級高數(shù)下導(dǎo)數(shù)

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)記為

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法記為

例1

在不產(chǎn)生誤解時，偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)。

或，，,偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元以上函數(shù)如在處對

x的偏導(dǎo)數(shù)解[解法一]先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點.“先求后代”[解法二]先固定

y=2，再對

x

求偏導(dǎo)數(shù).“先代后求”思考:解:證原結(jié)論成立．14有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：１、即不能看作分子分母之商.２、求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；注意:不能用“代入法”!請問函數(shù)在該點連續(xù)嗎?連續(xù)多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，？函數(shù)多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，3、

偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)

連續(xù)，連續(xù).(即書P67

例4)

多元函數(shù)中在某點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.？

可見，二元函數(shù)在一點處偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)沒有必然的聯(lián)系.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義4.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點

M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的

詳細(xì)例:

求曲線在點處的切線與y

軸正向夾角.解二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域

D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)例如，z=f(x,y)

關(guān)于

x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)

先關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于

y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為:類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).解問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？(注:不相等的例子可參見書P67例6)具備怎樣的條件才相等？問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？附注:

(書P68)1.

C(q)類函數(shù)是指具有直到q階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù).如:f∈C(2),即指f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

2.

函數(shù)連續(xù)+偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)？注意二者概念不同!說明:因為多元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為多元初等函數(shù)，定理可以推廣，例如：對三元函數(shù)

u=f(x,y,z),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點

(x,y,z)連續(xù)時,有故求多元初等函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)時可以選擇方便的求偏導(dǎo)順序.而多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，補(bǔ)充：若函數(shù)滿足f(x,y)=f(y,x)，則稱函數(shù)f(x,y)對x,y具有輪換對稱性.證求證補(bǔ)充：若函數(shù)滿足f(x,y)=f(y,x)，則稱函數(shù)f(x,y)對x,y具有輪換對稱性.

則推廣：若f(x,y,z)變量x,y,z位置任意互換，不會改變f

的表達(dá)式，則稱f

(x,y,z)

具有輪換對稱性.

則若f(x,y,z)具有輪換對稱性，且已(z不動,x與y對調(diào))(y不動,x與z對調(diào))滿足拉普拉斯證：方程(作業(yè):P16三)利用對稱性,有例3.證明函數(shù)記號;幾何意義內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;

函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.