2024屆天津市英華中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆天津市英華中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．集合，，則=()A． B．C． D．3．在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令，若隨機(jī)變量X的分布列如下：010.3則（）A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.74．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是①若則;②若則;③若,則;④若則A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④5．某大學(xué)安排5名學(xué)生去3個(gè)公司參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)公司至少1名同學(xué)，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1506．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．1 D．27．若復(fù)數(shù)滿足，則=（）．A． B． C． D．8．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．己知三邊，，的長(zhǎng)都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，及每個(gè)正方形中的一條對(duì)角線，則該幾何體的表面積是()A．4+2 B．9+32 C．11．已知集合，,則等于()A． B． C． D．12．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說：“你做對(duì)了！”丙說：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說對(duì)了.”請(qǐng)問下列說法正確的是（）A．乙做對(duì)了 B．甲說對(duì)了 C．乙說對(duì)了 D．甲做對(duì)了二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為，0，1，2，1．則樣本方差為________．14．已知函數(shù)f(x)=ex+x3，若f(15．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．16．若的二項(xiàng)展開式中的的系數(shù)為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，且的解集為．（1）求的值；（2）若，且，求證：．19．（12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸正半軸重合,直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為:.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線過定點(diǎn),若，求直線的斜率.20．（12分）已知（其中且，是自然對(duì)數(shù)的底）.（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若且關(guān)于的不等式在上恒成立，求證：.21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中直線的斜率為，直線的斜率為。（1）求橢圓方程；（2）若，試問⊿的面積是否為定值，若是求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說明理由。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案?！绢}目詳解】恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，，所以故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。2、C【解題分析】

先化簡(jiǎn)集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【題目詳解】解得集合，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B，難度較?。?、D【解題分析】

先由概率和為1，求出，然后即可算出【題目詳解】因?yàn)?，所以所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及求由分布列求期望，較簡(jiǎn)單.4、D【解題分析】

根據(jù)選項(xiàng)利用判定定理、性質(zhì)定理以及定義、舉例逐項(xiàng)分析.【題目詳解】①當(dāng)都在平面內(nèi)時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；②因?yàn)?，則過的平面與平面的交線必然與平行；又因?yàn)?，所以垂直于平面?nèi)的所有直線，所以交線，又因?yàn)榻痪€，則，故正確；③正方體上底面的兩條對(duì)角線平行于下底面，但是兩條對(duì)角線不平行，故錯(cuò)誤；④因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線互相平行，故正確；故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷立體幾何中的符號(hào)語言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符號(hào)語言問題，一般可采用以下方法：（1）根據(jù)判定、性質(zhì)定理分析；（2）根據(jù)定義分析；（3）舉例說明或者作圖說明.5、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計(jì)算公式可知，方案為時(shí)的方法有種，方案為時(shí)的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．6、A【解題分析】

先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得出，即可算出【題目詳解】所以，所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.7、D【解題分析】

先解出復(fù)數(shù)，求得，然后計(jì)算其模長(zhǎng)即可.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以所以所以故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1在中故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9、D【解題分析】

根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對(duì)分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當(dāng)時(shí)，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．10、B【解題分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖：所以幾何體的表面積為：3+3×1故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11、C【解題分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因?yàn)椋?，故選C.點(diǎn)睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.12、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對(duì)、乙說法對(duì)、丙說法對(duì)，通過題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出平均值，再由方差計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，1，2，1這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：，所以其方差為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查計(jì)算幾個(gè)數(shù)的方差，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、(1,2)【解題分析】因?yàn)閒'(x)=ex+3x2>0，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以不等式15、4038.【解題分析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，,即，得解．【題目詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故，即本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題．16、1【解題分析】

，所以9-3r=6,r=1,=9,,故填1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）題意說明函數(shù)是奇函數(shù)，因此有恒成立，由恒等式知識(shí)可得關(guān)于的方程組，從而可解得；（Ⅱ）把函數(shù)化簡(jiǎn)得，這樣問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，也即在內(nèi)有解，只要作為函數(shù)，求出函數(shù)的值域即得．試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，所以，即，所以，解得，；（Ⅱ）由，由題設(shè)知在內(nèi)有解，即方程在內(nèi)有解.在內(nèi)遞增，得.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn).18、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】分析：（1）由條件可得的解集為，即的解集為，可得；（2）根據(jù)，展開后利用基本不等式可得結(jié)論.詳解：（1）因?yàn)?，所以等價(jià)于，由有解，得，且其解集為．又的解集為，故．（2）由（1）知，又，7分∴(或展開運(yùn)用基本不等式)∴．點(diǎn)睛：本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由，得，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）把代入，整理得，由，得，能求出直線l的斜率．【題目詳解】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為，所以.即，即.（2）把直線的參數(shù)方程帶入得設(shè)此方程兩根為，易知,而定點(diǎn)M在圓C外，所以，，，，可得，∴，所以直線的斜率為-1.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．20、（1）;（2）當(dāng)或時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為;（3）見解析.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再寫出切點(diǎn)坐標(biāo)，就可以寫出切線方程．（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得單調(diào)性時(shí)需要分類討論,,，再求最值．（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，求出，再令設(shè)，，求最大值小于，進(jìn)而得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1），時(shí)，，，，，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.（3）證明：由題意知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，存在使得，即，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，設(shè)，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了最值問題，考查了不等式恒成立問題.若要證明，一般地，只需說明即可；若要證明恒成立，一般只需說明即可，即將不等式問題轉(zhuǎn)化為最值問題.21、（I）見解析（II）【解題分析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出