2023-2024學(xué)年廣東省湛江市一中部分學(xué)校高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)（解析版）

高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào).座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A.8 B. C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.拋物線的焦點(diǎn)為F，M是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為，則（）A.4 B.8 C.6 D.106.已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7.已知是邊長(zhǎng)為8的正三角形，是的中點(diǎn)，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.在數(shù)列中，，且，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全都選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)（23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個(gè).如下表：編號(hào)12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則11.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則（）A..直線截圓所得的弦長(zhǎng)為B.的面積的最大值為15C.滿足到直線的距離為的點(diǎn)位置共有3個(gè)D.的取值范圍為12.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù).則（）A. B.C.是與的等差中項(xiàng) D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，則_________.14.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.15.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則_________.16.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則的離心率為_(kāi)________.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷(xiāo)售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.（1）若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；（2）若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.19.（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.（1）求角；（2）作角的平分線與交于點(diǎn)，且，求.20.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，垂足為O，E為的中點(diǎn)，平面.（1）證明：.（2）若，，與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）已知雙曲線的離心率為，且其焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.（1）求的方程，（2）若動(dòng)直線與恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在兩個(gè)正整數(shù)，，使得當(dāng)時(shí)，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高三數(shù)學(xué)參考答案1.C因?yàn)榛?，，所?2.D因?yàn)?，所以，?3.B因?yàn)椋?，所?4.A因?yàn)?，，，所?5.B因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.因?yàn)閳A的面積為，所以圓的半徑為6，又因?yàn)閳A心在的垂直平分線上，，所以，.6.D，，故將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象.7.C在三棱錐中，底面是以為斜邊的直角三角形.設(shè)底面外接圓的圓心為，則其半徑，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，因?yàn)槎娼菫?，所以點(diǎn)到底面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn)，所以.設(shè)球心到底面的距離為，則，且，解得，所以.8.A因?yàn)?，，所以，且?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，?9.BD因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因?yàn)橥硭后w的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對(duì)比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.10.AD因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)榈牡忍?hào)成立條件不成立，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.11.BCD對(duì)于A，因?yàn)?，，所以直線的方程為，圓心到直線的距離為，又因?yàn)閳A的半徑，所以直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，易知，要想的面積最大，只需點(diǎn)到直線的距離最大，而點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的面積的最大值為，B正確.對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的范圍是，即，由對(duì)稱性可知，此時(shí)滿足到直線的距離為的點(diǎn)位置有2個(gè).當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的范圍是，即，此時(shí)滿足到直線的距離為的點(diǎn)位置只有1個(gè).故滿足到直線的距離為的點(diǎn)位置共有3個(gè)，C正確.對(duì)于D，由題意知.又因?yàn)?，，，所以，，故?設(shè)點(diǎn)滿足，則，故解得即，，所以.又因?yàn)椋?，即的取值范圍為，D正確.12.ACD因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以的周期為4.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以.因?yàn)椋?，?因?yàn)椋裕?，所以，所以，故A正確.因?yàn)椋?，即，所?因?yàn)?，，所以B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以C正確.因?yàn)?，所以D正確.13.，由，得.14.60由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，因此該套餐的供餐方案共有種.15.連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋耘c所成的角為（或其補(bǔ)角）.令，在中，由，，得.又，，，由余弦定理得，解得，所以.16.由題意可知點(diǎn)一定在其蒙日?qǐng)A上，所以，所以，故橢圓的離心率為.17.解：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因?yàn)椋?，所?18.解：（1）因?yàn)椋?，則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.（2）因?yàn)椋?依題意可得，所以，因?yàn)?，所以，又為正整?shù)，所以的最小值為2001.19.解：（1）因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）解法1：因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以.因?yàn)椋?，，所以，所以，?因?yàn)?，，所以，所以或（舍去），所?解法2：由點(diǎn)分別向，作垂足E，F(xiàn)，因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以，，又因?yàn)椋?①由正弦定理得，所以，，代入①式得，即.如下同解法1參考答案解答過(guò)程.20.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?，所以平面平?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?因?yàn)?，所?由平面，可得.又，所以平面，從而.因?yàn)槭堑闹写咕€，所以.（2）解：因?yàn)槠矫妫耘c平面所成的角為，又，，，，所以.作，垂足為，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.所以，即平面與平面夾角的余弦值為.21.（1）解：設(shè)右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為.因?yàn)?，所以?故的方程為.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)，且.聯(lián)立方程組得.由，得.聯(lián)立方程組得.不妨設(shè)與，的交點(diǎn)分別為P，Q，則.同理可得，所以.因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到的距離，所以.因