專題13拋物線（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展2個(gè)突破7種題型4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（原卷版）

專題13拋物線（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展2個(gè)突破7種題型4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.拋物線的概念知識(shí)點(diǎn)2拋物線的簡單幾何性質(zhì)拓展1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拓展2.拋物線焦點(diǎn)線的性質(zhì)突破1.與拋物線有關(guān)的最值問題突破2.直線與拋物線的位置關(guān)系【方法二】實(shí)例探索法題型1.拋物線的定義題型2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解題型3.拋物線定義的應(yīng)用之距離轉(zhuǎn)化題型4.拋物線定義的應(yīng)用之距離最值題型5.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用題型6.焦點(diǎn)弦的性質(zhì)題型7.直線與拋物線的位置關(guān)系【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.忽視定義中的限制條件而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略方程標(biāo)準(zhǔn)形式的特征而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3.忽視點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)4.忽略焦點(diǎn)的位置而致錯(cuò)【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.拋物線的概念1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(－p,2)))y＝eq\f(p,2)【例1】．（2023上·北京·高二北京市第三十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（A．2 B．3 C．4 D．5知識(shí)點(diǎn)2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1．拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝12.焦點(diǎn)弦直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交．設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；②k≠0時(shí)，Δ＞0?直線與拋物線相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)．Δ＝0?直線與拋物線相切?只有一個(gè)公共點(diǎn)．Δ＜0?直線與拋物線相離?沒有公共點(diǎn)．拓展1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】．（2023上·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C上的點(diǎn)到F1,0的距離等于到直線x(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)D6,0的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過F點(diǎn)，求直線l拓展2.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)【例3】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若點(diǎn)D為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且AF=ADA．-22 B．-2 C．-3突破1.與拋物線有關(guān)的最值問題【例4】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0)，點(diǎn)P(1)若點(diǎn)M(4,2)，求|PM|+|PF|的最小值．(2)若過點(diǎn)P作斜率為k(k>0)，-k的兩條直線l1，l2，分別與C交于點(diǎn)A，B（異于點(diǎn)P），并記△ABP的垂心為H，是否存在實(shí)數(shù)k，使得點(diǎn)H始終在拋物線突破2.直線與拋物線的位置關(guān)系【例5】．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(1,3)的直線l在x軸上方與拋物線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)，若BF【方法二】實(shí)例探索法題型1.拋物線的定義1．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）若拋物線C：x2=2py（p>0）上的一點(diǎn)Px(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)Q0,6的直線l與拋物線C相交于A，B點(diǎn)，證明1題型2.對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解2．（2023上·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A，B為拋物線C：y2=2px（p>0）上兩點(diǎn)，直線AB的斜率為4，且A與B的縱坐標(biāo)之和為(1)求拋物線C的方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)O），以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)O，求△FMN面積的最小值．題型3.拋物線定義的應(yīng)用之距離轉(zhuǎn)化3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則（A．若AB≥6，則M到準(zhǔn)線距離的最小值為B．若OA?OB=12，且C．若AB過焦點(diǎn)F，AB=8，C為直線AB左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為D．若OA⊥OB，則O到直線AB距離的最大值為4題型4.拋物線定義的應(yīng)用之距離最值4．（2023上·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校佄锞€C:x2=2py的焦點(diǎn)為F、P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到t,1時(shí)，PF=2，直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A．拋物線的方程為xB．PM+PFC．當(dāng)直線l過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與x軸相切D．存在直線l，使得A,B兩點(diǎn)關(guān)于x+y-5=0對(duì)稱題型5.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用5．（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知Q3,3,M為拋物線C1:y2=8x上一動(dòng)點(diǎn)，NA．5 B．4 C．3 D．2題型6.焦點(diǎn)弦的性質(zhì)6．（2023·四川綿陽·三臺(tái)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線C:y=28x2的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，且滿足PF=3題型7.直線與拋物線的位置關(guān)系7．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B(1)若直線l的斜率為3，求|AF||FB|(2)求線段AB的長度的最小值．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.忽視定義中的限制條件而致錯(cuò)1．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交C的準(zhǔn)線l:x=-1于點(diǎn)N，若FM=1A．32 B．2 C．53 D易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略方程標(biāo)準(zhǔn)形式的特征而致錯(cuò)2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線E：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)，Mx0,4是拋物線E上一點(diǎn)，N0,7與點(diǎn)F不重合，點(diǎn)F(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)0,2的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，求FA?易錯(cuò)點(diǎn)3.忽視點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系而致錯(cuò)3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M是拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓D：x-42+y2=1易錯(cuò)點(diǎn)4.忽略焦點(diǎn)的位置而致錯(cuò)4．（2023上·天津·高二天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）斜率為k的直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，若被拋物線截得弦長為8，則k=【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且它在第一象限內(nèi)，焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)Q在以FM為直徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．93．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，，為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，圓和圓的半徑都為，射線交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，當(dāng)變化時(shí)，與圓的公共點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線4．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．12 D．155．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的準(zhǔn)線方程為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6．（2020·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．（2022·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)

①過雙曲線右焦點(diǎn)的直線被雙曲線所截線段長的最小值為②方程表示的曲線是雙曲線③若動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切，則圓心的軌跡是拋物線④若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)A． B． C． D．8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（

）A． B．4 C．3 D．5二、多選題9．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)動(dòng)點(diǎn)B，C在拋物線上，點(diǎn)，直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，BC中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．610．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）記的圖象為，如圖，一光線從x軸上方沿直線射入，經(jīng)過上點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)P，直線交直線于點(diǎn)Q，下面說法正確的是（

）A． B．C．以為直徑的圓與直線相切 D．P，N，Q三點(diǎn)共線11．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若方程表示的曲線為E，則下列說法正確的是（

）A．曲線E可能為拋物線 B．當(dāng)時(shí)，曲線E為圓C．當(dāng)或時(shí)，曲線E為雙曲線 D．當(dāng)時(shí)，曲線E為橢圓12．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l為其準(zhǔn)線，點(diǎn)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不是原點(diǎn)O），線段與x軸交于點(diǎn)M，連接并延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則（

）A．若點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)，則直線平行于x軸B．若點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)，則線段的長度的最小值為4C．若，則點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)D．若與的面積之積為定值，則點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)三、填空題13．（2020上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若直線和的傾斜角互補(bǔ)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.14．（2023上·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，則此直線的斜率=.15．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓x2+y26x7=0與拋物線y2=2ax的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)a的值為.16．（2020上·重慶云陽·高二重慶市云陽江口中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線方程為，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為．四、解答題17．（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)．(1)若直線的斜率是，求的值；(2)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．18．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線：與拋物線：恒有兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，求此時(shí)線段的長度．19．（2023上·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，求直線的方程．20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）為拋物線上一點(diǎn)，過作兩條關(guān)于對(duì)稱的直線分別交于兩點(diǎn)．(1)求的值及的準(zhǔn)線方程；