2024屆陜西省渭南市潼關(guān)縣數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆陜西省渭南市潼關(guān)縣數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．芻薨（），中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無(wú)廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無(wú)底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．2．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．3．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．4．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．5．4名學(xué)生報(bào)名參加語(yǔ)、數(shù)、英興趣小組，每人選報(bào)1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．7．某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為108．設(shè)，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，則（）附：若，則，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.022811．曲線在處的切線與直線垂直，則（）A．-2 B．2 C．-1 D．112．“大衍數(shù)列”來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則此數(shù)列第20項(xiàng)為（）A．180 B．200 C．128 D．162二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則________14．下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角：按照?qǐng)D中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_____（用含的多項(xiàng)式表示）．15．的展開(kāi)式中，的系數(shù)是___．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）16．已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成五位數(shù).（1）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù).18．（12分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線相切．（1）求與；（2）設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，直線過(guò)且與軸垂直，動(dòng)直線與軸垂直，交與點(diǎn)．求線段垂直平分線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指明曲線類型．19．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足：，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.（I）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）已知拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)若，求直線的方程.21．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)的最小值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，，，求證：.22．（10分）已知數(shù)列滿足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意可知該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為8，高為；等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，高為．故側(cè)面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．2、D【解題分析】

先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.【題目詳解】解法一:為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題．可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．3、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項(xiàng).【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項(xiàng).由得，即，排除B選項(xiàng).由得，即，排除C，選項(xiàng).由得，即，D選項(xiàng)正確，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，若，函數(shù)的對(duì)稱軸是，所以，故選B.5、B【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理計(jì)算得到答案.【題目詳解】每個(gè)學(xué)生有3種選擇，根據(jù)乘法原理共有種不同方法.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘法原理，屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點(diǎn)可得：平均成績(jī)及標(biāo)準(zhǔn)差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線對(duì)稱，且50與110也關(guān)于直線對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對(duì)稱性求解.8、A【解題分析】

利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】當(dāng)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無(wú)解，不符合題意，故排除兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，畫(huà)圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項(xiàng)，選.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查零點(diǎn)問(wèn)題題.題目所給的分段函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖像是確定的，當(dāng)時(shí)，圖像是含有參數(shù)的，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.在分類討論的過(guò)程中，圍繞的解的個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行.10、D【解題分析】

由隨機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，再利用原則，結(jié)合圖象得到.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所?選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布曲線及原則，考查正態(tài)分布曲線圖象的對(duì)稱性.11、B【解題分析】分析：先求導(dǎo)，然后根據(jù)切線斜率的求法得出切線斜率表達(dá)式，再結(jié)合斜率垂直關(guān)系列等式求解即可.詳解：由題可知：切線的斜率為：由切線與直線垂直，故，故選B.點(diǎn)睛：考查切線斜率的求法，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，正確求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，注意此題導(dǎo)數(shù)求解時(shí)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于中檔題.12、B【解題分析】根據(jù)前10項(xiàng)可得規(guī)律：每?jī)蓚€(gè)數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列?？傻脧牡?1項(xiàng)到20項(xiàng)為60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此數(shù)列第20項(xiàng)為200.故選B。【題目點(diǎn)撥】從前10個(gè)數(shù)觀察增長(zhǎng)的規(guī)律。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問(wèn)題.【題目詳解】令，則有，且定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，則，即，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查類奇偶函數(shù)的運(yùn)用，難度較易.關(guān)鍵是先構(gòu)造出奇偶函數(shù)，然后利用新函數(shù)的值去分析結(jié)果.14、【解題分析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出?！绢}目詳解】按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為。【題目點(diǎn)撥】本題考查了歸納推理的問(wèn)題，關(guān)鍵找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。15、28【解題分析】分析：由題意知本題要求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的一個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，先寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，使得變量x的指數(shù)等于5，解出r的值，把r的值代入通項(xiàng)得到這一項(xiàng)的系數(shù)．詳解：要求x5的系數(shù)，

∴8-=5，

∴r=2，

∴x5的系數(shù)是（-1）2C82=28，

故答案為28點(diǎn)睛：本題是一個(gè)典型的二項(xiàng)式問(wèn)題，主要考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)，注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯(cuò)的地方，本題考查展開(kāi)式的通項(xiàng)式，這是解題的關(guān)鍵．16、【解題分析】

求出圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可得到的最小值.【題目詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最小值轉(zhuǎn)化為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）96（2）60【解題分析】分析：（1）首位有種選法，后四位所剩四個(gè)數(shù)任意排列有種方法根據(jù)分部乘法計(jì)數(shù)原理，可求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）由題意，分2類：末尾是0的五位偶數(shù)；末尾不是0的五位偶數(shù)，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)個(gè)數(shù).詳解：（I）首位有種選法，后四位所剩四個(gè)數(shù)任意排列有種方法根據(jù)分部乘法計(jì)數(shù)原理，所求五位數(shù)個(gè)數(shù)為（II）由題意，分2類末尾是0的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)末尾不是0的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)∴根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)點(diǎn)睛：本題考查排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），．（2），該曲線為拋物線（除掉原點(diǎn)）．【解題分析】

（1）由題可知，直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合離心率，即可求出與.（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)，利用垂直關(guān)系可得出關(guān)于的式子即為的軌跡方程.【題目詳解】解：（1），，．（2），兩點(diǎn)分別為，，由題意可設(shè)那么線段中點(diǎn)為，設(shè)是所求軌跡上的任意點(diǎn)由于，即，所以．又因?yàn)?，消參得軌跡方程為.該曲線為拋物線（除掉原點(diǎn)）．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，包括離心率、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，還涉及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩直線垂直時(shí)斜率相乘為-1，還利用消參法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）設(shè),利用復(fù)數(shù)相等的概念求出復(fù)數(shù)z;（Ⅱ）先計(jì)算出，再求a的值.【題目詳解】解；（Ⅰ）設(shè)，則，解得或（舍去）..（Ⅱ），，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的求法和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)拋物線的方程為;(Ⅱ)直線的方程為或.【解題分析】分析：(Ⅰ)由題意可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得,結(jié)合韋達(dá)定理可得則,解得．直線的方程為或．詳解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,而拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，所以,解得，所以拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,整理得,由題意,,所以或．則.則,.則又已知,所以,解得．所以直線的方程為或．化簡(jiǎn)得直線的方程為或．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．21、（1）；（2）見(jiàn)詳解.【解題分析】

(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù)，再求其最小值.(2)利用已知等式構(gòu)造出可以利用均值不等式的形式.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，取得最小值，即.