預習篇第13講基本立體圖形2024年高一寒假數(shù)學專題化復習與重點化預習（人教A版2019）（原卷版）

第13講基本立體圖形本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.2棱錐有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.3棱臺(1)用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺.(2)棱臺的分類:由三棱錐、四棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺…….(3)正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，正棱臺各側棱都相等，各側面都是全等的等腰梯形.4圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.5圓錐以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.6圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.7球體以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.【題型1】棱柱、棱錐、棱臺的結構特征【知識點解讀】1棱柱(1)概念有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.(2)性質(zhì)①側棱都相等，側面是平行四邊形；注：如圖，由定義可得A'B'所以四邊形AA'B'B是平行四邊形！②兩個底面是全等的多邊形；注：由①可得兩個底面各邊相等，故底面是全等多邊形.(3)分類①按底面多邊形的邊數(shù)分為：三棱柱，四棱柱等.②按側棱是否垂直底面分為斜棱柱，直棱柱(底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體)注：直棱柱的側棱垂直底面，則側面是矩形.2棱錐(1)概念有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.注：正棱錐頂點與底面中心所在直線垂直與底面.(2)性質(zhì)正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；(3)常見棱錐正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐.正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐，正四面體是特殊的正三棱錐.注：嘗試畫下這兩個幾何體.3棱臺(1)用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺.(2)棱臺的分類:由三棱錐、四棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺…….(3)正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，正棱臺各側棱都相等，各側面都是全等的等腰梯形.【典題1】下列說法中，正確的個數(shù)為()(1)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱(2)有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；(3)底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；(4)棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【典題2】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由頂點B沿棱柱側面(經(jīng)過棱(1)三棱柱側面展開圖的對角線長；(2)從B經(jīng)M到C1的最短路線長及此時A1【鞏固練習】1.(★)下列幾何體中，棱柱有()A．5個B．4個C．3個D．2個2.(★)在棱柱中，()[來源:]A．只有兩個面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側棱也平行3.(★)棱臺不具有的性質(zhì)是()A．兩底面相似B．側面都是梯形C．側棱都平行D．側棱延長后都交于一點4.(★★)下列說法中正確的是()A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺 B．上下底面全等，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 C．棱臺的底面是兩個相似的正方形 D．棱臺的側棱延長后必交于一點5.(★★)給出下列命題①底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；②若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③一個棱錐可以有兩條側棱和底面垂直；④一個棱錐可以有兩個側面和底面垂直；⑤所有側面都是正方形的四棱柱一定是正方體．其中正確的命題是()A．①②③ B．①③ C．②③④ D．④6.(★★)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由點P沿棱柱側面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為29，設這條最短路線與CC7.(★★)有下列命題：①有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形所圍成的幾何體一定是棱柱；②各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；③用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到的幾何體叫做棱臺；④棱柱的各相鄰側面的公共邊互相平行．以上命題中，正確命題的序號是__________．8.(★★)如圖，四棱柱ABCD-A1B19.(★★★)如圖所示，在一個長方體的容器中，里面裝有少量水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中:

(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎?

(2)水的形狀也不斷變化，可能是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐，對嗎?

(3)如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個頂點，水面的形狀，水的形狀有何變化?【題型2】圓柱、圓錐、圓臺的結構特征【知識點解讀】1圓柱(1)概念以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.(2)性質(zhì)上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(3)側面展開圖圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.2圓錐(1)概念以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.(2)性質(zhì)平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖:三角形SAB如上圖：l2(3)側面展開圖圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形.3圓臺(1)概念用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.【典題1】如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分別為A． B． C． D．【典題2】把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑之比是1∶4，母線長為10，求圓錐的母線長．【鞏固練習】1.(★)關于下列幾何體，說法正確的是()A．圖①是圓柱 B．圖②和圖③是圓錐C．圖④和圖⑤是圓臺 D．圖⑤是圓臺2.(★)如圖所示的組合體，其結構特征是()A．由兩個圓錐組合成的 B．由兩個圓柱組合成的 C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的 D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的3.(★)一個等腰梯形繞著它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得各面圍成的幾何體是()A．圓柱B．圓臺C．圓錐D．以上都不對4.(★)在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別堅直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是()A.圓面B.矩形面C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面5.(★★)以一個等腰梯形的較長的底邊所在直線為軸，其他三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的幾何特征是()A．一個圓柱、兩個圓錐 B．兩個圓臺、一個圓柱 C．一個圓臺、兩個圓錐 D．兩個圓柱、一個圓臺6.(★★)將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為7.(★★)已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1cm，2【題型3】球體的結構特征【知識點解讀】(1)概念以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.(2)性質(zhì)球心與截面圓心的連線垂直于截面；R2=r2+d2(【典題1】球的兩個平行截面的面積分別為5π，8π兩截面之間的距離為1，求球的半徑．【鞏固練習】1.(★)下列說法正確的是()A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線 B．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓 C．圓錐的軸截面是等腰三角形 D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓2.(★)如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個球體B．一個球體中間挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方體3.(★★)在一個棱長為4的正方體內(nèi)，你認為最多放入的直徑為1的球的個數(shù)為()A．64B．65 C．66 D．671.(★)下列說法正確的是()A．三棱柱有三個側面、三條側棱和三個頂點B．四面體有四個面、六條棱和四個頂點C．六棱錐有七個頂點D．棱柱的各條側棱可以不相等2.(★)下列命題正確的是()A．棱柱的底面一定是平行四邊形 B．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐 C．棱錐的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱3.(★)下列敘述中，正確的個數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．3 B．2 C．1 D．04.(★★)北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內(nèi)的水就會結冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便．每年冬天來臨前，工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法(除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層)如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是(保溫帶厚度忽略不計)(A．14B．14πC．1+45.(★★)如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1DA．π6 B．π3