湖南省名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

湖南省名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．證明等式時，某學(xué)生的證明過程如下（1）當(dāng)n=1時，，等式成立；（2）假設(shè)時，等式成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當(dāng)n=1時驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確2．已知隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程，由到時，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)4．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面對角線和棱上的動點(diǎn)，則下列關(guān)于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值5．某個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積(結(jié)果保留π)為A． B．C． D．6．已知曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．3 D．7．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)()A． B． C． D．8．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2，則其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A．-40 B．-20 C．20 D．409．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于直線對稱11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個交點(diǎn)，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．312．，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的二項(xiàng)展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是________.14．關(guān)于的方程的兩個根，若，則實(shí)數(shù)__________．15．已知向量與，則的最小值是__________.16．.若,且,則__________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）定義在上的函數(shù)滿足：對任意的實(shí)數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.（1）當(dāng)時，若，，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；（2）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，證明：函數(shù)為周期函數(shù).18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：附：的觀測值（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？請說明理由.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半粙為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為，且，，.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）①求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；②若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求.21．（12分）某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.22．（10分）已知的展開式中第三項(xiàng)與第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之比為．（1）求；（2）請答出展開式中第幾項(xiàng)是有理項(xiàng)，并寫出推演步驟（有理項(xiàng)就是的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當(dāng)時驗(yàn)證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、D【解題分析】

由二項(xiàng)分布的期望公式，可計(jì)算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布的期望公式，可得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的期望公式及概率公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

分別計(jì)算和時不等式左邊的項(xiàng)數(shù)，相減得到答案.【題目詳解】時，不等式左邊：共有時，：共有增加了故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的項(xiàng)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點(diǎn)到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，所以，又，故點(diǎn)到的距離為定值，則面積為定值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，為平面構(gòu)不成四面體，故只能無限接近點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了四面體體積的判斷，運(yùn)動中的定量與變量的分析，空間想象與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題5、C【解題分析】分析：上面為球的二分之一，下面為長方體．面積為長方體的表面積與半球的面積之和減去半球下底面面積.詳解：球的半徑為1，故半球的表面積的公式為，半球下底面表面積為長方體的表面積為24，所以幾何體的表面積為．點(diǎn)睛：組合體的表面積，要弄懂組合體的結(jié)構(gòu)，哪些被遮擋，哪些是切口．6、A【解題分析】

將點(diǎn)代入雙曲線的漸近線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【題目詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線的漸近線方程得，，故，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算即可求得結(jié)果【題目詳解】故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是要掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題。8、D【解題分析】

由題意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二項(xiàng)式定理展開，即可得含x3項(xiàng)的系數(shù)．【題目詳解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2?（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二項(xiàng)式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是﹣40+80＝40故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點(diǎn))，，，當(dāng)且時，與等腰中，為公共邊，，,.當(dāng)時，,當(dāng)時，,綜上，。C.D選項(xiàng)比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗(yàn)證：又當(dāng)時，,當(dāng)時，，都不正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點(diǎn)是在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達(dá)到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項(xiàng).10、D【解題分析】分析：由誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可逐一判斷各選項(xiàng).詳解：由誘導(dǎo)公式得，，排除A，C.將代入，得，為函數(shù)圖象的對稱軸，排除B.故選D.點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查利用余弦函數(shù)的性質(zhì)綜合分析判斷的能力.11、D【解題分析】

設(shè)點(diǎn)、，由，可計(jì)算出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，，，，解得，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中等題．12、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出的值.【題目詳解】，，且，由誘導(dǎo)公式得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，同時也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時，先要確定角的象限，確定所求三角函數(shù)值的符號，再結(jié)合相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】

，令即可.【題目詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，故的項(xiàng)的系數(shù)是60.故答案為：60【題目點(diǎn)撥】本題考查求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.14、【解題分析】分析：根據(jù)所給的方程，當(dāng)判別式不小于0時和小于0時，用求根公式表示出兩個根的差，根據(jù)差的絕對值的值做出字母p的值．詳解：當(dāng)，即或，由求根公式得，得當(dāng)，即，由求根公式得|得綜上所述，或．

故答案為．點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對于判別式與0的關(guān)系的討論，方程有實(shí)根和沒有實(shí)根時，兩個根的表示形式不同，本題是一個易錯題．15、【解題分析】

,所以，所以，故當(dāng)時，的最小值是.考點(diǎn)：向量的模點(diǎn)評：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.16、1【解題分析】

首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再將代入導(dǎo)數(shù),即可求出的值.【題目詳解】

故答案為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,要準(zhǔn)確掌握求導(dǎo)公式,對于簡單題要細(xì)心.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解題分析】分析：（1）利用，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式，并求得其值域.（2）首先判斷出值域相同.當(dāng)時，利用求得的值，并利用周期性的定義證明得函數(shù)是周期為的周期函數(shù).同理可證明當(dāng)，函數(shù)也為周期函數(shù).詳解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，即，由得，則，當(dāng)時，即，由得，則，當(dāng)時，即，由得，綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?（2）（證法一）由函數(shù)的值域?yàn)榈?，的取值集合也為，?dāng)時，，則，即.由得，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).當(dāng)時，，則，即.即，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).故滿足條件的函數(shù)為周期函數(shù).（證法二）由函數(shù)的值域?yàn)榈?，必存在，使得，?dāng)時，對，有，對，有，則不可能；當(dāng)時，即，，由的值域?yàn)榈?，必存在，使得，仿上證法同樣得也不可能，則必有，以下同證法一.點(diǎn)睛：本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查利用抽象函數(shù)的關(guān)系式求解函數(shù)在不同區(qū)間上的表達(dá)式的方法，考查函數(shù)周期性的證明.題目第一問，已知條件給定函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式，結(jié)合，容易想到要利用分段的方法，求解出函數(shù)在每個長度為的區(qū)間上的表達(dá)式，從而求得函數(shù)的值域.18、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

(1)用需要志愿者提供幫助的人數(shù)除以老年人總數(shù)可得;(2)利用觀測值公式以及列聯(lián)表可計(jì)算觀測值,再結(jié)合臨界值表可得;(3)根據(jù)需要志愿者提供幫助的男女人數(shù)存在顯著差異,可得采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣的方法更好.【題目詳解】（1）調(diào)查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為.（2）隨機(jī)變量的觀測值.由于，因此，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).（3）由（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)中能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣的方法更好.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣,獨(dú)立性檢驗(yàn),屬中檔題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，，∵，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴；（2）由（1）得，∴，∴?！绢}目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.20、（Ⅰ）直線,曲線（Ⅱ）①②【解題分析】

（Ⅰ）利用參數(shù)方程化普通方程，利用極坐標(biāo)化普通方程求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）①求出，即得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；②利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【題目詳解】解（Ⅰ），曲線.（Ⅱ）①，，.②將代入，得，，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21、（I）（II）結(jié)論為（且不同時為零），證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復(fù)數(shù)的計(jì)算證明結(jié)論.【題目詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計(jì)算