā)區(qū)域的面積為【解題分析】分析：(1)先根據(jù)直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)令，化簡，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定t范圍，解得最小值，同時求出開發(fā)區(qū)域的面積.詳解：解：（方法一）（1）如圖，過分別作、的垂線，垂足分別為、，因為小城位于小城的東北方向，且，所以，在和中，易得，，所以當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增所以時，取得最小值.此時，，的面積答：開發(fā)區(qū)域的面積為（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，則因為，所以，所以由，得記因為在上單調(diào)遞減，所以當時最小此時，即，所以的面積答：開發(fā)區(qū)域的面積為點睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．22、（1）當a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【