高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

$number{01}高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算2024-01-24匯報(bào)人：AA目錄空間向量基本概念空間向量線性運(yùn)算空間向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算空間向量數(shù)量積與性質(zhì)空間向量在幾何中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸01空間向量基本概念向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量定義向量具有線性運(yùn)算性質(zhì)，包括加法、數(shù)乘和數(shù)量積等。向量性質(zhì)向量定義及性質(zhì)在空間中，可以選取一組基底，將向量表示為基底的線性組合，即坐標(biāo)表示法。向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。空間向量表示方法向量的模與方向坐標(biāo)表示法123向量長度與方向零向量與單位向量零向量是長度為0的向量，沒有方向；單位向量是長度為1的向量，方向任意。向量長度向量的長度（或模）表示向量的大小，記作|a|。向量方向向量的方向由向量所在直線的傾斜程度決定，可以用方向角或方向余弦來表示。02空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則向量加法運(yùn)算規(guī)則設(shè)$mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$mathbf=(x_2,y_2,z_2)$，則$mathbf{a}+mathbf=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作$overrightarrow{AB}=mathbf{a}$，$overrightarrow{BC}=mathbf$，則向量$overrightarrow{AC}$叫做$mathbf{a}$與$mathbf$的和，即$mathbf{a}+mathbf=overrightarrow{AC}$。以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量，可以合成一個向量，這個合成向量就是以兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，然后以同一起點(diǎn)的一個頂點(diǎn)作為終點(diǎn)。實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的模是|λ|倍，方向與λ的符號有關(guān)。定義性質(zhì)坐標(biāo)運(yùn)算當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa是零向量。設(shè)$mathbf{a}=(x,y,z)$，則$λmathbf{a}=(λx,λy,λz)$。030201向量數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則定義向量$mathbf{a}$減去向量$mathbf$的差，是一個向量，記作$mathbf{a}-mathbf$。三角形法則在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作$overrightarrow{AB}=mathbf{a}$，$overrightarrow{AC}=mathbf$，則向量$overrightarrow{CB}$叫做$mathbf{a}$減去$mathbf$的差，即$mathbf{a}-mathbf=overrightarrow{CB}$。坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)$mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$mathbf=(x_2,y_2,z_2)$，則$mathbf{a}-mathbf=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。向量減法運(yùn)算規(guī)則03空間向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算

空間直角坐標(biāo)系建立確定坐標(biāo)原點(diǎn)在空間中任意選擇一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O。建立坐標(biāo)軸以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，分別沿X、Y、Z三個方向建立三條互相垂直的數(shù)軸，它們分別稱為X軸、Y軸和Z軸。確定坐標(biāo)平面由X軸和Y軸確定的平面稱為XOY平面，由Y軸和Z軸確定的平面稱為YOZ平面，由Z軸和X軸確定的平面稱為ZOX平面。在空間中任意選擇兩點(diǎn)A和B，則向量AB可以表示為從點(diǎn)A指向點(diǎn)B的有向線段。確定向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1,z1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2,z2)，則向量AB的坐標(biāo)可以表示為(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。確定向量的坐標(biāo)向量的模長等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)后得到的向量的長度，即|AB|=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。向量的方向由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。向量的模長和方向向量坐標(biāo)表示方法向量的加法設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的和為a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。向量的減法設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的差為a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。向量的數(shù)乘設(shè)向量a=(x,y,z)，實(shí)數(shù)λ，則向量a與實(shí)數(shù)λ的積為λa=(λx,λy,λz)。特別地，當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同。010203向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為a·b=x1x2+y1y2+z1z2。點(diǎn)積的結(jié)果是一個實(shí)數(shù)，它等于a的模長、b的模長和a與b夾角的余弦值的乘積。當(dāng)a與b垂直時(shí)，點(diǎn)積為零；當(dāng)a與b同向時(shí)，點(diǎn)積為正；當(dāng)a與b反向時(shí)，點(diǎn)積為負(fù)。向量的點(diǎn)積設(shè)向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則向量a與向量b的叉積為a×b=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)。叉積的結(jié)果是一個新的向量，它垂直于a和b所在的平面，方向符合右手定則。叉積的模長等于a和b的模長及它們夾角的正弦值的乘積。向量的叉積向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則04空間向量數(shù)量積與性質(zhì)數(shù)量積定義及性質(zhì)數(shù)量積定義：對于空間任意兩個向量a和b，它們的數(shù)量積（點(diǎn)積）是一個標(biāo)量，記作a·b，定義為a·b=|a||b|cos<a,b>，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模，<a,b>是向量a和b之間的夾角。對稱性a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)量積定義及性質(zhì)結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)（注意：這里的結(jié)合律與數(shù)量積定義中的點(diǎn)乘運(yùn)算不同，這里的點(diǎn)乘表示普通的乘法運(yùn)算）正定性當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，a·a=0；若a≠0，則a·a>0數(shù)量積定義及性質(zhì)01在空間直角坐標(biāo)系中，若向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，則它們的數(shù)量積可以通過坐標(biāo)計(jì)算得到，即a·b=x1x2+y1y2+z1z2。0203數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算公式判斷向量的線性關(guān)系通過數(shù)量積可以判斷三個向量是否共面或共線。例如，若三個向量滿足關(guān)系式a=xb+yc，且x,y為實(shí)數(shù)，則這三個向量共面。計(jì)算兩向量的夾角通過數(shù)量積的定義，我們可以求出兩個非零向量之間的夾角余弦值，即cos<a,b>=(a·b)/(|a||b|)。判斷兩向量的垂直關(guān)系若兩向量的數(shù)量積為零，則這兩向量垂直。計(jì)算向量的投影向量b在向量a上的投影長度為(|b|cos<a,b>)，方向與向量a相同或相反。數(shù)量積應(yīng)用舉例05空間向量在幾何中應(yīng)用123對于任意兩個非零空間向量a和b，若存在實(shí)數(shù)k使得a=kb，則稱向量a與b平行。空間向量平行的條件對于任意兩個非零空間向量a和b，若它們的點(diǎn)積a·b=0，則稱向量a與b垂直?？臻g向量垂直的條件利用空間向量的平行與垂直條件，可以判斷空間中兩條直線或兩個平面的位置關(guān)系，如平行、垂直等。平行與垂直的應(yīng)用平行與垂直條件判斷空間向量的距離對于空間中任意兩點(diǎn)A和B，它們之間的距離d=||AB||，其中AB是由點(diǎn)A指向點(diǎn)B的向量。空間向量的夾角對于任意兩個非零空間向量a和b，它們之間的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cosθ=(a·b)/(||a||||b||)。角度與距離的應(yīng)用利用空間向量的夾角和距離公式，可以計(jì)算空間中兩條直線或兩個平面之間的角度和距離，進(jìn)而解決一些幾何問題。角度與距離計(jì)算問題利用空間向量判斷兩條直線的位置關(guān)系。通過求解兩直線的方向向量，利用平行與垂直的條件判斷兩直線的位置關(guān)系。案例一利用空間向量計(jì)算兩條異面直線的公垂線長度。通過構(gòu)造包含兩條異面直線的公垂面的法向量，利用距離公式求解公垂線長度。案例二利用空間向量解決點(diǎn)到平面的距離問題。通過構(gòu)造平面的法向量和點(diǎn)到平面上一點(diǎn)的向量，利用數(shù)量積和向量的模求解點(diǎn)到平面的距離。案例三典型案例分析06總結(jié)回顧與拓展延伸空間向量的定義與性質(zhì)01空間向量是既有大小又有方向的量，滿足向量加法的交換律和結(jié)合律，以及數(shù)乘的分配律。空間向量的線性運(yùn)算02包括向量的加法、減法、數(shù)乘和向量的點(diǎn)積、叉積等。這些運(yùn)算是空間向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，對于解決空間幾何問題具有重要作用?？臻g向量基本定理03對于任意三個不共面的向量，它們線性組合的結(jié)果可以表示空間中的任意向量。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧如何判斷兩個向量是否共線或共面？常見問題解答與誤區(qū)提示在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，如何避免出錯？如何正確理解向量的點(diǎn)積和叉積的物理意義和幾何意義？誤區(qū)提示：避免將向量的模與向量本身混淆